Kritische Stellen, Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Sa 21.09.2013 | | Autor: | ggT |
| Aufgabe | Gegeben sei: [mm] $f:\IR^2 \to \IR$ [/mm] mit
$f(x,y) := [mm] x^3 [/mm] - 2xy + [mm] y^3$
[/mm]
Sei $K := [mm] \{(x,y) \in \IR^2 | x \ge 0, y \ge 0$ sowie $x + y \le 1\}$
[/mm]
a) Bestimme die Extrema und kritischen Stellen von $f$.
b) Berechne das Maximum und Minimum der Funktion $f$ auf K. |
Hallo zusammen,
ich bin gerade bei der Klausurvorbereitung und gehe daher Altklausuren durch und bräuchte hier eure Hilfe.
Also bei der a) würde es reichen, wenn da mal wer drüber guckt und mich evtl. auf Fehler hinweist.
zu a)
[mm] $f_x(x,y) [/mm] = [mm] 3x^2 [/mm] - 2y$
[mm] $f_y(x,y) [/mm] = -2x + [mm] 3y^2$
[/mm]
[mm] $f_{xx}(x,y) [/mm] = 6x$
[mm] $f_{yy}(x,y) [/mm] = 6y$
[mm] $f_{xy}(x,y) [/mm] = [mm] f_{yx}(x,y) [/mm] = -2$
Notwendige Bedingung: [mm] $f_x(x,y) [/mm] = 0 [mm] \wedge f_y(x,y) [/mm] = 0$
Gleichungssystem:
[mm] $3x^2-2y=0$
[/mm]
[mm] $-2x+3y^2=0$
[/mm]
[...]
[mm] $x_1=0 \wedge x_2= \bruch{2}{3}$
[/mm]
[mm] $y_1=0 \wedge y_2= \bruch{2}{3}$
[/mm]
Hessematrix aufstellen:
$H=D^2f(x,y) = [mm] \pmat{ 6x & -2 \\ -2 & 6y }$
[/mm]
Determinanten berechnen:
$H(0,0) = [mm] \pmat{ -\lambda & -2 \\ -2 & -\lambda }$
[/mm]
[mm] $\lambda^2-4$
[/mm]
[mm] $\lambda_1 [/mm] = 2 [mm] \wedge \lambda_2 [/mm] = -2$
also indefinit, weil ein Eigenwert negativ und einer positiv
Es ist eine Sattelstelle.
[mm] $H(\bruch{2}{3},\bruch{2}{3}) [/mm] = [mm] \pmat{ 4-\lambda & -2 \\ -2 & 4-\lambda }$
[/mm]
[mm] $(4-\lambda)^2-4$
[/mm]
[mm] $\lambda_1 [/mm] = 6 [mm] \wedge \lambda_2 [/mm] = 2$
beide Eigenwerte positiv, also positiv definit, somit ein Minimum an der Stelle [mm] $(\bruch{2}{3},\bruch{2}{3})$
[/mm]
b) Hier weiß ich nicht genau, wie es nun weitergeht. Im Prinzip habe ich ja bereits alle Extrema berechnet, wobei das eben berechnete Minimum nicht in der Menge $K$ liegt, weil $x+y [mm] \le [/mm] 1$ nicht gilt.
Somit würde ich denken, dass es in der Menge kein lokales Extremum gibt, also diese auf dem Rand liegen müssen. Ist das soweit richtig?
Nun weiß ich allerdings nicht, wie ich dann ein solches Randmaximum/Randminimum bestimmen müsste, falls die Vermutung soweit richtig sein sollte. :)
Bräuchte daher jetzt Hilfe.
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Hallo,
> Gegeben sei: [mm]f:\IR^2 \to \IR[/mm] mit
> [mm]f(x,y) := x^3 - 2xy + y^3[/mm]
>
> Sei [mm]K := \{(x,y) \in \IR^2 | x \ge 0, y \ge 0[/mm] sowie [mm]x + y \le 1\}[/mm]
>
> a) Bestimme die Extrema und kritischen Stellen von [mm]f[/mm].
> b) Berechne das Maximum und Minimum der Funktion [mm]f[/mm] auf K.
> Hallo zusammen,
> ich bin gerade bei der Klausurvorbereitung und gehe daher
> Altklausuren durch und bräuchte hier eure Hilfe.
>
> Also bei der a) würde es reichen, wenn da mal wer drüber
> guckt und mich evtl. auf Fehler hinweist.
