Kreuzprodukt, Isomorph < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Fr 28.12.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Finden Sie Gruppen [mm] G_1, G_2, H_1 [/mm] und [mm] H_2 [/mm] mit der Eigenschaft, dass
[mm] G_1 \times G_2 \cong H_1 \times H_2 [/mm] aber [mm] G_i \not\cong H_j [/mm] für i,j [mm] \in \{1,2\} [/mm] |
Hallo.
ich bin bei der aufgabe leider ziemlich ratlos. Kann deshalb auch keine brauchbaren Ansätze posten. Hat wer ideen oder tipps für mich?
Liebe Grüße
|
|
| |
|
Vielleicht so: Es seien [mm]\mathfrak{Z}_2, \mathfrak{Z}_3[/mm] zyklisch der Ordnung 2 bzw. 3. Setze in [mm]\mathfrak{Z}_2 \times \mathfrak{Z}_2 \times \mathfrak{Z}_3[/mm] verschieden Klammern.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Fr 28.12.2012 | | Autor: | sissile |
Ich kann dir nicht ganz folgen.
Wieso schrebst du nicht "einfach" [mm] \IZ_1 =\{\overline{0}\}= [/mm] {0+ [mm] k*\IZ|k \in \IZ\}=0 [/mm] + [mm] m\IZ, \IZ_2=\{\overline{0},\overline{1}\}
[/mm]
> Setze in $ [mm] \mathfrak{Z}_2 \times \mathfrak{Z}_2 \times \mathfrak{Z}_3 [/mm] $ verschieden Klammern.
Ich verstehe nicht wie du das meinst.
Was möchtest du als [mm] G_1, G_2, H_1, H_2 [/mm] wählen?
|
|
|
| |
|
Du kannst auch [mm]\mathbb{Z}_2[/mm] usw. statt [mm]\mathfrak{Z}_2[/mm] usw. schreiben, wenn dir das lieber ist. Da das Abstraktum "zyklische Gruppe" hier im Vordergrund steht und die konkrete Realisierung als Restklassen modulo 2 usw. nicht wichtig ist, habe ich die andere Bezeichnung gewählt.
So macht man aus drei Faktoren zwei:
[mm]\underbrace{a \cdot b}_u \cdot c = u \cdot c[/mm]
[mm]a \cdot \underbrace{b \cdot c}_v = a \cdot v[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Fr 28.12.2012 | | Autor: | sissile |
Wu wählst also [mm] G_1 [/mm] = [mm] \IZ_2 \times \IZ_2, G_2 [/mm] = [mm] \IZ_3, H_1 [/mm] = [mm] \IZ_2, H_2 [/mm] = [mm] \IZ_2 \times \IZ_3
[/mm]
Wie beweise ich aber nun die ganzen NICHT-Isomorphismen?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Fr 28.12.2012 | | Autor: | sissile |
danke verstehe ;)
LG
|
|
|
|
