Kreisflächen in Kugel < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Sa 23.07.2011 | | Autor: | mathey |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Flächeninhalt zweier Kreisscheiben, welche jeweils aus der Ebene des Azimut- und des Polarwinkels geschnitten wurden. |
Hallo!
Zunächst ein Bild von Wikipedia zur Orientierung:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Sphericalcoordinates.svg
Also meine Idee war jeweils eine doppelte Integration über die Flächenelement von Phi bzw. Theta zu machen:
Für Phi gilt: [mm] |\partial\,sigma_{Phi}|=r*\partial\,r*\partial\,Theta [/mm]
Für Theta gilt: [mm] |\partial\,sigma_{Theta}|=sin(Theta)*r*\partial\,r*\partial\,Phi [/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] A_{Phi}=\integral_{0}^{\pi}{\integral_{0}^{R}{r*\partial\,r*} \partial\,Theta}=\bruch{\pi}{2}\,R^2
[/mm]
[mm] A_{Theta}=\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{R}{sin(Theta)*r*\partial\,r*} \partial\,Phi}=\pi\,R^2*sin(Theta)
[/mm]
Jetzt habe ich drei Fragen:
1.) Bin ich richtig vorgegangen oder war mein Ansatz schon falsch?
2.) Zu [mm] A_{Phi}: [/mm] Darf ich Theta auch von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] laufen lassen? Ich denke nur so erhalte ich die volle Scheibe, allerdings gilt ja vorweg die Einschränkung bei Kugelkoordinaten, dass Theta nur von 0 bis [mm] \pi [/mm] laufen darf, um die Eindeutigkeit der Koordinatenpunkte zu gewährleisten (Phi läuft von 0 bis [mm] 2\pi).
[/mm]
3.) Das übriggebliebene sin(Theta) in [mm] A_{Theta} [/mm] hat mich zunächst ein bisschen verwirrt. Dann dachte ich mir, es ist ja eigentlich nützlich um quasi Scheiben parallel zur Azimutebene herausschneiden zu können, denn bei [mm] A_{r} [/mm] bleibt ja auch ein r übrig. Die Frage ist also, wieso ist bei [mm] A_{Phi} [/mm] keine Abhängigkeit mehr von Phi gegeben? Was ist, wenn ich Ebenen parallel zur Polarebene herausschneiden möchte?
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!
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> Bestimmen Sie den Flächeninhalt zweier Kreisscheiben,
> welche jeweils aus der Ebene des Azimut- und des
> Polarwinkels geschnitten wurden.
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> Hallo!
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> Zunächst ein Bild von Wikipedia zur Orientierung:
>
> http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Sphericalcoordinates.svg
>
> Also meine Idee war jeweils eine doppelte Integration über
> die Flächenelement von Phi bzw. Theta zu machen:
>
> Für Phi gilt:
> [mm]|\partial\,sigma_{Phi}|=r*\partial\,r*\partial\,Theta[/mm]
> Für Theta gilt:
> [mm]|\partial\,sigma_{Theta}|=sin(Theta)*r*\partial\,r*\partial\,Phi[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]A_{Phi}=\integral_{0}^{\pi}{\integral_{0}^{R}{r*\partial\,r*} \partial\,Theta}=\bruch{\pi}{2}\,R^2[/mm]
>
> [mm]A_{Theta}=\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{R}{sin(Theta)*r*\partial\,r*} \partial\,Phi}=\pi\,R^2*sin(Theta)[/mm]
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>
> Jetzt habe ich drei Fragen:
>
> 1.) Bin ich richtig vorgegangen oder war mein Ansatz schon
> falsch?
>
> 2.) Zu [mm]A_{Phi}:[/mm] Darf ich Theta auch von 0 bis [mm]2\pi[/mm] laufen
> lassen? Ich denke nur so erhalte ich die volle Scheibe,
> allerdings gilt ja vorweg die Einschränkung bei
> Kugelkoordinaten, dass Theta nur von 0 bis [mm]\pi[/mm] laufen
> darf, um die Eindeutigkeit der Koordinatenpunkte zu
> gewährleisten (Phi läuft von 0 bis [mm]2\pi).[/mm]
>
> 3.) Das übriggebliebene sin(Theta) in [mm]A_{Theta}[/mm] hat mich
> zunächst ein bisschen verwirrt. Dann dachte ich mir, es
> ist ja eigentlich nützlich um quasi Scheiben parallel zur
> Azimutebene herausschneiden zu können, denn bei [mm]A_{r}[/mm]
> bleibt ja auch ein r übrig. Die Frage ist also, wieso ist
> bei [mm]A_{Phi}[/mm] keine Abhängigkeit mehr von Phi gegeben? Was
> ist, wenn ich Ebenen parallel zur Polarebene
> herausschneiden möchte?
>
> Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!
Hallo mathey,
mir wird gar nicht klar, welche Kreisscheiben denn hier
gemeint sein sollen.
Die Ebenen des Azimut- und des Polarwinkels sind doch
Ebenen durch den Kugelmittelpunkt. Die Kreisscheiben,
welche daraus durch die Kugel herausgeschnitten werden,
haben den Radius r (=Kugelradius) und den Flächeninhalt
[mm] \pi*r^2. [/mm] Punkt.
Oder habe ich jetzt etwas fehlinterpretiert, was in der
Aufgabenstellung gar nicht steht ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 So 24.07.2011 | | Autor: | mathey |
Die Azimutebenenscheibe ist jene, die bei [mm] Theta=\bruch{\pi}{2} [/mm] entsteht, wenn man r von 0 bis R und Phi von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] wandern lässt,
die Polarebenenscheibe ist jene, die bei Phi=0 entsteht, wenn man r von 0 bis R und Theta von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] wandern lässt.