>
> zu a)
> [mm]f_x(x,y) = 3x^2 - 2y[/mm]
> [mm]f_y(x,y) = -2x + 3y^2[/mm]
> [mm]f_{xx}(x,y) = 6x[/mm]
>
> [mm]f_{yy}(x,y) = 6y[/mm]
> [mm]f_{xy}(x,y) = f_{yx}(x,y) = -2[/mm]
>
> Notwendige Bedingung: [mm]f_x(x,y) = 0 \wedge f_y(x,y) = 0[/mm]
>
> Gleichungssystem:
> [mm]3x^2-2y=0[/mm]
> [mm]-2x+3y^2=0[/mm]
>
> [...]
>
> [mm]x_1=0 \wedge x_2= \bruch{2}{3}[/mm]
>
> [mm]y_1=0 \wedge y_2= \bruch{2}{3}[/mm]
>
> Hessematrix aufstellen:
> [mm]H=D^2f(x,y) = \pmat{ 6x & -2 \\ -2 & 6y }[/mm]
>
> Determinanten berechnen:
> [mm]H(0,0) = \pmat{ -\lambda & -2 \\ -2 & -\lambda }[/mm]
>
> [mm]\lambda^2-4[/mm]
> [mm]\lambda_1 = 2 \wedge \lambda_2 = -2[/mm]
> also indefinit, weil
> ein Eigenwert negativ und einer positiv
> Es ist eine Sattelstelle.
>
> [mm]H(\bruch{2}{3},\bruch{2}{3}) = \pmat{ 4-\lambda & -2 \\ -2 & 4-\lambda }[/mm]
>
> [mm](4-\lambda)^2-4[/mm]
> [mm]\lambda_1 = 6 \wedge \lambda_2 = 2[/mm]
> beide Eigenwerte
> positiv, also positiv definit, somit ein Minimum an der
> Stelle [mm](\bruch{2}{3},\bruch{2}{3})[/mm]
O.K.
>
> b) Hier weiß ich nicht genau, wie es nun weitergeht. Im
> Prinzip habe ich ja bereits alle Extrema berechnet, wobei
> das eben berechnete Minimum nicht in der Menge [mm]K[/mm] liegt,
> weil [mm]x+y \le 1[/mm] nicht gilt.
>
> Somit würde ich denken, dass es in der Menge kein lokales
> Extremum gibt, also diese auf dem Rand liegen müssen. Ist
> das soweit richtig?
>
> Nun weiß ich allerdings nicht, wie ich dann ein solches
> Randmaximum/Randminimum bestimmen müsste, falls die
> Vermutung soweit richtig sein sollte. :)
>
> Bräuchte daher jetzt Hilfe.
Kennst du die Methode der Lagrange Multiplikatoren?
Gruß Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 21.09.2013 | | Autor: | ggT |
Sagt mir gerade nicht viel, aber ich werd mich da gleich hinsetzen und alles darüber in Erfahrung bringen, melde mich dann, wenn ich da was raus hab bzw. nicht weiterkomme.l
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:12 So 22.09.2013 | | Autor: | ggT |
So, ich hatte mich jetzt einige Zeit mit den Lagrange Multiplikatoren beschäftigt und dazu auch einige Beispielaufgaben gelöst. Soweit ich das sehe habe ich hier erst einmal drei Nebenbedingungen, was ich ansich auch noch lösen kann.
Mein Problem sind nun aber die kleiner/gleich- bzw. größer/gleich-Zeichen.
Ich würde diese ja gern ignorieren, aber führt das wohl nicht zu der Lösung, dennoch hier mein missglückter Versuch:
[mm] $f(x,y):=x^3-2xy+y^3$
[/mm]
[mm] $g_1(x,y)=x=0$
[/mm]
[mm] $g_2(x,y)=y=0$
[/mm]
[mm] $g_3(x,y)=x+y-1=0$
[/mm]
Langrange-Funktion:
[mm] $F(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) [/mm] = [mm] x^3-2xy+y^3+\lambda_1 [/mm] x + [mm] \lambda_2 [/mm] y + [mm] \lambda_3 [/mm] (x+y-1)$
Jetzt die verschiedenen Ableitungen nach jeder Variablen bilden:
[mm] $F_x(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) [/mm] = [mm] 3x^2-2y+\lambda_1+\lambda_3$
[/mm]
[mm] $F_y(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) [/mm] = [mm] -2x+3y^2+\lambda_2+\lambda_3$
[/mm]
[mm] $F_{\lambda_1}(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) [/mm] = x$
[mm] $F_{\lambda_2}(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) [/mm] = y$
[mm] $F_{\lambda_3}(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) [/mm] = x+y-1$
Ja gut, die fünf Gleichungen müsste ich nun gleich 0 setzen, aber allein die letzten drei Gleichungen geben einen Widerspruch.
