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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 So 11.11.2007 | | Autor: | Hund |
| Aufgabe | a) Eine Metallkugel wird zum Zeitpunkt t = 0 aus der Höhe [mm] H_{M} [/mm] fallen gelassen (im homogenen
Gravitationsfeld). Beim Aufprall auf den Boden geht ein Teil der kinetischen Energie in Verformungsenergie
über, sodass die Kugel bei jedem Stoß 1% der Höhe verliert. Nach welcher Zeit
kommt die Kugel zur Ruhe?
b) Ein Basketball verliert bei jedem Aufprall 30% der Höhe. Aus welcher Höhe [mm] (H_{B}) [/mm] muss man den
Basketball fallen lassen, um die Hüpfdauer der Metallkugel zu erreichen? Welches [mm] H_{B} [/mm] ergibt sich
für [mm] H_{M} [/mm] = 1 Meter? |
Hallo,
also ich habe mir überlegt, den Energiesatz zu verwenden. ist [mm] v_{n} [/mm] die Geschwindigkeit nach dem n. Stoß und [mm] h_{n} [/mm] die erreichte Höhe nach dem n. Stoß dann gilt die Beziehung:
[mm] \bruch{m}{2}v_{n}²=mgh_{n}
[/mm]
Die Masse m der Kugel kürzt sich raus und es folgt für die Geschwindigkeit:
[mm] v_{n}²=2gh_{n}.
[/mm]
Nach Voraussetztung nimmt die Höhe nach jedem Stoß um 1% ab, also gilt:
[mm] h_{n}=0,99^{n}H_{M}
[/mm]
Dies ergibt:
[mm] v_{n}²=2g0,99^{n}H_{M}.
[/mm]
Also muss damit die Geschwindigkeit 0 wird n gegen unendlich gehen.
Welche Zeit vergeht bei einem Auf und Absprung der Kugel nach dem n. Stoß?
Sei x(t) die Höhe der Kugel zur Zeit t. Die Kugel springe zur Zeit t=0 vom Erdboden ab, dann hat sie die Anfangsgeschwindigkeit [mm] v_{n} [/mm] und die Anfangshöhe 0 und es gilt dann:
[mm] x(t)=-0,5gt²+v_{n}t
[/mm]
Sei [mm] t_{n} [/mm] die Zeit, die die Kugel braucht um wieder zum Erdboden zurückzukehren, dann muss gelten:
[mm] x(t_{n})=0, [/mm] also:
[mm] -0,5gt_{n}²+v_{n}t_{n}=0
[/mm]
[mm] t_{n}=\bruch{2}{g}v{n}.
[/mm]
Welche Zeit vergeht, bis die Kugel zur Ruhe kommt?
Die gesammte Zeit nach dem fallenlassen, die vergeht, bis die Kugel nach n Stößen zum Erdboden zurückkehrt ist die Summe über alle [mm] t_{i} [/mm] von i=1 bis n und die Zeit, die die Kugel nach dem fallenlassen bis zum Erdboden braucht (die wurde ja noch nicht berücksichtig). Diese Zeit sei [mm] t_{0}, [/mm] also ist dei Gesammtzeit T:
[mm] T=t_{0}+\summe_{k=1}^{n}{\bruch{2}{g}v{n}}.
[/mm]
[mm] t_{0} [/mm] muss ich noch ausrechnen und die Summe.
Ist der Ansatz den richtig, oder mache ich etwas falsch oder denke mal wieder viel zu kompliziert?
Ich hoffe,ihr könnt mir helfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
für [mm] t_{0} [/mm] habe ich mir überlegt, dass sich die Kugel nach dem Fall gemäß
[mm] x(t)=-0,5gt²+H_{M} [/mm] bewegt. Wegen [mm] x(t_{0})=0 [/mm] folgt:
[mm] t_{0}=\wurzel{\bruch{2}{g}H_{M}}.
[/mm]
Alles aufsummieren und ausrechnen führt auf
[mm] 397\wurzel{\bruch{2}{g}H_{M}}.
[/mm]
Ist das richtig oder mache ich etwas falsch?
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Gruß
Hund
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Hallo!
Das sieht alles bisher recht gut aus, nur in deiner Mitteilung schießt du doch etwas übers Ziel hinaus.
Du hast bereist [mm] t_n=\frac{2}{g}v_n
[/mm]
und oben steht [mm] v_n^2=0,99^nH [/mm] also [mm] v_n=\wurzel{99^nH}
[/mm]
Das kannst du direkt in [mm] t_n [/mm] einsetzen. Für die allererste Fallzeit solltest du dran denken, daß das quasi der Fall n=0 ist, denn n ist die Anzahl der Stöße. Und: Da der Ball hier oben startet, brauchst du nur die HALBE Zeit. Die Gesamtzeit ist also
[mm] t_{ges}=\frac{t_0}{2}\summe_{n=1}^mt_n
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort. Warum ist das denn falsch, wenn ich t0 so ausrechne.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Gruß
Hund
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Hallo!
Falsch ist das nicht, du kannst das auch so machen.
Allerdings, wie gesagt, du hast bereits alles nötige zusammen und mußt eigentlich nicht mehr am Anfang anfangen. Es geht so nen Tick schneller.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
Alles klar! Danke.
Gruß
Hund
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