Kreise und Geraden < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Kueken |
| Aufgabe | | Bestimme die Zahl c so, dass die Gerade g: 3x-y=c den Kreis k: [mm] x^{2}+y^{2}=10 [/mm] berührt. |
Hi!
Bin auf der Suche nach einer zündenden Idee. Hab mir erst gedacht ich muss das y aus g freistellen und dann in k einsetzen. Aber irgendwie funzt das nich oder falls es doch stimmt, dann weiß ich nicht wie es weiter geht.
vielen dank und liebe grüße
Kerstin
|
|
| |
|
Hallo,
wenn sich der Kreis und die Gerade berühren, so haben sie einen Punkt gemeinsam, stelle die Geradengleichung z. B. nach y um, dann in die Kreisgleichung einsetzen, du hast dann eine quadratische Gleichung in x, jetzt überlege, wie viele Lösungen es geben soll, was bedeutet das für die Diskriminante?
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Kueken |
Hallo Steffi!
Vielen Dank schonmal für deine Antwort.
Ich glaub ich hab meinen Fehler. Muss ich dann c oder x freistellen?
Ich hätte dann c= [mm] -\wurzel{10-x^{2}}+3x [/mm] im Angebot. Es käm dann nur ein Ergebnis für c= 10 und c=-10 raus.
Stimmt das so?
lg
|
|
|
| |
|
Hallo, c=10 und c=-10 ist korrekt, du hast doch eine quadratische Gleichung, somit: [mm] x_1_2= [/mm] ..... [mm] \wurzel{-c^{2}+100} [/mm] und der Term [mm] -c^{2}+100 [/mm] ist gleich Null zu setzen, damit es eine Lösung gibt, somit [mm] c=\pm10, [/mm] also hast du zwei Geraden,
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Kueken |
Ich mach das jetzt mal schritt für schritt, denn ich komm nicht auf die Wurzel von dir.
Also bei g y freistellen gibt y= 3x-c
Das in die Kreisgleichung:
[mm] x^{2}+(3x-c)^{2}=10
[/mm]
Wenn ich das jetzt auflöse bekomm ich diesen Ausdruck
[mm] 10x^{2}-6xc+c^{2}=10
[/mm]
und jetzt?
|
|
|
| |
|
Hallo, das sieht doch bis hier richtig gut aus
[mm] 10x^{2}-6cx+c^{2}=10
[/mm]
[mm] 10x^{2}-6cx+c^{2}-10=0
[/mm]
[mm] x^{2}-\bruch{3}{5}cx+\bruch{c^{2}-10}{10}=0
[/mm]
[mm] p=-\bruch{3}{5}c
[/mm]
[mm] q=\bruch{c^{2}-10}{10}
[/mm]
[mm] x_1_2=\bruch{3}{10}c\pm\wurzel{\bruch{9c^{2}}{100}-(\bruch{c^{2}-10}{10})}
[/mm]
[mm] x_1_2=\bruch{3}{10}c\pm\wurzel{\bruch{9c^{2}}{100}-\bruch{c^{2}}{10}+1}
[/mm]
so jetzt schaffst du es, der Hauptnenner unter der Wurzel ist ....
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Kueken |
ach ich depp =)
mit pqFormel arbeite ich nicht gerne, hab deshalb an der quadratischen Ergänzung verzweifelt, aber nur weil ich immer versucht hab das c freizustellen.
Jetzt hab ichs mit quadratischer auch auf das Ergebnis gebracht *g*
Danke dir nochmal !!!
Liebe Grüße
Kerstin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:17 Mi 26.08.2009 | | Autor: | kingkong1 |
Es ist zwar schon eine Weile her, aber vielleicht liest es doch jemand:
Warum funktioniert die andere Lösungsidee nicht, nämlich c freizustellen und c berechnen? Ich habs versucht, erhalte aber als Lösung c = 3 mal Wurzel aus 10. Das ist ein falsches Ergebnis.
|
|
|
| |
|
> Es ist zwar schon eine Weile her, aber vielleicht liest es
> doch jemand:
> Warum funktioniert die andere Lösungsidee nicht, nämlich
> c freizustellen und c berechnen? Ich habs versucht, erhalte
> aber als Lösung c = 3 mal Wurzel aus 10. Das ist ein
> falsches Ergebnis.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich glaube, es ist am einfachsten, wenn Du Deine Rechnung hier mal vorstellst, dann können wir schauen, woran es hängt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Prima, dass jemand sich meiner Frage annimmt.