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Hallo,
> So, ich hatte mich jetzt einige Zeit mit den Lagrange
> Multiplikatoren beschäftigt und dazu auch einige
> Beispielaufgaben gelöst. Soweit ich das sehe habe ich hier
> erst einmal drei Nebenbedingungen, was ich ansich auch noch
> lösen kann.
>
> Mein Problem sind nun aber die kleiner/gleich- bzw.
> größer/gleich-Zeichen.
Beispiel: für [mm]x+y < 1 [/mm] sind auch keine Lagrange Mult. notwendig- lediglich für x+y=1.
>
> Ich würde diese ja gern ignorieren, aber führt das wohl
> nicht zu der Lösung, dennoch hier mein missglückter
> Versuch:
> [mm]f(x,y):=x^3-2xy+y^3[/mm]
> [mm]g_1(x,y)=x=0[/mm]
> [mm]g_2(x,y)=y=0[/mm]
> [mm]g_3(x,y)=x+y-1=0[/mm]
>
> Langrange-Funktion:
> [mm]F(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = x^3-2xy+y^3+\lambda_1 x + \lambda_2 y + \lambda_3 (x+y-1)[/mm]
>
> Jetzt die verschiedenen Ableitungen nach jeder Variablen
> bilden:
> [mm]F_x(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = 3x^2-2y+\lambda_1+\lambda_3[/mm]
>
> [mm]F_y(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = -2x+3y^2+\lambda_2+\lambda_3[/mm]
>
> [mm]F_{\lambda_1}(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = x[/mm]
>
> [mm]F_{\lambda_2}(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = y[/mm]
>
> [mm]F_{\lambda_3}(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = x+y-1[/mm]
>
> Ja gut, die fünf Gleichungen müsste ich nun gleich 0
> setzen, aber allein die letzten drei Gleichungen geben
> einen Widerspruch.
Das ist Unsinn. Was haben hier 3 Lagrange Multiplikatoren verloren?
Gruß Thomas
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> > [mm]f(x,y):=x^3-2xy+y^3[/mm]
> > [mm]g_1(x,y)=x=0[/mm]
> > [mm]g_2(x,y)=y=0[/mm]
> > [mm]g_3(x,y)=x+y-1=0[/mm]
> >
> > Langrange-Funktion:
> > [mm]F(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = x^3-2xy+y^3+\lambda_1 x + \lambda_2 y + \lambda_3 (x+y-1)[/mm]
>
> >
> > Jetzt die verschiedenen Ableitungen nach jeder Variablen
> > bilden:
> > [mm]F_x(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = 3x^2-2y+\lambda_1+\lambda_3[/mm]
>
> >
> > [mm]F_y(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = -2x+3y^2+\lambda_2+\lambda_3[/mm]
>
> >
> > [mm]F_{\lambda_1}(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = x[/mm]
> >
> > [mm]F_{\lambda_2}(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = y[/mm]
> >
> > [mm]F_{\lambda_3}(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = x+y-1[/mm]
>
> >
> > Ja gut, die fünf Gleichungen müsste ich nun gleich 0
> > setzen, aber allein die letzten drei Gleichungen geben
> > einen Widerspruch.
>
> Das ist Unsinn.
> Was haben hier 3 Lagrange Multiplikatoren
> verloren?
Hallo,
diese Reaktion auf ggTs Vorgehen finde ich doch recht hart - immerhin war der Gedanke "drei Nebenbedingungen, drei Lagrangefaktoren" ja nun nicht soooooo absurd, oder?
