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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Krümmung
Krümmung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Krümmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:05 Mi 03.11.2010
Autor: Kuriger

Berechnen Sie die Krümmung eines Kreises mit Radius.

In Parameterform sieht das ja wie folgt aus:
r(t) = [mm] \vektor{r*cos(t) \\ r*sin(t) \\ 0} [/mm]

In die dritte Komponente setze ich eine Null, damit ich eine Raumkurve erhalte

v(t) = [mm] \vektor{-r*sin(t) \\ r*cos(t) \\ 0} [/mm]
at) = [mm] \vektor{-r*cos(t) \\ -r*sin(t) \\ 0} [/mm]

krümmung = [mm] \bruch{|v(t) x a(t)|}{|v(t)|^3} [/mm]

v(t) x a(t) = [mm] r^2 [/mm] * [mm] sin^2 [/mm] (t) + [mm] r^2 [/mm] * [mm] cos^2 [/mm] (t) = [mm] r^2 [/mm] * [mm] (cos^2(t) [/mm] + [mm] sin^2 [/mm] ) = [mm] r^2 [/mm]
|v(t) x a(t)| = r

|v(t) | = [mm] \wurzel{r^2 * sin^ (t) + r^2 * cos^ (t)} [/mm] = r
|v(t) [mm] |^3 [/mm] = [mm] r^3 [/mm]

Krümmung = [mm] \bruch{|v(t) x a(t)| }{|v(t) |^3 } [/mm] = [mm] \bruch{r}{r^3} [/mm] = ..

Wa smache ich falsch? Sollte nämlich Krümmung = [mm] \bruch{1}{r} [/mm] geben

Danke, gruss Kuriger



        
Bezug
Krümmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:47 Mi 03.11.2010
Autor: Sigma


> v(t) x a(t) = [mm]r^2[/mm] * [mm]sin^2[/mm] (t) + [mm]r^2[/mm] * [mm]cos^2[/mm] (t) = [mm]r^2[/mm] *
> [mm](cos^2(t)[/mm] + [mm]sin^2[/mm] ) = [mm]r^2[/mm]

Schreib zuerstmal das Kreuzprodukt mathematisch korrekt auf.

Hier liegt dein Fehler,  was ist nochmal die euklidische Norm von [mm] $\|v(t) \times a(t)\|_2 =\|\vektor{0-0 \\ 0-0\\r^2}\|_2$? [/mm]

>  |v(t) x a(t)| = r
>  
> |v(t) | = [mm]\wurzel{r^2 * sin^ (t) + r^2 * cos^ (t)}[/mm] = r
>  |v(t) [mm]|^3[/mm] = [mm]r^3[/mm]
>  
> Krümmung = [mm]\bruch{|v(t) x a(t)| }{|v(t) |^3 }[/mm] =
> [mm]\bruch{r}{r^3}[/mm] = ..
>  
> Wa smache ich falsch? Sollte nämlich Krümmung =
> [mm]\bruch{1}{r}[/mm] geben
>  
> Danke, gruss Kuriger
>  
>  
Bezug
                
Bezug
Krümmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 Mi 03.11.2010
Autor: Kuriger

Hallo Sigma

Danke für die Hilfe

Momentan verstehe ich das leider nicht:

v(t) * a(t) = [mm] \vektor{-r\cdot{}sin(t) \\ r\cdot{}cos(t) \\ 0} [/mm] x [mm] \vektor{-r\cdot{}cos(t) \\ -r\cdot{}sin(t) \\ 0} [/mm]  = [mm] r^2 [/mm] * [mm] sin^2(t) [/mm] + [mm] r^2 [/mm] * [mm] cos^2 [/mm] (t), der rest gibt ja null. oder was hast du gemacht? Hast du das r nachvorne genommen?

v(t) * a(t) = r* [mm] \vektor{-\cdot{}sin(t) \\ \cdot{}cos(t) \\ 0} [/mm] x [mm] r*\vektor{-\cdot{}cos(t) \\ -\cdot{}sin(t) \\ 0} [/mm]  = [mm] r^2 [/mm] * [mm] sin^2(t) [/mm] + [mm] r^2 [/mm] * [mm] cos^2 [/mm] (t)
Wenn ja wie muss ich denn mit r umgehen?