Dass das Ergebnis jeweils [mm] \pi*r^2 [/mm] ist mir auch klar, man sollte dies ja eben zeigen indem man die Flächenelemente benutzt.
Das ist genauso wie das Volumen einer Kugel durch dreifach Integration. Da ist ja auch schon klar, dass [mm] 4/3*\pi*r^3 [/mm] rauskommen soll, man solls halt zeigen.
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> Die Azimutebenenscheibe ist jene, die bei
> [mm]Theta=\bruch{\pi}{2}[/mm] entsteht, wenn man r von 0 bis R und
> Phi von 0 bis [mm]2\pi[/mm] wandern lässt,
> die Polarebenenscheibe ist jene, die bei Phi=0 entsteht,
> wenn man r von 0 bis R und Theta von 0 bis [mm]2\pi[/mm] wandern
> lässt.
>
> Dass das Ergebnis jeweils [mm]\pi*r^2[/mm] ist mir auch klar, man
> sollte dies ja eben zeigen indem man die Flächenelemente
> benutzt.
... na gut - dann sagen wir aber lieber etwa "mittels Integration
nachvollziehen" anstatt "zeigen" ...
LG
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> Bestimmen Sie den Flächeninhalt zweier Kreisscheiben,
> welche jeweils aus der Ebene des Azimut- und des
> Polarwinkels geschnitten wurden.
>
> Hallo!
>
> Zunächst ein Bild von Wikipedia zur Orientierung:
>
> http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Sphericalcoordinates.svg
>
> Also meine Idee war jeweils eine doppelte Integration über
> die Flächenelement von Phi bzw. Theta zu machen:
>
> Für Phi gilt:
> [mm]|\partial\,sigma_{Phi}|=r*\partial\,r*\partial\,Theta[/mm]
> Für Theta gilt:
> [mm]|\partial\,sigma_{Theta}|=sin(Theta)*r*\partial\,r*\partial\,Phi[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]A_{Phi}=\integral_{0}^{\pi}{\integral_{0}^{R}{r*\partial\,r*} \partial\,Theta}=\bruch{\pi}{2}\,R^2[/mm]
>
> [mm]A_{Theta}=\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{R}{sin(Theta)*r*\partial\,r*} \partial\,Phi}=\pi\,R^2*sin(Theta)[/mm]
>
>
> Jetzt habe ich drei Fragen:
>
> 1.) Bin ich richtig vorgegangen oder war mein Ansatz schon
> falsch?
Der Ansatz ist richtig.
> 2.) Zu [mm]A_{Phi}:[/mm] Darf ich Theta auch von 0 bis [mm]2\pi[/mm] laufen
> lassen? Ich denke nur so erhalte ich die volle Scheibe, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Richtig.
> allerdings gilt ja vorweg die Einschränkung bei
> Kugelkoordinaten, dass Theta nur von 0 bis [mm]\pi[/mm] laufen
> darf, um die Eindeutigkeit der Koordinatenpunkte zu
> gewährleisten (Phi läuft von 0 bis [mm]2\pi).[/mm]
Wenn du magst, kannst du ja Theta von 0 bis [mm]\pi[/mm] laufen
lassen. Dann das Ergebnis verdoppeln, um statt nur die halbe
die ganze Scheibenfläche zu erhalten ...
> 3.) Das übriggebliebene sin(Theta) in [mm]A_{Theta}[/mm] hat mich
> zunächst ein bisschen verwirrt. Dann dachte ich mir, es
> ist ja eigentlich nützlich um quasi Scheiben parallel zur
> Azimutebene herausschneiden zu können,
Ja. Und um die "Äquatorebene" zu bekommen, musst du
eben noch [mm] Theta=\pi/2 [/mm] setzen !
> denn bei [mm]A_{r}[/mm] bleibt ja auch ein r übrig. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
was soll jetzt [mm] A_r [/mm] sein ?
> Die Frage ist also, wieso ist bei [mm]A_{Phi}[/mm] keine
> Abhängigkeit mehr von Phi gegeben?
Weil die Kugel rund ist. Genauer: weil sie bezüglich der
Polachse rotationssymmetrisch ist. Genau dies war aber ja
der Grund, überhaupt Kugelkoordinaten genauso einzu-
führen, dass man diese Symmetrie nutzen kann.
> Was ist, wenn ich Ebenen parallel zur Polarebene
> herausschneiden möchte?
am besten dann ein anderes Koordinatensystem wählen !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:06 Mo 25.07.2011 | | Autor: | mathey |
Hallo und danke.
Sorry, ich hatte vergessen zu erklären was ich mit [mm] A_{r} [/mm] meinte, dachte dass sei offensichtlich:
Mit [mm] A_{r} [/mm] wollt ich den Oberflächeninhalt der Kugel bezeichnen, in Anlehnung an die beiden anderen A. Der Index r sollte quasi zeigen, dass A von r abhängig ist. Integriert man über das Flächenelement von r, also über die Variablen Theta und Phi, so bleibt ja trotzdem ein r übrig, was ja auch sinnvoll ist, den je nach Kugelradius ist ja auch A verschieden. Das war dann letztlich der Grund wieso mich das übrig gebliebene sin(Theta) dann doch nicht mehr verwirrt hat, da ja im Prinzip auch eben die Scheibengröße variert, je nachdem wie groß Theta ist, auch wenn ich über das Theta-Flächenelement integriert habe. Und das war dann Anlass für die Verwunderung warum bei Integration über das Phi-Flächenelement keine Abhängigkeit mehr zu Phi besteht, da man ja auch hier andere Scheiben herausschneiden kann, aber dazu hast du ja schon gesagt, dass Kugelkoordinaten nur gewählt werden, wenn die Rotationssymetrie gewährleistet ist.
Gruß mathey
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