Man müßte doch zumindest erklären, warum es hier nicht funktioniert.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 So 22.09.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo ggt, hallo angela
>
> > > [mm]f(x,y):=x^3-2xy+y^3[/mm]
> > > [mm]g_1(x,y)=x=0[/mm]
> > > [mm]g_2(x,y)=y=0[/mm]
> > > [mm]g_3(x,y)=x+y-1=0[/mm]
> > >
> > > Langrange-Funktion:
> > > [mm]F(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = x^3-2xy+y^3+\lambda_1 x + \lambda_2 y + \lambda_3 (x+y-1)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Jetzt die verschiedenen Ableitungen nach jeder
> Variablen
> > > bilden:
> > > [mm]F_x(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = 3x^2-2y+\lambda_1+\lambda_3[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]F_y(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = -2x+3y^2+\lambda_2+\lambda_3[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]F_{\lambda_1}(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = x[/mm]
>
> > >
> > > [mm]F_{\lambda_2}(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = y[/mm]
>
> > >
> > > [mm]F_{\lambda_3}(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = x+y-1[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ja gut, die fünf Gleichungen müsste ich nun gleich
> 0
> > > setzen, aber allein die letzten drei Gleichungen
> geben
> > > einen Widerspruch.
> >
> > Das ist Unsinn.
> > Was haben hier 3 Lagrange Multiplikatoren
> > verloren?
>
> Hallo,
>
> diese Reaktion auf ggTs Vorgehen finde ich doch recht hart
> - immerhin war der Gedanke "drei Nebenbedingungen, drei
> Lagrangefaktoren" ja nun nicht soooooo absurd, oder?
> Man müßte doch zumindest erklären, warum es hier nicht
> funktioniert.
>
> LG Angela
>
Dies sollte nicht so hart sein wie es sich eventuell liest.
Gruß Thomas
Ps: ggt falls du Beispiele zur Übung bzgl Lagrange Mult. benötigst - nur keine Scheu , da gibts einige ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:32 Mo 23.09.2013 | | Autor: | ggT |
Hallo ihr beiden,
ich hab das jetzt auch nicht so hart aufgefasst, da bin ich aus dem Internet ja andere Sachen gewohnt. :)
Bin ohnehin wegen der in Kürze anstehenden Klausur ohnehin recht gestresst und hoffe einfach, dass ich bis dahin in einigen Dingen noch etwas Dunkel ins Licht bekomme.
Hab eben Mathe nur als Pflichtteil, da ich Informatik-Student bin und für die ist es nicht immer leicht, einige Module zusammen mit den Mathe-Studenten zu haben, die da doch deutlich mehr Durchblick haben.
Wenn ich die Klausur bestehen würde, wäre ich doch sehr glücklich, aber wie sooft hängt es stark mit Glück bei den Klausuraufgaben ab.
Gruß,
Michael
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> ... hoffe einfach, dass ich bis dahin in
> einigen Dingen noch etwas Dunkel ins Licht bekomme.
... ja, sowas ist immer gut: ein wenig Schatten, damit
man nicht geradezu geblendet wird vom Lichte der
Erkenntnis !
wünsche einen gesegneten neuen Tag - es graut ja
schon wieder der Morgen ... 
Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 So 22.09.2013 | | Autor: | abakus |
> b) Hier weiß ich nicht genau, wie es nun weitergeht. Im
> Prinzip habe ich ja bereits alle Extrema berechnet, wobei
> das eben berechnete Minimum nicht in der Menge [mm]K[/mm] liegt,
> weil [mm]x+y \le 1[/mm] nicht gilt.
>
> Somit würde ich denken, dass es in der Menge kein lokales
> Extremum gibt, also diese auf dem Rand liegen müssen. Ist
> das soweit richtig?
>
> Nun weiß ich allerdings nicht, wie ich dann ein solches
> Randmaximum/Randminimum bestimmen müsste, falls die
> Vermutung soweit richtig sein sollte. :)
Hallo,
du musst doch einfach nur den Rand abfahren.
Setze x=0 und lasse y von 0 bis 1 wachsen.
Bei (0,0) gibt es erst einmal den kleinsten und bei (0,1) den größten Funktionswert.
Setze nun y=0 und lasse x von 0 bis 1 wachsen.
Am interessanten wird noch die Wanderung auf
x+y=1.
Setze y=1-x in die Funktionsgleichung ein und lasse x von 0 bis 1 wachsen. Da dürfte beim Punkt (0,5|0,5) schon aus Symmetriegründen noch etwas passieren.
Gruß Abakus
>
> Bräuchte daher jetzt Hilfe.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 So 22.09.2013 | | Autor: | ggT |
Hallo,
wusste jetzt nicht auf welche Antwort ich reagieren soll, aber da das hier ganz unten im Baum ist, antworte ich hier mal.
Ja das mit dem Rand abfahren leuchtet mir soweit ein.
Dass dann bei (0,1) bzw. (1,0) die größten Funktionswerte resultieren,
ist ja auch logisch nachvollziehbar wegen [mm] $x^3$ [/mm] bzw. [mm] $y^3$.