Mein Rechengang:
Gegeben: 3x-y=c und [mm] x^2+y^2=10
[/mm]
Lösungsweg: y=3x-c einsetzen in die 2. Gleichung
[mm] x^2+(3x-c)^2=10
[/mm]
[mm] x^2+9x^2-6xc+c^2=10
[/mm]
Weitere Lösungsidee: c errechnen
[mm] c^2-6xc=10-10x^2
[/mm]
Quadratische Ergänzung:
[mm] c^2-6xc+(3x)^2=10-10x^2+(3x)^2
[/mm]
[mm] (c-3x)^2=10-x^2
[/mm]
c=3x [mm] +-Wurzel(10-x^2)
[/mm]
Wegen der doppelten Nullstelle muss die Wurzel=0 sein. Somit
x=+-Wurzel(10)
Das eingestzt ergibt
c=3 Wurzel(10)
Und das ist definitiv nicht die richtige Lösung.
Wo ist mein Fehler?
Dies ist mein erster Beitrag, ich hoffe dass meine Eingaben leserlich sind.
|
|
|
| |
|
> Prima, dass jemand sich meiner Frage annimmt.
> Mein Rechengang:
> Gegeben: 3x-y=c und [mm]x^2+y^2=10[/mm]
> Lösungsweg: y=3x-c einsetzen in die 2. Gleichung
>
> [mm]x^2+(3x-c)^2=10[/mm]
> [mm]x^2+9x^2-6xc+c^2=10[/mm]
> Weitere Lösungsidee: c errechnen
> [mm]c^2-6xc=10-10x^2[/mm]
> Quadratische Ergänzung:
> [mm]c^2-6xc+(3x)^2=10-10x^2+(3x)^2[/mm]
> [mm](c-3x)^2=10-x^2[/mm]
> c=3x [mm]+-Wurzel(10-x^2)[/mm]
> Wegen der doppelten Nullstelle muss die Wurzel=0 sein.
Hallo,
an dieser Stelle ist der Fehler - ein Denkfehler, kein Rechenfehler.
Es ist ja richtig, daß die Tangente nur einen Punkt mit dem Kreis gemeinsam hat, aber weshalb sollte deshalb Deine Wurzel =0 werden müssen?
Beim Auflösen nach x hat man $ [mm] x=\bruch{3}{10}c\pm\wurzel{\bruch{9c^{2}}{100}-\bruch{c^{2}}{10}+1} [/mm] $, und nun muß man wegen der Tangenteneigenschaft das c so wählen, daß man wirklich nur ein x bekommt.
Gruß v. Angela
> Somit
> x=+-Wurzel(10)
> Das eingestzt ergibt
> c=3 Wurzel(10)
> Und das ist definitiv nicht die richtige Lösung.
> Wo ist mein Fehler?
> Dies ist mein erster Beitrag, ich hoffe dass meine
> Eingaben leserlich sind.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Fr 28.08.2009 | | Autor: | kingkong1 |
Herzlichen Dank, ich habs verstanden.
Viele Grüße.
Bernd
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Fr 28.08.2009 | | Autor: | MatheOldie |
Hallo,
wenn alles geklärt ist, möchte ich noch eine andere Lösungsidee beisteuern, die mit Hilfe der Ableitung arbeitet.
Der obere Halbkreis hat die Funktion [mm]f(_o(x)=\sqrt{10-x^2}[/mm] und die Ableitung [mm]f'(_o(x)=\frac{-x}{\sqrt{10-x^2}}[/mm].
Gesucht wird die Tangente an den Kreispunkt mit f'(x)=3, weil die gegebene Gerade die Steigung 3 hat.
Das ergibt x=-3 (die zweite Lösung x2=3 entfällt, da dort der Halbkreis fällt) und dazu passend y= f(-3) =1. Also läuft die Tangente durch den Kreispunkt (-3/1). Das ergibt für die Tangente c=10, also t1(x)=3x+10
Aus Symmetriegründen (Punktsymmetrie zu O) gibt es einen zweiten Punkt ((3/-1) mit der Tangente t2(x)=3x -10 oder man rechnet für den unteren Halbkreis [mm]f(_u(x)=- \sqrt{10-x^2}[/mm] entsprechend.
Gruß, MatheOldie
|
|
|
|
