Krümmung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
berechnen Sie die maximale Kürmmung der Kurve y = ln(x)
Ich finde eine schöne Formel...
Kürmmung = [mm] \bruch{\dot{x} * \ddot{y} -\ddot{x} * \dot{x} }{(\dot{x}^2 + \dot{y}^2)^{3/2}}
[/mm]
Damit ich diese Formel in Anwendung bringen kann:
[mm] e^y [/mm] = [mm] e^{ln(x)}
[/mm]
x = [mm] e^y
[/mm]
[mm] \dot{x} [/mm] = [mm] e^y
[/mm]
[mm] \ddot{x} [/mm] = [mm] e^y
[/mm]
[mm] \dot{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] \ddot{y} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2*x^2}
[/mm]
Nun füttere ich mal die Formel
Kürmmung = [mm] \bruch{e^y * (- \bruch{1}{2*x^2}) -e^y * \bruch{1}{x}}{(e^y)^2} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{x)^2)^{3/2}}
[/mm]
Ehm wie bringe ich das in die Lesbare Form.
Dann hätte ich einfach die Krümmung abgeleitet und null gesetzt, was bekanntlich minimale oder maximalstellen gibt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 Sa 16.10.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hi Kuriger,
gutgemeinter Tipp: Eventuell wär's für den Lerneffekt weitaus sinnvoller, würdest du nicht dutzend verschiedene Aufgaben gleichzeitig versuchen zu lösen. Meinst du nicht?
Viele Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Sa 16.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Welche Ableitung gibt dir denn die Krümmung vor? Suche von dieser Ableitung dann die Extremstelle(n).
Marius
P.S.:Ich bin ganz ChopSueys Meinung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Please consider this thread...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 Sa 16.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Warum so kompliziert? Du hast hier doch eine einfache Funktion [mm] f:\IR\to\IR, [/mm] also brauchst du doch hier nur die Ableitung nach x. Und dazu hatte ich dir schon geschreiben, dass du von einer bestimmten Ableitung das Extremum suchen sollst.
Mach das mal. Und evtl ist es hilfreich, die den Verlauf von [mm] f(x)=\ln(x) [/mm] mal genauer anzuschauen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Ich suche aber das Extrema der Krümmung, also muss ich ja zuerst irgendwie eine Funktion der Krümmung definieren?
gruss Kuriger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Sa 16.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo
>
> Ich suche aber das Extrema der Krümmung, also muss ich ja
> zuerst irgendwie eine Funktion der Krümmung definieren?
>
> gruss Kuriger
Richtig. Und dazu schaue mal nach, wie  Krümmung definiert ist.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 So 17.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Rex
Leider ist nichts klar.
Diese Funktion hat ja bekanntlich gar keine Extremalpunkte, also weder Hoch- noch Tiefpunkte.
Ich muss mir mal bewusst werden, was eigentlich Krümmung heisst..
Und übrigens wiki führt ja auch diese Formeln...http://de.wikipedia.org/wiki/Kr%C3%BCmmung
Also was willst du denn da machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 So 17.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Vielleicht gilt es noch zu sagen, dass die Funktion bei der Annäherung an x = 0 immer steiler wird...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 So 17.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Sorry, ich hatte irgendwie auf dem SChirm, dass man mit der 2. Ableitung den Wert der Krümmmung bestimmen kann, kann man aber nicht, man kann nur etwas über die Art der Krümmung aussagen, das war mein Fehler.