[/mm]
Wenn ich jetzt $y=1-x$ in die Ausgangsfunktion einsetze:
[mm] $f(x,y)=x^3-2x(1-x)+(1-x)^3$
[/mm]
[mm] $=5x^2-5x+1$
[/mm]
[mm] $=x^2-x+\bruch{1}{5}$
[/mm]
Das jetzt mit $0$ gleichsetzen und auflösen, ergibt:
[mm] $x_{1,2}=\bruch{1}{2}\pm \wurzel{\bruch{1}{4}-\bruch{1}{5}}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{2}\pm \wurzel{\bruch{1}{20}}$
[/mm]
Da kommt jetzt irgendwie nicht genau $0,5$ raus...
Hab den zweiten Teil jetzt nochmal mit den Langrange-Multiplikatoren gemacht:
(mein Fehler war wohl, dass ich dachte es sind drei Nebenbedingungen, aber man das tatsächlich mit einer lösen muss)
$ [mm] F(x,y,\lambda_1) [/mm] = [mm] x^3-2xy+y^3+\lambda_1 [/mm] (x+y-1) $
$ [mm] F_x(x,y,\lambda_1) [/mm] = [mm] 3x^2-2y+\lambda_1 [/mm] $
$ [mm] F_y(x,y,\lambda_1) [/mm] = [mm] -2x+3y^2+\lambda_1 [/mm] $
$ [mm] F_{\lambda_1}(x,y,\lambda_1) [/mm] = x+y-1 $
Ergebnis davon wäre:
[mm] $y=\bruch{1}{2}$
[/mm]
[mm] $x=\bruch{1}{2}$
[/mm]
Jetzt würde ich die kritische Stelle noch mit der geränderten Hesse-Matrix betrachten:
$g(x,y)=x+y-1$
[mm] $g_x(x,y)=1$
[/mm]
[mm] $g_y(x,y)=1$
[/mm]
$ [mm] F_xx(x,y,\lambda_1) [/mm] = 6x $
$ [mm] F_yy(x,y,\lambda_1) [/mm] = 6y $
$ [mm] F_xy(x,y,\lambda_1) [/mm] = -2 $
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & -2 & 3}
[/mm]
Jetzt noch die Determinante berechnen:
$(0*6x*6y)+(1*(-2)*1)+(1*1*(-2))-(0*(-2)*(-2))-(1*1*3)-(1*3*1)$
$=0-2-2-4-3-3=-14$
$-14<0$, also ein lokales Minimum
Wäre das dann so richtig?
Ist das richtig, dass ich mit Lagrange dann zwar ein lokales Minimum finden würde, aber die Maxima nicht, weil sie auf dem Rand liegen?
Gruß ggT
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Hallo ggT,
> Hallo,
>
> wusste jetzt nicht auf welche Antwort ich reagieren soll,
> aber da das hier ganz unten im Baum ist, antworte ich hier
> mal.
> Ja das mit dem Rand abfahren leuchtet mir soweit ein.
> Dass dann bei (0,1) bzw. (1,0) die größten
> Funktionswerte resultieren,
> ist ja auch logisch nachvollziehbar wegen [mm]x^3[/mm] bzw. [mm]y^3[/mm].
>
> Wenn ich jetzt [mm]y=1-x[/mm] in die Ausgangsfunktion einsetze:
> [mm]f(x,y)=x^3-2x(1-x)+(1-x)^3[/mm]
> [mm]=5x^2-5x+1[/mm]
> [mm]=x^2-x+\bruch{1}{5}[/mm]
>
Hier muss es doch so lauten:
[mm]\blue{\Rightarrow}x^2-x+\bruch{1}{5}[/mm]
> Das jetzt mit [mm]0[/mm] gleichsetzen und auflösen, ergibt:
> [mm]x_{1,2}=\bruch{1}{2}\pm \wurzel{\bruch{1}{4}-\bruch{1}{5}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}\pm \wurzel{\bruch{1}{20}}[/mm]
>
> Da kommt jetzt irgendwie nicht genau [mm]0,5[/mm] raus...
>
Von der Funktion [mm]x^2-x+\bruch{1}{5}[/mm] ist ja auch das Extrema zu berechnen.
