Kreuzprodukt < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe eine Frage zum Kreuzprodukt: Ich weiß wie ich dieses für Vektoren mit 3 Dimesionen bilde: Nach dem Muster
[mm] \begin{pmatrix} a2 * b3 - b2*a3 \\ a3 * b1 - b3 * a1 \\ a1 * b2 - b1* a2 \end{pmatrix} [/mm]
Doch wie sieht es aus, wenn ich vektoren mit höheren Dimensionan habe? wie löse ich dann das Kreuzprodukt? Genauso, dass ich bei a2 * b3 - b2 * a3 beginne und dann weitergehe?
liebe grüße, eva karlotta
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Sorry, bin auf Schulmatheniveau gewesen.
meine Antwort war falsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Merle23 |
Wenn man es etwas verallgemeinert kann man es auch für die Dimension sieben definieren.
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Hallo!
Wie schon bereits gesagt wurde ist das Kreuzprodukt nur um 3 dim. Raum definiert. In höheren Dimensionen macht dies auch wenig Sinn. Schau die mal ![[]](/images/popup.gif) diesen Artikel dazu an. Vorallem die gemetrische Deutung des Kreuzproduktes.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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Aber unter Verallgemeinerung wird unter der von dir genannten Seite eine Definition des Kreuzproduktes höherer Dimension genannt. Nur reicht mein Wissen nicht aus, um die dortigen Ausführungen zu verstehen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:43 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Merle23 |
Hmm... dies scheint eine weitere/andere Verallgemeinerung des Kreuzproduktes zu sein als die, die ich oben meinte.
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| Aufgabe | [mm] \vec [/mm] r = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] ; [mm] \vec [/mm] s = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] ; [mm] \vec [/mm] t = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
bestimmen sie die orthogonale Projetkion von [mm] \vec [/mm] t auf E = span{ [mm] \vec [/mm] r, [mm] \vec [/mm] s } |
da steht ja, im n dimensionalen raum, wird zu n-1 vektoren ein vektor zugeordnet..in meiner aufgabe, habe ich ja aber nur 2 vierdimensionale vektoren...eigentlihc wollte ich das kreuzprodukt bilden um den normalenvektor zu erhalten und dann über
[mm] \bruch{< \vec n , \vec t > }{ \vec n^2 } * \vec n [/mm]
die projektion des Vektors t auf die Ebene herausfinden..
muss ich da womöglich einen ganz anderen Ansatz wählen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Mi 26.03.2008 | | Autor: | statler |
Hallo!
> [mm]\vec{r}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] ;
> [mm]\vec{s}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] ;
> [mm]\vec{t}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> bestimmen sie die orthogonale Projektion von [mm]\vec{t}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
auf E =
> span {[mm]\vec{r}[/mm], [mm]\vec{s}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> da steht ja, im n dimensionalen raum, wird zu n-1 vektoren
> ein vektor zugeordnet..in meiner aufgabe, habe ich ja aber
> nur 2 vierdimensionale vektoren...eigentlihc wollte ich das
> kreuzprodukt bilden um den normalenvektor zu erhalten und
> dann über
> [mm]\bruch{< \vec{n} , \vec{t} > }{ \vec{n}^{2}} * \vec{n}[/mm]
> die
> projektion des Vektors t auf die Ebene herausfinden..
> muss ich da womöglich einen ganz anderen Ansatz wählen?
Also ein Kreuzprodukt im engeren Sinne gibt es hier nicht. Aber du kannst das doch einfach zu Fuß angehen. Du suchst einen Punkt P in der Ebene, dessen Verbindung mit dem Endpunkt von [mm] \vec{t} [/mm] senkrecht auf der Ebene steht. Das gibt (hoffentlich) eine Gleichung mit 2 Unbekannten.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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also die Verbindung muss ja senkrecht auf der Ebene stehen..wenn die Verbindung also [mm] \vec [/mm] v hieße, wäre
< [mm] \vec [/mm] r , [mm] \vec [/mm] v > = 0 und < [mm] \vec [/mm] s , [mm] \vec [/mm] v > = 0
wie findet ich aber nun die verbindung?
über x * [mm] \vec [/mm] r + y * [mm] \vec [/mm] s + z * [mm] \vec [/mm] v = [mm] \vec [/mm] t ?
da komme ich doch auf viel zu viele unbekannte..
kannst du mir bitte nochmal erklären, wie dieser weg zu fuß aussähe?
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Hallo evakarlotta,
> also die Verbindung muss ja senkrecht auf der Ebene
> stehen..wenn die Verbindung also [mm]\vec[/mm] v hieße, wäre
> < [mm]\vec[/mm] r , [mm]\vec[/mm] v > = 0 und < [mm]\vec[/mm] s , [mm]\vec[/mm] v > = 0
> wie findet ich aber nun die verbindung?
> über x * [mm]\vec[/mm] r + y * [mm]\vec[/mm] s + z * [mm]\vec[/mm] v = [mm]\vec[/mm] t ?
> da komme ich doch auf viel zu viele unbekannte..
> kannst du mir bitte nochmal erklären, wie dieser weg zu
> fuß aussähe?