Aber zurück zur Frage:
Du hast die Krümmung ja hier definiert, also hast du für deinen Fall die Krümmung
[mm] k(x)=\bruch{f''(x)}{(1+f'(x)^{2})^{3/2}} [/mm]
Jetzt nimm mal deine Funktion [mm] f(x)=\ln(x) [/mm] her, bestimme f'(x) und f''(x), setze das in k(x) ein, fasse zusammen, und bestimme dann die Extrema von k(x)
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 So 17.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Irgendwo stimmt was nicht...
f'(x) = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
f''(x) = - [mm] \bruch{1}{2*x^2}
[/mm]
Also
Krümmung = [mm] \bruch{ - \bruch{1}{2*x^2}}{(1 + \bruch{1}{x}^2)x^{3/2}} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{(2 * x^2) *(1 + \bruch{1}{x}^2)x^{3/2} } [/mm] = - [mm] \bruch{1}{(2 * x^{3})^{3/2} *(1 + \bruch{1}{x}^2)x^{3/2} } [/mm] = - [mm] \bruch{1}{(2x + \bruch{3}{x})^{3/2}} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{(\bruch{2x^2 + 2}{x})^{3/2}} [/mm] = - [mm] \bruch{x}{(2x^2 + 2)^{3/2}}
[/mm]
Was mache ich falsch?
gruss Kuriger
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Hallo Kuriger,
> Hallo
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> Irgendwo stimmt was nicht...
>
> f'(x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> f''(x) = - [mm]\bruch{1}{2*x^2}[/mm]
[mm]f''\left(x\right)[/mm] muß hier doch so lauten:
[mm]f''(x) = - \bruch{1}{\red{1}*x^2}=- \bruch{1}{x^2}[/mm]
>
> Also
>
> Krümmung = [mm]\bruch{ - \bruch{1}{2*x^2}}{(1 + \bruch{1}{x}^2)x^{3/2}}[/mm]
> = - [mm]\bruch{1}{(2 * x^2) *(1 + \bruch{1}{x}^2)x^{3/2} }[/mm] = -
> [mm]\bruch{1}{(2 * x^{3})^{3/2} *(1 + \bruch{1}{x}^2)x^{3/2} }[/mm]
> = - [mm]\bruch{1}{(2x + \bruch{3}{x})^{3/2}}[/mm] = -
> [mm]\bruch{1}{(\bruch{2x^2 + 2}{x})^{3/2}}[/mm] = - [mm]\bruch{x}{(2x^2 + 2)^{3/2}}[/mm]
>
> Was mache ich falsch?
>
> gruss Kuriger
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 So 17.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Mathepower
Danke für den Hinweis
Krümmung = ......
Dann habe ich die Krümmung abgeleitet....Ableitung = 0
Dann habe ich irgendwann folgendes erhalten
0 = [mm] -(x^2 [/mm] + [mm] 1)^{3/2} [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] * [mm] (x^2 +1)^{1/2}
[/mm]
[mm] (x^2 [/mm] + [mm] 1)^{3/2} [/mm] = - [mm] 3x^2 [/mm] * [mm] (x^2 +1)^{1/2}
[/mm]
Nun rechne ich ^{2/3}
[mm] x^2 [/mm] + 1 =( - [mm] 3x^2 [/mm] * [mm] (x^2 +1)^{1/2})^{2/3}
[/mm]
Bin ich da in einer Sackgasse gelandet?
Gruss Kuriger
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> Dann habe ich die Krümmung abgeleitet....Ableitung = 0
>
> Dann habe ich irgendwann folgendes erhalten
>
>
> 0 = [mm]-(x^2[/mm] + [mm]1)^{3/2}[/mm] - [mm]3x^2[/mm] * [mm](x^2 +1)^{1/2}[/mm]
>
> [mm](x^2[/mm] + [mm]1)^{3/2}[/mm] = - [mm]3x^2[/mm] * [mm](x^2 +1)^{1/2}[/mm]
>
> Nun rechne ich ^{2/3}
> [mm]x^2[/mm] + 1 =( - [mm]3x^2[/mm] * [mm](x^2 +1)^{1/2})^{2/3}[/mm]
> Bin ich da in einer Sackgasse gelandet?
So sieht es aus.
Warum zeigst du nicht die gesamte Rechnung ?
LG
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Hallo Kuriger,
> Hallo Mathepower
>
> Danke für den Hinweis
>
>
>
> Krümmung = ......
