Kugel in Pyramide < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Punkte A(3/-3/0) B(3/3/0) C(-3/3/0) und S(0/0/4) sind Eckpunkte einer quadratischen Pyramide mit der Spitze im punkt S. Dieser Pyramide kann man eine Kugel einbeschreiben. Bestimmen sie den Mittelpunkt und den Radius der Kugel. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe schon verschiedene Ansätze die eigentlich zur Lösung führen müssten jedoch weiß ich nicht wie ich diese praktisch zur Lösung umsetzen kann.
Meine 1. Idee war das der Mittelpunkt ja genau über dem Schnittpunkt der Diagonalen des "bodenquadrats" liegen muss, also muss der Punkt M bei (0/0/r) liegen, außerdem muss der Punkt von allen Seitenfläschen den gleichen Abstand haben. Nur wusste ich nich wie ich das jetzt zu einer Lösung vollenden soll.
Meine 2. Idee war dann das ich die Pyramide einfach halb durchschneide von S runter sodass ich auf halber Strecke AD, sowie auf halber Strecke von BC durchschneide, so hätte ich eine Dreieck mit einem Inkreis, und davon wäre dann der Mittelpunkt gleichzeitig auch der Mittelpunkt der Kugel. Nur wie komme ich da rechnerisch auf den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden???
Ich bitte um einen Lösungsweg das ich diese Aufgabe übermorgn vorrechnen muss !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Di 17.04.2007 | | Autor: | statler |
Erstmal 'Guten Tach' und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die Punkte A(3/-3/0) B(3/3/0) C(-3/3/0) und S(0/0/4) sind
> Eckpunkte einer quadratischen Pyramide mit der Spitze im
> punkt S. Dieser Pyramide kann man eine Kugel
> einbeschreiben. Bestimmen sie den Mittelpunkt und den
> Radius der Kugel.
> Ich habe schon verschiedene Ansätze die eigentlich zur
> Lösung führen müssten jedoch weiß ich nicht wie ich diese
> praktisch zur Lösung umsetzen kann.
> Meine 1. Idee war das der Mittelpunkt ja genau über dem
> Schnittpunkt der Diagonalen des "bodenquadrats" liegen
> muss, also muss der Punkt M bei (0/0/r) liegen, außerdem
> muss der Punkt von allen Seitenfläschen den gleichen
> Abstand haben. Nur wusste ich nich wie ich das jetzt zu
> einer Lösung vollenden soll.
Der Ansatz ist nicht schlecht, jetzt müßtest du wissen, wie man den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnet. Als Ebene nimmst du eine von 4 Seiten und bringst sie auf Normalenform. Und dann muß der Abstand von (0|0|r) von dieser Seite eben auch r sein, das gibt eine Gleichung für r.
Guck in die Bücher oder fragt weiter, wenn du das nicht gehabt hast, ist die Aufgabe nicht fair.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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ich habe nune die ebene Eabc in normalenform gebracht, die ebene hat die Form X3=0, daraus folgt dann zwangsläufig auch das r=0 sein muss, das ergibt für mich jedoch irgendwie keine sinn, wo liegt der fehler?
wenn ich einer andere Seite als Ebene nehme, sagen wir Eabs dann dürfte ich doch auch nicht den Punkt (0/0/r) voraussetzten sondern ich müsste (r1/r2/r3) einsetzen oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Di 17.04.2007 | | Autor: | riwe |
> weitere frage
> ich habe nune die ebene Eabc in normalenform gebracht, die
> ebene hat die Form X3=0, daraus folgt dann zwangsläufig
> auch das r=0 sein muss, das ergibt für mich jedoch
> irgendwie keine sinn, wo liegt der fehler?
> wenn ich einer andere Seite als Ebene nehme, sagen wir
> Eabs dann dürfte ich doch auch nicht den Punkt (0/0/r)
> voraussetzten sondern ich müsste (r1/r2/r3) einsetzen oder?
>
du darfst nicht die grundebene wählen, die hast du ja schon "präjudiziert" durch M(0/0/r), sondern eine der seitenebenen der pyramide, z.b. ABS.
du kannst das problem auch 2. dimensional betrachten und den inkreis des gleichschenkeligen schnittdreiecks berechnen.
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Ich danke euch erst mal für eure Gedult aber irgendwie stehe ich auf dem Schlauch.
Ich habe jetzt die Ebenengleichung der Ebene ABS in Koordinatenform, sie ist 4x1+3x3=12.
Nun möchte ich den Abstand vom Punkt (0/0/r) zu dieser Ebene haben, dazu setzte ich doch r=(4*0+3*r-12)/5.
Wenn ich nun aber nach r auflöse kommt r= -6 raus, das erigibt doch aber keinen Sinn, dann würde der Punkt ja außerhalb der der Pyramide liegen.
Wo ist mein Fehler oder hab ich schon wieder etwas übersehen oder doppelt "benutzt"?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Di 17.04.2007 | | Autor: | riwe |
> ?
> Ich danke euch erst mal für eure Gedult aber irgendwie
> stehe ich auf dem Schlauch.
> Ich habe jetzt die Ebenengleichung der Ebene ABS in
> Koordinatenform, sie ist 4x1+3x3=12.
> Nun möchte ich den Abstand vom Punkt (0/0/r) zu dieser
> Ebene haben, dazu setzte ich doch r=(4*0+3*r-12)/5.
> Wenn ich nun aber nach r auflöse kommt r= -6 raus, das
> erigibt doch aber keinen Sinn, dann würde der Punkt ja
> außerhalb der der Pyramide liegen.
> Wo ist mein Fehler oder hab ich schon wieder etwas
> übersehen oder doppelt "benutzt"?
du hast "eigentlich" keinen fehler gemacht
ABER es heißt
(und unglücklicherweise ist es das negative vorzeichen, das du hier brauchst)
[mm]\frac{4x+3z-12}{5}=\pm r\to r=\frac{3}{2}>0[/mm]
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