> Hab den zweiten Teil jetzt nochmal mit den
> Langrange-Multiplikatoren gemacht:
> (mein Fehler war wohl, dass ich dachte es sind drei
> Nebenbedingungen, aber man das tatsächlich mit einer
> lösen muss)
> [mm]F(x,y,\lambda_1) = x^3-2xy+y^3+\lambda_1 (x+y-1)[/mm]
>
> [mm]F_x(x,y,\lambda_1) = 3x^2-2y+\lambda_1[/mm]
> [mm]F_y(x,y,\lambda_1) = -2x+3y^2+\lambda_1[/mm]
>
> [mm]F_{\lambda_1}(x,y,\lambda_1) = x+y-1[/mm]
>
> Ergebnis davon wäre:
> [mm]y=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]x=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Jetzt würde ich die kritische Stelle noch mit der
> geränderten Hesse-Matrix betrachten:
> [mm]g(x,y)=x+y-1[/mm]
> [mm]g_x(x,y)=1[/mm]
> [mm]g_y(x,y)=1[/mm]
> [mm]F_xx(x,y,\lambda_1) = 6x[/mm]
> [mm]F_yy(x,y,\lambda_1) = 6y[/mm]
>
> [mm]F_xy(x,y,\lambda_1) = -2[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & -2 & 3}[/mm]
>
> Jetzt noch die Determinante berechnen:
>
> [mm](0*6x*6y)+(1*(-2)*1)+(1*1*(-2))-(0*(-2)*(-2))-(1*1*3)-(1*3*1)[/mm]
> [mm]=0-2-2-4-3-3=-14[/mm]
> [mm]-14<0[/mm], also ein lokales Minimum
>
> Wäre das dann so richtig?
> Ist das richtig, dass ich mit Lagrange dann zwar ein
> lokales Minimum finden würde, aber die Maxima nicht, weil
> sie auf dem Rand liegen?
>
> Gruß ggT
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 So 22.09.2013 | | Autor: | ggT |
Hey,
hm sry ich verstehe gerade nicht, was ich jetzt konkret falsch gemacht hatte.
Also ich hab doch die Funktion gleich 0 gesetzt, damit berechne ich doch die Extrema?
Also klar war erst die notwendige Bedingung noch nicht die hinreichende, das ist mir klar, aber dennoch kommt da ja nicht $0,5$ raus, sondern eben geringfügig was anderes.
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Hallo ggT,
> Hey,
>
> hm sry ich verstehe gerade nicht, was ich jetzt konkret
> falsch gemacht hatte.
> Also ich hab doch die Funktion gleich 0 gesetzt, damit
> berechne ich doch die Extrema?
>
Nein.
Die erste Ableitung der Funktion bestimmt die Extrema.
> Also klar war erst die notwendige Bedingung noch nicht die
> hinreichende, das ist mir klar, aber dennoch kommt da ja
> nicht [mm]0,5[/mm] raus, sondern eben geringfügig was anderes.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 So 22.09.2013 | | Autor: | ggT |
Ohje ich war so im partiell ableiten drin, dass ich das ganz "normale" ableiten, doch völlig verdrängt hatte...
Ja, also wenn das so ist, hätte man $f'(x)=2x-1$ und das würde dann natürlich auf die gleichen Nullstellen hinauslaufen wie bei Lagrange.
2.Ableitung wäre dann ja einfach $2>0$ und somit ein lokales Minimum.
Wo das Ganze jetzt im Prinzip durch ist, hätte ich abschließend noch ein paar Fragen, die ihr mir hoffentlich zum besseren Verständnis beantworten könnt:
1) Hab ich die Methode der Langrange Multiplikatoren jetzt richtig angewandt?
2) Ist die geränderte Hesse-Matrix so richtig? (habe die das erste Mal aufgestellt und bei Wikipedia den Inhalt gefunden, also wo in der Matrix welche Ableitungen hin sollen)
3) Mit dem Lagrange Multiplikator finde ich ja das Minimum, aber die Ränder bzw. Maxima ergeben sich dadurch nicht. Bedeutet dies, ich muss die Ränder immer für sich untersuchen oder gibt es da evtl. noch einen Trick bei Lagrange.
4) Wieso darf ich mit der Lagrange-Methode dieses $x [mm] \ge [/mm] 0$ und das $y [mm] \ge [/mm] 0$ nicht als zwei weitere Nebenbedingungen betrachten, da dies mir als Erstes in den Sinn kam. (siehe andere Antwort oben)
5) Gehen generell beide Methoden, also die Lagrange-Methode und die Nebenbedingung umstellen und diese dann in die Ausgangsgleichung einzusetzen? Oder hat die 2.Methode der Variablenumstellung auch Nachteile, also gäbe es Schwierigkeiten, wenn es z.B. noch eine zweite Nebenbedingung gäbe.
