Kreisteilungskörper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 So 10.01.2016 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Seien [mm] L_{k}:= \IQ [/mm] ( [mm] \zeta_{2^{k}} [/mm] ).
Zeigen Sie:
(a) [mm] [L_{k+1} [/mm] : [mm] L_{k} [/mm] ] = 2
(b) [mm] N_{L_{k+1} / L_{k}} [/mm] ( [mm] \zeta_{2^{k+1}} [/mm] ) = - [mm] \zeta_{2^{k}} [/mm] |
Hallo allerseits!
Mir ist schon klar, dass der Grad vom n-ten Kreisteilungskörper [mm] \varphi(n) [/mm] ist, das darf hier jedoch nicht benutzt werden. Die Norm wurde nur für quadratische Erweiterungen einfach als $ N(x)=x [mm] \sigma(x) [/mm] $ für den nicht trivialen Automorphismus [mm] \sigma [/mm] definiert. Mittels b) soll man induktiv a) beweisen können...was ich nicht verstehe. Der Grad ist 1 oder 2, da Zerfällungskörper von $ [mm] X^{2} [/mm] - [mm] \zeta_{2^{k}} [/mm] $. Wenn er aber nun 1 wäre, so wäre die Norm - so wie wir sie definiert haben - nicht definiert und b) könnte man gar nicht beweisen.
Es muss doch elementar irgendwie möglich sein zu zeigen, dass allgemeiner der m-te Kreisteilungskörper nur dann im n-ten Kreisteilungskörper enthalten ist, wenn m ein Teiler von n ist. Oder dass der n-te Kreisteilungskörper keine anderen Einheitswurzeln enthält?
Hat jemand eine Idee, wie man das möglichst leicht einsieht?
LG
valoo
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Di 12.01.2016 | | Autor: | statler |
Hi!
> Seien [mm]L_{k}:= \IQ[/mm] ( [mm]\zeta_{2^{k}}[/mm] ).
> Zeigen Sie:
> (a) [mm][L_{k+1}[/mm] : [mm]L_{k}[/mm] ] = 2
>
> (b) [mm]N_{L_{k+1} / L_{k}}[/mm] ( [mm]\zeta_{2^{k+1}}[/mm] ) = -
> [mm]\zeta_{2^{k}}[/mm]
> Mir ist schon klar, dass der Grad vom n-ten
> Kreisteilungskörper [mm]\varphi(n)[/mm] ist, das darf hier jedoch
> nicht benutzt werden. Die Norm wurde nur für quadratische
> Erweiterungen einfach als [mm]N(x)=x \sigma(x)[/mm] für den nicht
> trivialen Automorphismus [mm]\sigma[/mm] definiert. Mittels b) soll
> man induktiv a) beweisen können...was ich nicht verstehe.
> Der Grad ist 1 oder 2, da Zerfällungskörper von [mm]X^{2} - \zeta_{2^{k}} [/mm].
Das Polynom ist irreduzibel, da es sonst in 2 Linearfaktoren zerfallen würde, also die Lösungen im Grundkörper lägen, was nicht geht, da [mm] \zeta_{2^k} [/mm] ein erzeugendes Element der multiplikativen Gruppe der Einheitswurzeln ist und deswegen kein Quadrat sein kann.
> Wenn er aber nun 1 wäre, so wäre die Norm - so wie wir
> sie definiert haben - nicht definiert und b) könnte man
> gar nicht beweisen.
Die Norm ist also einfach [mm] \zeta_{2^{k+1}}*(-\zeta_{2^{k+1}}) [/mm] (oder auch der konstante Term des Minimalpolynoms).
> Es muss doch elementar irgendwie möglich sein zu zeigen,
> dass allgemeiner der m-te Kreisteilungskörper nur dann im
> n-ten Kreisteilungskörper enthalten ist, wenn m ein Teiler
> von n ist. Oder dass der n-te Kreisteilungskörper keine
> anderen Einheitswurzeln enthält?
