Kriterium für Wendepunkt < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei I ein offenes Intervall, x0 Element von I, f Element von [mm] C^n [/mm] mit n größer/gleich 3. Es gelte außerdem, dass die die 2. Ableitung von f(xo) und alle folgenden Ableitungen einschließlich der (n-1) gleich null sind und die n-te Ableitung ungleich null. Zeigen sie, dass an der Stelle x0 eine Wendestelle ist. |
Hallo Leute,
dass man f stetig sein muss und mindestens n-mal differenzierbar ist mir klar. Mit dem Umgebungsbegriff haben wir das auch schon gemacht und das ist mir klar. Es soll nun aber noch ein anderes Kriterium geben, aber ich komme absolut nicht darauf!
Könnt ihr mir vllt helfen?
Vielen Dank für eure Hilfe!
MfG
P.S. Ich hab schon gelesen, wenn die erste Ableitung, die ungleich null ist, ungerade ist, so soll es ein Sattelpunkt sein. Ehrlich gesagt hilft mir das nicht weiter. Lediglich, dass es wohl da wohl abhängig ist, ob die Ableitung die ungleich null ist, gerade oder ungerade ist...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Mi 04.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwas fehlt in deiner Behauptung [mm] f(x)=x^6 [/mm] ist aus [mm] C^6 [/mm] alle Ableitungen bis zur 5.ten sind bei [mm] x_0=0 [/mm] 0 [mm] f^{(6)}\ne0 [/mm] aber [mm] x^6 [/mm] hat keine Wendestelle bei 0.
steht da irgendwo n ungerade?
(übrigens auch ein Sattelpkt ist ne Wendestelle!)
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:32 Mi 04.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo Genius-at-work,
> P.S. Ich hab schon gelesen, wenn die erste Ableitung, die
> ungleich null ist, ungerade ist, so soll es ein Sattelpunkt
> sein.
Aber nur, wenn die erste Ableitung gleich null ist.
Über die erste Ableitung wird aber gar nichts ausgesagt.
Auch mit Blick auf leduarts Anmerkung vermute ich, dass diese erste Ableitung in der Aufgabe ausdrücklich ungleich null sein soll...?
> Ehrlich gesagt hilft mir das nicht weiter. Lediglich,
> dass es wohl da wohl abhängig ist, ob die Ableitung die
> ungleich null ist, gerade oder ungerade ist...
Ja. Bei $f'(x)=0$ hängt davon ab, ob ein Wende- (und somit Sattel-) oder aber kein Wende- sondern ein Extrempunkt vorliegt.
Bei [mm] $f'(x)\ne0$ [/mm] entsprechend. Die Alternativen sind dann lediglich Wendepunkt oder nicht.
Aber wie man das herleitet oder zeigt, fällt mir jetzt auch nicht ein.
Vielleicht lässt sich ein Zusammenhang zwischen Vorzeichenwechselkriterium und den nachfolgenden Ableitungen herstellen...
Ach... Könnte es sein, dass in der originalen Aufgabe auch gefordert ist, dass n ungerade sein soll?
Schöne Grüße
ardik
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Nein, wegen gerade oder ungerade steht da nichts mehr. Mit der ersten Ableitung ist mir alles klar. Darum geht es nicht. Auch die Geschichte mit dem Sattelpunkt hilft mir nicht weiter und ist eigentlich auch nebensächlich. Ich habe das nur geschrieben, falls jemand sich dadurch irgendjemand erinnern könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Mi 04.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Es sei I ein offenes Intervall, x0 Element von I, f Element
> von [mm]C^n[/mm] mit n größer/gleich 3. Es gelte außerdem, dass die
> die 2. Ableitung von f(xo) und alle folgenden Ableitungen
> einschließlich der (n-1) gleich null sind und die n-te
> Ableitung ungleich null. Zeigen sie, dass an der Stelle x0
> eine Wendestelle ist.
> Hallo Leute,
> dass man f stetig sein muss und mindestens n-mal
> differenzierbar ist mir klar. Mit dem Umgebungsbegriff
> haben wir das auch schon gemacht und das ist mir klar. Es
> soll nun aber noch ein anderes Kriterium geben, aber ich
> komme absolut nicht darauf!
Das übliche (weil einfach zu zeigende) Kriterium für Wendepunkte ist "2. Ableitung gleich Null". Es funktioniert aber nur, wenn 3. Ableitung ungleich Null.
Immer funktioniert das Kriterium "2. Ableitung hat an der bewussten Stelle einen Vorzeichenwechsel" (Stetigkeit und Differenzierbarkeit natürlich vorausgesetzt).
Viele Grüße
Abakus
> Könnt ihr mir vllt helfen?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
> MfG
>
>
>
> P.S. Ich hab schon gelesen, wenn die erste Ableitung, die
> ungleich null ist, ungerade ist, so soll es ein Sattelpunkt
> sein. Ehrlich gesagt hilft mir das nicht weiter. Lediglich,
> dass es wohl da wohl abhängig ist, ob die Ableitung die
> ungleich null ist, gerade oder ungerade ist...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Ja, das sind die beiden Kriterien, die man in der Schule lernt. Aber hier sollen doch alle Ableitungen ab der zweiten gleich null sind und nur die n-te ungleich null. Sprich, die zweite, die dritte, die vierte Ableitung etc. alle gleich null, nur die letzte nicht...