Wäre dankbar wenn du mir nochmals helfen könntest

Danke, gruss Kuriger

Bezug
                        
Bezug
Krümmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:39 Mi 03.11.2010
Autor: M.Rex

Hallo

> Hallo Sigma
>  
> Danke für die Hilfe
>  
> Momentan verstehe ich das leider nicht:
>  
> v(t) * a(t) = [mm]\vektor{-r\cdot{}sin(t) \\ r\cdot{}cos(t) \\ 0}[/mm]
> x [mm]\vektor{-r\cdot{}cos(t) \\ -r\cdot{}sin(t) \\ 0}[/mm]  = [mm]r^2[/mm] *
> [mm]sin^2(t)[/mm] + [mm]r^2[/mm] * [mm]cos^2[/mm] (t), der rest gibt ja null. oder was
> hast du gemacht? Hast du das r nachvorne genommen?
>

Das ist einfach nur die Definition des Skalarproduktes.


Und beachte, dass in $ [mm] \|v(t) \times a(t)\|_2 =\|\vektor{0-0 \\ 0-0\\r^2}\|_2 [/mm] $ das Kreuzprodukt gemeint ist.

Marius


Bezug
                        
Bezug
Krümmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:10 Mi 03.11.2010
Autor: Sigma

>v(t) * a(t) = [mm]\vektor{-r\cdot{}sin(t) \\ r\cdot{}cos(t) \\ 0}[/mm]
> x [mm]\vektor{-r\cdot{}cos(t) \\ -r\cdot{}sin(t) \\ 0}[/mm]  = [mm][mm] r^2[/>mm] [/mm] *
> [mm]sin^2(t)[/mm] + [mm]r^2[/mm] * [mm]cos^2[/mm] (t), der rest gibt >ja null. oder was
> hast du gemacht? Hast du das r nachvorne genommen?
>
>  Wenn ja wie muss ich denn mit r umgehen?
>  
> Wäre dankbar wenn du mir nochmals helfen könntest
>  
> Danke, gruss Kuriger

Du hast richtig gerechnet nur das Kreuzprodukt nicht korrekt aufgeschrieben. Das Ergebnis des Kreuzproduktes ist ein Vektor und nicht [mm] r^2. [/mm]

$v(t) [mm] \times [/mm] a(t) = [mm] \vektor{-r\cdot{}sin(t) \\ r\cdot{}cos(t) \\ 0} \times \vektor{-r\cdot{}cos(t) \\ -r\cdot{}sin(t) \\ 0} [/mm]  = [mm] \vektor{0-0\\0-0\\ r^2 * \sin^2(t)+ r^2 *cos^2 (t)}=\vektor{0\\0\\r^2}$ [/mm]

Eingesetzt in die euklidische Norm ergibt.

[mm] $\|\vektor{0\\0\\r^2}\|_2=\wurzel{0^2+0^2+(r^2)^2}=r^2$ [/mm]


Bezug
        
Bezug
Krümmung: Definition der Krümmung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:11 Mi 03.11.2010
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Kuriger,

so wie ich meine, ist die Krümmung einer Kurve in einem
ihrer Punkte P ursprünglich definiert als der Kehrwert des
Radius des Krümmungskreises der Kurve in diesem Punkt
(der Krümmungskreis ist jener Kreis, der die Kurve in der
Umgebung von P am besten approximiert). Ist die Kurve
selber ein Kreis, so ist der Krümmungskreis natürlich mit
diesem identisch. Ein Kreis mit Radius r hat also in jedem
seiner Punkte den Krümmungswert (skalar betrachtet) [mm] \frac{1}{r} [/mm] .

Oder musst du von einer anderen (eventuell vektoriellen)
Definition ausgehen ?


LG     Al-Chw.


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