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Kürzen der abgeleiteten Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:05 Di 22.02.2011
Autor: Klemme

Aufgabe
Bestimmen der Koeffizienten [mm] a_0, a_1, a_2 [/mm] des Taylorpolynoms (ohne Restglied) um den Punkt [mm] x_0=0 [/mm] von f(x)= [mm] e^{sinx} [/mm]

Hallo,

ich habe die erste und die zweite Ableitung ausgerechnet. Diese wird jetzt immer größer. Meine Frage daher: Gibt es an irgendeiner Stelle noch die Möglichkeit zu kürzen?

Hier meine Lösung:
f(x)= [mm] e^{sinx} [/mm]
[mm] \Rightarrrow f'(x)=cosx*e^{sinx} [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] Nutzen der Produktregel mit y'=u'v+uv' (u=cosx und [mm] v=e^{sinx}) [/mm]
[mm] f''(x)=(-sinx)*(e^{sinx})+(cosx)*(cosx*e^{sinx}) [/mm] = [mm] -sinx*e^{sinx}+cos^2x*e^{sinx}=e^{sinx}(cos^2x-sinx) [/mm]

Die nächste Ableitung wird ja dann noch länger. Oder gibt es  vielleicht einen Trick bei der Sache? :)





lg

Klemme

        
Bezug
Kürzen der abgeleiteten Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:19 Di 22.02.2011
Autor: Walde

Hi Klemme,

man kann zwar nicht vereinfachen, aber du hast trotzdem Glück :-) Du brauchst doch nur die ersten drei Koeffinzienten zu berechnen und die sind

[mm] a_0=f(x_0), [/mm]

[mm] a_1=\bruch{f'(x_0)}{1!} [/mm] und

[mm] a_2=\bruch{f''(x_0)}{2!}. [/mm]

Es ist also gar keine höhere Ableitung nötig.

LG walde

Bezug
                
Bezug
Kürzen der abgeleiteten Fkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:43 Di 22.02.2011
Autor: Klemme

Ach ja stimmt, der erste Koeffizient ist ja [mm] f(x_0). [/mm] Danke ^^

lg

Klemme

Bezug
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