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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:38 Fr 24.08.2012 | | Autor: | Lonpos |
| Aufgabe | Sei [mm] \xi_p=e^{\bruch{2\pi*i}{p}}
[/mm]
Z.z: [mm] [\IQ(\xi_p):\IQ]=p-1 [/mm] |
Ich kann das nicht ganz nachvollziehen, dass die Antwort p-1 und nicht p ist, denn:
[mm] \IQ(\xi_p)=\{a_0+...+a_{p-1}*\xi^{p-1}\}, [/mm] die Basis lautet daher
[mm] (1,\xi,...,\xi^{p-1}), [/mm] enthält also p Elemente ??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:46 Fr 24.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
Lass mich raten - $p$ ist eine Primzahl? Andernfalls stimmt die Aussage nicht.
> Sei [mm]\xi_p=e^{\bruch{2\pi*i}{p}}[/mm]
>
> Z.z: [mm][\IQ(\xi_p):\IQ]=p-1[/mm]
> Ich kann das nicht ganz nachvollziehen, dass die Antwort
> p-1 und nicht p ist, denn:
>
> [mm]\IQ(\xi_p)=\{a_0+...+a_{p-1}*\xi^{p-1}\},[/mm] die Basis lautet
> daher
Nein, das ist keine Basis, sondern ein Erzeugendensystem. Es ist naemlich linear abhaengig.
Es gilt naemlich [mm] $\xi^0 [/mm] + [mm] \xi^1 [/mm] + [mm] \xi^2 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] \xi^{p-1} [/mm] = 0$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Fr 24.08.2012 | | Autor: | Lonpos |
Danke für deine Antwort, wenn also [mm] (1,\xi,...,\xi^{p-1}) [/mm] ein l.a Erzeugendensystem ist, wie kann ich daraus nun ermitteln, wie die Basis ausschaut und in weiterer Folge das Ergebnis p-1 ist? Ich stehe da gerade noch ein bisschen auf der Leitung.
[mm] p\in\IP, [/mm] habe ich vergessen zu erwähnen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Fr 24.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Danke für deine Antwort, wenn also [mm](1,\xi,...,\xi^{p-1})[/mm]
> ein l.a Erzeugendensystem ist, wie kann ich daraus nun
> ermitteln, wie die Basis ausschaut und in weiterer Folge
> das Ergebnis p-1 ist? Ich stehe da gerade noch ein bisschen
> auf der Leitung.
versuch doch mal das Minimalpolynom von [mm] $\xi$ [/mm] zu bestimmen. Dessen Grad liefert dir die Dimension, und du kannst direkt eine Basis hinschreiben.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Fr 24.08.2012 | | Autor: | Lonpos |
Du meinst wahrsch.
[mm] f=1+x+x^2+x^3+...+x^{p-1}=\bruch{x^p-1}{x-1}
[/mm]
Und hier ist der Grad p-1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Fr 24.08.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
das stimmt.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Fr 24.08.2012 | | Autor: | Lonpos |
Ich schaue mir gerade noch ähnliche Körpererweiterungen an, und hätte noch eine Frage zu den folgenden beiden.
[mm] [\IQ(\wurzel{2},\wurzel{3}); \IQ(\wurzel{2})], [/mm] hier würde ich 3 bekommen ?
[mm] [L:\IQ], [/mm] mit [mm] L=\IQ(\wurzel{p},\wurzel[3]{q})
[/mm]
L muss doch die folgende Menge sein: [mm] L=\{a+b\wurzel{p}+c\wurzel[3]{q}+d\wurzel{p}\wurzel[3]{q}+e\wurzel[3]{q}\wurzel[3]{q}\,a,b,c,d,e\in\IQ}
[/mm]
=> [mm] [L:\IQ]=5, [/mm] aber laut meinem Skriptum ist es 6 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Fr 24.08.2012 | | Autor: | teo |
> Ich schaue mir gerade noch ähnliche Körpererweiterungen
> an, und hätte noch eine Frage zu den folgenden beiden.
>
> [mm][\IQ(\wurzel{2},\wurzel{3}); \IQ(\wurzel{2})],[/mm] hier würde
> ich 3 bekommen ?
>
> [mm][L:\IQ],[/mm] mit [mm]L=\IQ(\wurzel{p},\wurzel[3]{q})[/mm]
>
> L muss doch die folgende Menge sein:
> [mm]L=\{a+b\wurzel{p}+c\wurzel[3]{q}+d\wurzel{p}\wurzel[3]{q}+e\wurzel[3]{q}\wurzel[3]{q}\,a,b,c,d,e\in\IQ}[/mm]
Sicherlich sollen p,q wieder primzahlen sein.
L ist ein Körper der als Erweiterungskörper über Q eine bestimmte Dimension hat, die es herauszufinden gilt. L entspricht nicht dieser Menge die du angegeben hast! Du meinst außerdem nicht, dass L die Menge ist, sondern suchst eine Basis der Körpererweiterung.
Gehe doch Schrit für Schritt vor. Du musst zunächst zeigen, dass [mm] [\IQ[\wurzel{p}]: \IQ] = 2 [/mm] ist. Wieso? Minimalpoylnom angebeben usw.
Dann betrachtest du [mm] [\IQ[\wurzel[3]{q}]:\IQ] [/mm]. Minimalpolynom angeben usw.
Jetzt gilt [mm] [\IQ[\wurzel{p}]:\IQ] = 2, [\IQ[\wurzel[3]{q}]:\IQ]= 3 [/mm]. Es gibt einen Satz, der dir nun wegen ggt(2,3) = 1 liefert, dass [mm] [\IQ[\wurzel[3]{q},\wurzel{p}]:\IQ]=2*3=6 [/mm] gilt.
Es geht aber auch anders. Du musst zeigen, dass [mm] \wurzel[3]{p} \not\in \IQ[\wurzel{q}] [/mm] enthalten ist. Dann folgt mit der Gradformel
[mm] [\IQ[\wurzel[3]{q},\wurzel{p}]:\IQ] = [\IQ[\wurzel[3]{q},\wurzel{p}]:\IQ[\wurzel{p}]]*[\IQ\wurzel{p}]:\IQ]=3*2=6 [/mm].
Deine Basis die du angeben wolltest ergibt sich aus den Basen von [mm] \IQ[\wurzel[3]{q}] [/mm] über [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IQ\[\wurzel{p} [/mm] über [mm] \IQ. [/mm] Also ist [mm] \{1,\wurzel{p},\wurzel[3]{q},(\wurzel[3]{q})^2,\wurzel{p}*\wurzel[3]{q},\wurzel{p}*(\wurzel[3]{q})^2\} [/mm] Basis der Körpererweiterung.
> => [mm][L:\IQ]=5,[/mm] aber laut meinem Skriptum ist es 6 ?
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