> Hat jemand eine Idee, wie man das möglichst leicht
> einsieht?
Über die Struktur der zyklischen Gruppe.
Gruß aus HH
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Mi 13.01.2016 | | Autor: | valoo |
Die Frage ist aber, warum $ [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \zeta_{2^{k}} [/mm] ) $ nur die [mm] 2^{k} [/mm] -ten Einheitswurzeln enthaelt. Anschaulich klar, aber wie beweist man dass [mm] \zeta_{2^{k+1}} [/mm] da tatsaechlich nicht drin ist? Das ist uns ueberhaupt noch nicht bekannt. Warum kann [mm] \zeta_{2^{k+1}} [/mm] nicht von der Form
[mm] \sum_{i=0}^{2^{k} - 1} a_{i} \zeta_{2^{k}}^{i}
[/mm]
sein?
Also, das soll man ja irgendwie induktiv mit der Norm beweisen koennen. Wenn ich im Induktionsschritt annehmen, dass [ [mm] L_{k+1} [/mm] : [mm] L_{k} [/mm] ] = 1 ist, so gaebe es $ a , b [mm] \in L_{k-1} [/mm] $ mit
$ [mm] \zeta_{2^{k+1}} [/mm] = a + b [mm] \zeta_{2^{k}} [/mm] $
wenn ich das quadriere und die Norm N von [mm] L_{k} [/mm] nach [mm] L_{k-1} [/mm] nehme, gilt:
$ - [mm] \zeta_{k-1} [/mm] = N( a + b [mm] \zeta_{2^{k}})^{2} [/mm] = ( ( a + b [mm] \zeta_{2^{k}} [/mm] ) ( a - b [mm] \zeta_{2^{k}} [/mm] ) [mm] )^{2} [/mm] = ( [mm] a^{2} [/mm] - [mm] b^{2} \zeta_{2^{k-1}} )^{2} [/mm] $
[mm] \Leftrightarrow
[/mm]
[mm] \zeta_{2^{k-1}} [/mm] = [mm] \frac{a^{4} + b^{4} \zeta_{2^{k-2}}}{2 a^{2} b^{2} - 1}
[/mm]
Ich sehe aber nicht, wie man hier weitermachen sollte...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Do 14.01.2016 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Die Frage ist aber, warum [mm]\IQ ( \zeta_{2^{k}} )[/mm] nur die
> [mm]2^{k}[/mm] -ten Einheitswurzeln enthaelt. Anschaulich klar, aber
> wie beweist man dass [mm]\zeta_{2^{k+1}}[/mm] da tatsaechlich nicht
> drin ist?
Ein möglicher Ansatz: f(X) = [mm] X^{2^{k+1}} [/mm] - 1 hat höchstens [mm] 2^{k+1} [/mm] Nullstellen, weil wir in einem Körper zugange sind. Die sind auch alle verschieden, weil f(X) und f'(X) teilerfremd sind. Jetzt mach dieselbe Überlegung für k statt k+1, und du siehst, daß die eine Menge doppelt so groß ist wie die andere. Und die [mm] 2^k [/mm] Quadrate der Elemente der größeren Menge bilden gerade die kleinere Menge.
Der Dreh ist meiner Meinung nach, daß die multiplikative Gruppe der Einheitswurzeln zyklisch ist, der Beweis dafür funktioniert wie bei endlichen Körpern.
> Das ist uns ueberhaupt noch nicht bekannt. Warum
> kann [mm]\zeta_{2^{k+1}}[/mm] nicht von der Form
>
> [mm]\sum_{i=0}^{2^{k} - 1} a_{i} \zeta_{2^{k}}^{i}[/mm]
>
> sein?
>
> Also, das soll man ja irgendwie induktiv mit der Norm
> beweisen koennen.
Das ist mir im Moment auch nicht klar.
Gruß
Dieter
|
|
|
|