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hallo Genius-at-work,
ich denke, dass leduart und ardik mit ihrer Vermutung
recht haben.
Die Behauptung stimmt nur dann, wenn n ungerade ist.
Für den Beweis würde ich eine Koordinatentransformation
vorschlagen, welche den fraglichen Kurvenpunkt in den
Koordinatenursprung versetzt. Das entspricht der Bildung
der Taylor- bzw. MacLaurin- Reihe.
Gruß al-Chw.
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Auf diesem Weg komm ich auf keinen grünen Trichter... Soll heißen, das hilft mir leider auch nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Mi 04.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hast du den Vorschlag mit der Taylorentw. denn versucht? Aber noch mal, für n gerade ist die Beh. falsch, siehe mein Beispiel!
Gruss leduart
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Ja, ich hab es mit Taylor probiert, bin aber auf nicht gescheites gekommen. Also nichts, was mir weiterhilft.
Dein Beispiel funktioniert bei [mm] x^6 [/mm] nicht, bilde mal ein Polynom, dann findest du schnell eins, bei dem es funktioniert...
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> Es sei I ein offenes Intervall, x0 Element von I, f Element
> von [mm]C^n[/mm] mit n größer/gleich 3. Es gelte außerdem, dass die
> die 2. Ableitung von f(xo) und alle folgenden Ableitungen
> einschließlich der (n-1) gleich null sind und die n-te
> Ableitung ungleich null. Zeigen sie, dass an der Stelle x0
> eine Wendestelle ist.
> Hallo Leute,
> dass man f stetig sein muss und mindestens n-mal
> differenzierbar ist mir klar. Mit dem Umgebungsbegriff
> haben wir das auch schon gemacht und das ist mir klar. Es
> soll nun aber noch ein anderes Kriterium geben, aber ich
> komme absolut nicht darauf!
> Könnt ihr mir vllt helfen?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
> MfG
>
>
>
> P.S. Ich hab schon gelesen, wenn die erste Ableitung, die
> ungleich null ist, ungerade ist, so soll es ein Sattelpunkt
> sein. Ehrlich gesagt hilft mir das nicht weiter. Lediglich,
> dass es wohl da wohl abhängig ist, ob die Ableitung die
> ungleich null ist, gerade oder ungerade ist...
Hallo Genius,
die Taylorentwicklung an der Stelle [mm] x_0 [/mm] würde in deinem
Fall so aussehen:
t(x) = [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] f'(x_0)*(x-x_0)+ \bruch{f''(x_0)}{2!}*(x-x_0)^2+.....+\bruch{f^{{n}}(x_0)}{n!}*(x-x_0)^n +\bruch{f^{{n+1}}(x_0)}{(n+1)!}*(x-x_0)^{n+1}+...
[/mm]
Wenn alle Ableitungen von der 2. bis zur (n-1)-ten verschwinden,
bleibt davon übrig:
t(x) = [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] f'(x_0)*(x-x_0)+\bruch{f^{{n}}(x_0)}{n!}*(x-x_0)^n +\bruch{f^{{n+1}}(x_0)}{(n+1)!}*(x-x_0)^{n+1}+...
[/mm]
Durch die Koordinatentransformation (affine Abbildung) [mm] u=x-x_0, v=y-(y_0+f'(x_0)*(x-x_0))
[/mm]
welche das Verhalten bezüglich Wendepunkten unverändert lässt,
erhalten wir die neue Kurvengleichung:
t(u) = [mm] \bruch{f^{{n}}(x_0)}{n!}*u^n +\bruch{f^{{n+1}}(x_0)}{(n+1)!}*u^{n+1}+...
[/mm]
Vereinfacht kann man dies auch schreiben als
t(u) = [mm] a*u^n [/mm] + [mm] b*u^{n+1}+...
[/mm]
mit a [mm] \not= [/mm] 0 (a [mm] =\bruch{f^{(n)}(x_0)}{n!})
[/mm]
Das Verhalten der Funktion t in der Umgebung von u=0 (entspr. [mm] x=x_0)
[/mm]
wird bestimmt durch das Glied mit dem niedrigsten Grad, hier also das
Glied [mm] a*u^n.
[/mm]
Ist n gerade, so hat t an der Stelle u=0 ein Minimum (falls a>0)
oder ein Maximum (falls a<0).
Ist n ungerade, so hat t an der Stelle u=0 (und demzufolge f an der Stelle [mm] x_0)
[/mm]
einen Wendepunkt. Das Vorzeichen von a (bzw. [mm] f^{(n)}(x_0) [/mm] ) bestimmt die
Art des Wendepunktes (R-L-Wp. oder L-R-Wp.).
LG ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") al-Chwarizmi
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