6) Wie durchläuft man den Rand, wenn die Gleichung nicht so offensichtlich ist wie hier. Hier war es ja einfach, weil man nur [mm] $x^3$ [/mm] bzw. [mm] $y^3$ [/mm] betrachten musste und das Maximum lag ja quasi ganz an beiden Rändern. Aber es könnte ja theoretisch auch irgendwo in der Mitte sein, bei [mm] $(0,\bruch{2}{5}) [/mm] oder sowas in der Art.
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Hallo,
> Ohje ich war so im partiell ableiten drin, dass ich das
> ganz "normale" ableiten, doch völlig verdrängt hatte...
>
> Ja, also wenn das so ist, hätte man [mm]f'(x)=2x-1[/mm] und das
> würde dann natürlich auf die gleichen Nullstellen
> hinauslaufen wie bei Lagrange.
>
> 2.Ableitung wäre dann ja einfach [mm]2>0[/mm] und somit ein lokales
> Minimum.
>
> Wo das Ganze jetzt im Prinzip durch ist, hätte ich
> abschließend noch ein paar Fragen, die ihr mir hoffentlich
> zum besseren Verständnis beantworten könnt:
>
> 1) Hab ich die Methode der Langrange Multiplikatoren jetzt
> richtig angewandt?
Zweiter Versuch war in Ordnung , ja.
>
> 2) Ist die geränderte Hesse-Matrix so richtig? (habe die
> das erste Mal aufgestellt und bei Wikipedia den Inhalt
> gefunden, also wo in der Matrix welche Ableitungen hin
> sollen)
Dies kannst du leicht selbst prüfen.
>
> 3) Mit dem Lagrange Multiplikator finde ich ja das Minimum,
> aber die Ränder bzw. Maxima ergeben sich dadurch nicht.
> Bedeutet dies, ich muss die Ränder immer für sich
> untersuchen oder gibt es da evtl. noch einen Trick bei
> Lagrange.
Wie meinst du das genau?
Lagrange Multiplikatoren werden für Nebenbedingungen der Form [mm] g(x_{1},....,x_{n}) [/mm] = 0 herangezogen und unter dieser/diesen NB untersucht man das Problem.
>
> 4) Wieso darf ich mit der Lagrange-Methode dieses [mm]x \ge 0[/mm]
> und das [mm]y \ge 0[/mm] nicht als zwei weitere Nebenbedingungen
> betrachten, da dies mir als Erstes in den Sinn kam. (siehe
> andere Antwort oben)
>
> 5) Gehen generell beide Methoden, also die Lagrange-Methode
> und die Nebenbedingung umstellen und diese dann in die
> Ausgangsgleichung einzusetzen? Oder hat die 2.Methode der
> Variablenumstellung auch Nachteile, also gäbe es
> Schwierigkeiten, wenn es z.B. noch eine zweite
> Nebenbedingung gäbe.
In diesem Fall geht das natürlich. Überlege dir aber wenn das Problem komplexer und nicht mehr " überschaubar " ist - etwa indem du ein System von Nebenbedingungen hast.
>
> 6) Wie durchläuft man den Rand, wenn die Gleichung nicht
> so offensichtlich ist wie hier. Hier war es ja einfach,
> weil man nur [mm]$x^3$[/mm] bzw. [mm]$y^3$[/mm] betrachten musste und das
> Maximum lag ja quasi ganz an beiden Rändern. Aber es
> könnte ja theoretisch auch irgendwo in der Mitte sein, bei
> [mm]$(0,\bruch{2}{5})[/mm] oder sowas in der Art.
Auf sowas ist immer schwer zu antworten - man kann kaum Rezepte für Vorgehensweisen liefern - das hängt sehr stark vom Beispiel ab.
Gruß Thomas
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Mo 23.09.2013 | | Autor: | ggT |
Hallo,
> > 3) Mit dem Lagrange Multiplikator finde ich ja das Minimum,
> > aber die Ränder bzw. Maxima ergeben sich dadurch nicht.
> > Bedeutet dies, ich muss die Ränder immer für sich
> > untersuchen oder gibt es da evtl. noch einen Trick bei
> > Lagrange.
> Wie meinst du das genau?
> Lagrange Multiplikatoren werden für Nebenbedingungen der Form $ [mm] g(x_{1},....,x_{n}) [/mm] $ = 0 herangezogen und unter dieser/diesen NB untersucht man das Problem.