Für die Verbindung [mm]\overrightarrow{v}[/mm] gilt:
[mm]\overrightarrow{v}=\overrightarrow{t}-x*\overrightarrow{r}-y*\overrightarrow{s}[/mm]
Nun weisst Du, daß diese Verbindung senkrecht zur Ebene sein muß, d.h. die Verbindung muß orthogonal zu den beiden Vektoren [mm]\overrightarrow{r}[/mm] und [mm]\overrrightarrow{s}[/mm]
Demnach erhält man folgendes Gleichungssystem:
[mm]\overrightarrow{v} \* \overrightarrow{r}=0[/mm]
[mm]\overrightarrow{v} \* \overrightarrow{s}=0[/mm]
Dies ist äquivalent mit:
[mm]\left(\overrightarrow{t}-x*\overrightarrow{r}-y*\overrightarrow{s}\right) \* \overrightarrow{r}=0[/mm]
[mm]\left(\overrightarrow{t}-x*\overrightarrow{r}-y*\overrightarrow{s}\right) \* \overrightarrow{s}=0[/mm]
Dies ist jetzt ein Gleichungssystem mit den Unbekannten x und y.
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Merle23 |
Satz (steht wahrscheinlich auch so ähnlich in deinem Skript):
Ist U ein Untervektorraum von V und [mm] (v_{1} [/mm] bis [mm] v_{m}) [/mm] eine Orthonormalbasis von U, so gilt:
[mm] pr_{U}(v) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{m}v_{i} [/mm] für alle v [mm] \in [/mm] V, wobei [mm] pr_{U} [/mm] die zu der Zerlegung V = [mm] U\oplus U^{\perp} [/mm] gehörige Projektion von V auf U ist.
Das Lot von v auf U ist dann: [mm] v-pr_{U}(v) \in U^{\perp}.
[/mm]
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oha..damit komm ich leider kaum zurecht..was bedeutet zum beispiel:
V = [mm] U\oplus U^{\perp} [/mm] ?
und bildet mein Vektor t dann den Unterraum U und die Ebene aus r und s den Raum V ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Merle23 |
[mm] V=U\oplus U^{\perp} [/mm] bedeutet, dass man den Raum V 'zerlegt' in einen Unterraum U und einen dazu senkrecht stehenden Raum [mm] U^{\perp}.
[/mm]
Im [mm] \IR^{3} [/mm] könnteste dir das z.B. vorstellen als U = irgendeine Ebene und [mm] U^{\perp} [/mm] = irgendeine zu dieser Ebene senkrechte Gerade.
Zu deiner Aufgabe:
V ist bei dir der gesamte Raum, also der [mm] \IR^{4}.
[/mm]
U ist dein span(r,s).
Im Satz steht nun, dass du eine Orthonormalbasis von U brauchst. Dazu kannst du das
http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren
verwenden (du musst es auf die beiden Vektoren r und s anwenden).
Jetzt musst du nur noch die Summe ausrechnen, wobei v dein t ist und die [mm] v_{i} [/mm] die eben von dir ausgerechneten orthonormalen Basisvektoren von U.
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ah, danke!
jetz habe ich einiges verstanden! aber welche summe ist das denn dann? woher kommen i und m der summe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Merle23 |
[mm] \summe_{i=1}^{m}v_{i}
[/mm]
[mm] v_{i} [/mm] sind deine orthonormalen Basisvektoren von U.
Da du ja schon eine Basis von U hast (nämlich r und s, denn U=span(r,s)), kannst du als [mm] v_{1} [/mm] einfach r nehmen und [mm] v_{2} [/mm] musst du mit Gram-Schmidt ausrechnen (hier kannst du nicht einfach s nehmen).
Also ist m=2 die Anzahl der Basisvektoren von U.
< , > bezeichnet das Standartskalarprodukt.
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also [mm] v_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
daraus folgt, wenn nicht verrechnet:
[mm] v_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
dieses Vektoren normiere ich dann:
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] v_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \wurzel{6} \\ -2 \wurzel{6} \\ -1 \wurzel{6} \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
und dann bilde ich : < t, [mm] v_1 [/mm] > [mm] v_1 [/mm] + < t, [mm] v_2> v_2
[/mm]
?
ist das richtig?
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Hallo evakarlotta,
> also [mm]v_1[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> daraus folgt, wenn nicht verrechnet:
> [mm]v_2[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> dieses Vektoren normiere ich dann:
>
> [mm]v_1[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]v_{1}=\red{\bruch{1}{2}} \pmat{1 \\ -1 \\ -1 \\ 1}[/mm]
> [mm]v_2[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 1 \wurzel{6} \\ -2 \wurzel{6} \\ -1 \wurzel{6} \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> und dann bilde ich : < t, [mm]v_1[/mm] > [mm]v_1[/mm] + < t, [mm]v_2> v_2[/mm]
> ?
> ist das richtig?
Das kann nicht stimmen, da [mm]\overrightarrow{v_{1}} \* \overrightarrow{v_{2}} \not= 0[/mm]
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Merle23 |
Bei [mm] v_{2} [/mm] hast du dich verrechnet. Es muss ja [mm] [/mm] = 0 sein.
Die Normierung von [mm] v_{1} [/mm] hast du 'in die falsche Richtung' gemacht, aber das hat MathePower ja schon korrigiert.
> und dann bilde ich : < t, [mm]v_1[/mm] > [mm]v_1[/mm] + < t, [mm]v_2> v_2[/mm] ? ist das richtig?
Ja.
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