Kubisches Hermites Element < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
beschäftige mich gerade mit Finiten Elementen und da verstehe ich vor allem etwas bei dem kubischen hermiten Element nicht.
z.B. hier: http://www.wias-berlin.de/people/john/LEHRE/TH_NUM_PDE/th_num_pde_10.pdf
auf Seite 91 findet sich für die Definition der Funktionale:
[mm] $\phi_i(v) [/mm] = v(ai); i = 1, [mm] \dots [/mm] , d + 1$; (1) (Eckpunkte)
[mm] $\phi_{iij} [/mm] (v) = grad [mm] \, [/mm] v [mm] (a_i) [/mm] * [mm] (a_j [/mm] - [mm] a_i); \; [/mm] i; j = 1, [mm] \dots [/mm] , d + 1; [mm] \; [/mm] i [mm] \not= [/mm] j$; (2) (Punkte auf Kanten)
[mm] $\phi_{ijk}(v) [/mm] = [mm] v(a_{ijk} [/mm] ); [mm] \; [/mm] i = 1, [mm] \dots [/mm] , d + 1; [mm] \; [/mm] i < j < k$ (3) (Punkte auf 2 Seiten)
Hier verstehe ich nicht so wirklich wie die zugehörigen Knotenmengen (ich nenne sie mal [mm] $K_1, K_2, K_3$) [/mm] aussehen.
Meiner Meinung nach ist:
[mm] $K_1 =\{a_1, \dots, a_{d+1} \}$
[/mm]
[mm] $K_2 =\{a_{iij}=\frac{2}{3} a_i + \frac{1}{3} a_j, \; i \not= j \}$ [/mm] oder umgekehrt?
[mm] $K_3 =\{a_{ijk}=\frac{1}{3}(a_i +a_j + a_k),\; i
Das sind dann gerade die Knotenmengen wo sich die entsprechenden Knoten finden, in denen die Funktionale vom Typ (1),(2),(3) eins sind und sonst in allen anderen Knoten 0, wobei die Gesamtknotenmenge bei mir mit $K:= [mm] \{a=\sum_i^{d+1} \mu_i a_i :\sum \mu_i=1, \mu_i \in\{0,\frac{1}{3},\frac{2}{3},1\}\}$ [/mm] definiert ist. Mein Problem ist nun, dass ich in einem Beweis gefunden habe, dass [mm] $K_1 \subset K_2$ [/mm] und ich deshalb vermute, dass [mm] $K_2$ [/mm] so nicht richtig ist.
Außerdem steht in obigem Link, dass
(für diese Funktionale) "mit zugehöriger lokaler Basis", wobei dann die Funktionale durch baryzentrische Koordinatenfunktionen ausgedrückt werden. Was baryzentrische Koordinaten sind, ist mir klar. Nur wie kommt man zu der dort angegebenen Darstellung? Hab das nun schon in einigen Skripten gesucht, aber irgendwie schreibt niemand den Lösungsweg hin.
Vielen Dank für eure Mühe!
Grüße Andre
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 10.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo nochmal,
mittlerweile habe ich glaube ich das ganze verstanden. es ist auch kein Wunder, dass mir niemand geantwortet hat, denn [mm] $K_1$ [/mm] ist nicht Teilmenge von [mm] $K_2$. [/mm] Das war falsch. Sollte noch irgendwer Interesse an der Geschichte haben bitte melden. Und danke an alle, die versucht haben sich hier hinein zu denken.
LG Andre
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