>
> Dann habe ich die Krümmung abgeleitet....Ableitung = 0
>
> Dann habe ich irgendwann folgendes erhalten
>
>
> 0 = [mm]-(x^2[/mm] + [mm]1)^{3/2}[/mm] - [mm]3x^2[/mm] * [mm](x^2 +1)^{1/2}[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]0 = -(x^2 + 1)^{3/2} \red{+} 3x^2 * (x^2 +1)^{1/2}[/mm]
>
> [mm](x^2[/mm] + [mm]1)^{3/2}[/mm] = - [mm]3x^2[/mm] * [mm](x^2 +1)^{1/2}[/mm]
>
> Nun rechne ich ^{2/3}
> [mm]x^2[/mm] + 1 =( - [mm]3x^2[/mm] * [mm](x^2 +1)^{1/2})^{2/3}[/mm]
> Bin ich da in
> einer Sackgasse gelandet?
>
>
> Gruss Kuriger
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 So 17.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Ach ja da habe ich ein Vorzeichenfehler gemacht...Aber dann geht da noch was?
0 = [mm] -(x^2 [/mm] + [mm] 1)^{3/2} [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] * [mm] (x^2 +1)^{1/2}
[/mm]
[mm] (x^2 [/mm] + [mm] 1)^{3/2} [/mm] = [mm] 3x^2 [/mm] * [mm] (x^2 +1)^{1/2}
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] + 1 = [mm] (3x^2 [/mm] * [mm] (x^2 +1)^{1/2})^{2/3}
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] + 1 = ......
Ich komme trotzdem nicht weiter
Gruss Kuriger
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> Hallo
>
> Ach ja da habe ich ein Vorzeichenfehler gemacht...Aber dann
> geht da noch was?
>
> 0 = [mm]-(x^2[/mm] + [mm]1)^{3/2}[/mm] + [mm]3x^2[/mm] * [mm](x^2 +1)^{1/2}[/mm]
Hallo Kuriger,
dividiere diese Gleichung durch [mm](x^2 +1)^{1/2}[/mm] !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 So 17.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
0 = [mm] -(x^2 [/mm] + 1)+ [mm] 3x^2
[/mm]
[mm] 2x^2 [/mm] = 1
[mm] x^2 [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
x = [mm] \pm \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Muss ich jetzt beide Werte in Betracht ziehen und ebi der Krümmung einsetzen?
gruss Kuriger
> >
> > Ach ja da habe ich ein Vorzeichenfehler gemacht...Aber dann
> > geht da noch was?
> >
> > 0 = [mm]-(x^2[/mm] + [mm]1)^{3/2}[/mm] + [mm]3x^2[/mm] * [mm](x^2 +1)^{1/2}[/mm]
>
>
>
> Hallo Kuriger,
>
> dividiere diese Gleichung durch [mm](x^2 +1)^{1/2}[/mm] !
>
>
> LG Al-Chw.
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Mo 18.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo
>
> 0 = [mm]-(x^2[/mm] + 1)+ [mm]3x^2[/mm]
> [mm]2x^2[/mm] = 1
> [mm]x^2[/mm] = [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
> x = [mm]\pm \bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
Die Zeile [mm] x^{2}=\bruch{3}{4} [/mm] ist falsch und überflüssig, dein Ergebnis aber korrekt.
Es gilt:
[mm] 2x^{2}=1
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
>
>
> Muss ich jetzt beide Werte in Betracht ziehen und ebi der
> Krümmung einsetzen?
Beides sind erstmal Kandidaten für Extrema, wenn du wissen willst, welches das Maximum und welches das Minum liefert, solltest du die hinreichende Bedingung abklopfen, und dann die Krümmung auch konkret berechnen. Und dazu musst du diese Werte einseten, und zwar passend.
>
> gruss Kuriger
Marius
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Hallo Kuriger,
beachte den Definitionsbereich der ursprünglichen
Funktion f(x) = ln(x) !
Und schau dir deren Graph an. Da kannst du doch
sehen, dass es auf dieser Kurve genau einen
Punkt mit maximaler Krümmung geben muss.
LG Al-Chw.
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