Ich meine damit, dass ich zwar das Minimum mit Lagrange bei [mm] $(\bruch{1}{2},\bruch{1}{2})$ [/mm] gefunden habe, aber nicht die Maxima bei (1,0) und (0,1). Die habe ich ja quasi von Hand gefunden.
Gruß
Michael
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Mo 23.09.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> > > 3) Mit dem Lagrange Multiplikator finde ich ja das
> Minimum,
> > > aber die Ränder bzw. Maxima ergeben sich dadurch
> nicht.
> > > Bedeutet dies, ich muss die Ränder immer für sich
> > > untersuchen oder gibt es da evtl. noch einen Trick
> bei
> > > Lagrange.
>
> > Wie meinst du das genau?
> > Lagrange Multiplikatoren werden für Nebenbedingungen
> der Form [mm]g(x_{1},....,x_{n})[/mm] = 0 herangezogen und unter
> dieser/diesen NB untersucht man das Problem.
>
> Ich meine damit, dass ich zwar das Minimum mit Lagrange bei
> [mm](\bruch{1}{2},\bruch{1}{2})[/mm] gefunden habe, aber nicht die
> Maxima bei (1,0) und (0,1). Die habe ich ja quasi von Hand
> gefunden.
Die lokalen Extrema einer Funktion kann man mit "erste Ableitung gleich Null?" finden.
Bei globalen Extrema reicht das allein eben nun mal nicht aus.
Das "nur von Hand finden" ist kein persönlicher Makel, das liegt in der Natur der Sache.
Gruß Abakus
>
> Gruß
> Michael
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> 4) Wieso darf ich mit der Lagrange-Methode dieses [mm]x \ge 0[/mm]
> und das [mm]y \ge 0[/mm] nicht als zwei weitere Nebenbedingungen
> betrachten, da dies mir als Erstes in den Sinn kam. (siehe
> andere Antwort oben)
Hallo,
hierauf möchte ich nochmal eingehen, denn genau dies war der Punkt, den ich gestern kritisiert hatte.
Zu betrachten war ja die Funktion über dem Dreieck mit den Eckpunkten (0|0),(0|1),(1|0), begrenzt durch die Geraden x=0,y=0 und x+y-1=0.
Welche Punkte liegen auf dem Rand des Dreiecks?
Die Punkte (x,y) für die gilt: x=0 oder y=0 oder x+y-1=0.
Ganz sicher liegen auf dem Rand nicht die Punkte, für die alle Nebenbedingungen gleichzeitig gelten - solch einen Punkt gibt es ja gar nicht, und schon deswegen konntest Du auch das entsprechende Gleichungssystem nicht lösen.
Aber schau auch mal in Deinen Unterlagen nach, wie die Voraussetzungen für das Lagrangeverfahren sind. Sie werden verschieden formuliert. Eine dieser Formulierungen ist, daß die Gradienten der Nebenbedingungen linear unabhängig sein müssen, und das kann hier ja allein deshalb nicht der Fall sein, weil wir mit x=0, y=0, x+y-1=0 drei Nebenbedingungen hätten bei nur zwei Variablen hätten.
Mal allgemein zum Vorgehen:
prinzipiell ist es niemals ein Fehler, sich das Gebiet, über welchem die Funktion zu untersuchen ist, erstmal zu skizzieren.
Die Extrema im Inneren bekommt man durch eine "ganz normale" Extremwertberechnung über [mm] \IR^2, [/mm] und dann guckt man, welche der ermittelten Punkte in diesem Gebiet liegen, also die Bedingungen [mm] x\le [/mm] 0, [mm] y\le [/mm] 0, [mm] x+y-1\le [/mm] 0 erfüllen.
Danach untersuche den Rand.
Dazu kannst Du die Funktion über den begrenzenden Kurven jeweils mit Lagrange untersuchen.
Am Ende mußt Du unbedingt noch die Funktionswerte anschauen, die zu den Ecken des Gebietes gehören.
So, ich hoffe, daß alles verständlich und auch richtig ist.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Ich denke man kann die Frage auf beantwortet stellen.
Beste Grüße
Thomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Mo 23.09.2013 | | Autor: | ggT |
Hey,
ja sehe ich auch so, danke für die ausführliche Hilfe hier.
Allerdings finde ich keinen Button, um die Frage als beantwortet zu kennzeichnen.
Gruß
Michael
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