Kreisbewegung - Vektor < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Wegstrecke s des Körpers auf der Bahnkurve wird durch folgende Gleichung bestimmt:
[mm] s(t)=r*\varphi(t)
[/mm]
Für die Bahngeschwindigkeit gilt:
[mm] v=\bruch{ds}{dt}=\bruch{d(r*\varphi(t))}{dt}=r*\varphi`(t)=r*\omega
[/mm]
Mit der Winkelgeschwindigkeit
[mm] \omega=\bruch{d\varphi}{dt}=\varphi`(t)
[/mm]
![[]](/images/popup.gif) Bild |
Jetzt sind aber die Geschwindigkeit v und die Winkelgeschwindigkeit [mm] \omega [/mm] vektorielle Größen. Wie bestimme ich diese Größen als Vektor?
Etwa so?
[mm] \overrightarrow{s(t)}=\overrightarrow{r}*\varphi(t)
[/mm]
[mm] \overrightarrow{v}=\bruch{\overrightarrow{s(t)}}{t}
[/mm]
sieht nicht wirklich richtig aus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Mo 31.08.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Die Wegstrecke s des Körpers auf der Bahnkurve wird durch
> folgende Gleichung bestimmt:
>
> [mm]s(t)=r*\varphi(t)[/mm]
>
> Für die Bahngeschwindigkeit gilt:
>
> [mm]v=\bruch{ds}{dt}=\bruch{d(r*\varphi(t))}{dt}=r*\varphi'(t)=r*\omega[/mm]
Das gilt nur für den Spezialfall, dass [mm] $\vec [/mm] r(t)$ konstant ist, das geht aus Deinem Bild nicht eindeutig hervor.
>
> Mit der Winkelgeschwindigkeit
>
> [mm]\omega=\bruch{d\varphi}{dt}=\varphi'(t)[/mm]
>
> Bild
ist das die Original-Aufgabenstellung?
>
> Jetzt sind aber die Geschwindigkeit v und die
> Winkelgeschwindigkeit [mm]\omega[/mm] vektorielle Größen. Wie
> bestimme ich diese Größen als Vektor?
>
> Etwa so?
>
> [mm]\overrightarrow{s(t)}=\overrightarrow{r}*\varphi(t)[/mm]
Das macht so keinen Sinn, denn eine Wegstrecke ist eine skalare Größe.
>
> [mm]\overrightarrow{v}=\bruch{\overrightarrow{s(t)}}{t}[/mm]
>
> sieht nicht wirklich richtig aus
Wenn [mm] $\vec [/mm] r(t)$ der Ort eines Teilchens ist, ist die zugehörige Geschwindigkeit ganz einfach: [mm] $\vec v(t)=\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\vec [/mm] r(t)$
Bei einer Kreisbewegung bieten sich natürlich Polarkoordinaten an, also sieht der Ortsvektor [mm] $\vec [/mm] r (t)$ so aus:
[mm] $\vec r(t)=\rho(t)\vec e_r$
[/mm]
Dabei ist zu beachten, dass der Einheitsvektor [mm] $\vec e_r$ [/mm] zeitabhängig ist und [mm] $\rho(t)=|\vec [/mm] r(t)|$ gilt.
Das musst Du jetzt noch nach der Zeit ableiten und das ist gut :)
Gruß,
notinX
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Hallo,
> ist das die Original-Aufgabenstellung?
nein ich habe keine bestimmte aufgabe. ich möchte nur allgemein wissen wie man die vektoriellen Größen für Kreisbewegungen bestimmt
zum beispielt gilt (nicht als Vektor): [mm] v=r*\omega
[/mm]
als Vektor gilt: [mm] \vec{v}=\vec{r} [/mm] x [mm] \vec{\omega} [/mm] (kreuzprodukt)
Solche Gleichungen für die vektoriellen Größen hätte ich gerne noch für die winkelbeschleunigung [mm] \vec{\omega}, [/mm] die Radialbeschleunigung [mm] \vec{a} [/mm] und die Winkelbeschleunigung [mm] \vec{\alpha}
[/mm]
im internet finde ich meist nur seiten wo die Gleichung für die skalaren Größen erklärt werden. wenn die größen als vektoren betrachtet werden, wird es oft zu komplex erklärt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Di 01.09.2015 | | Autor: | chrisno |
> ... ich möchte nur
> allgemein wissen wie man die vektoriellen Größen für
> Kreisbewegungen bestimmt
Damit ist [mm] $|\vec{r}| [/mm] = const.$
>
> zum beispielt gilt (nicht als Vektor): [mm]v=r*\omega[/mm]
>
> als Vektor gilt: [mm]\vec{v}=\vec{r}[/mm] x [mm]\vec{\omega}[/mm]
> (kreuzprodukt)
>
> Solche Gleichungen für die vektoriellen Größen hätte
> ich gerne noch für die winkelbeschleunigung [mm]\vec{\omega},[/mm]
> die Radialbeschleunigung [mm]\vec{a}[/mm] und die
> Winkelbeschleunigung [mm]\vec{\alpha}[/mm]
Du willst die Winkelbeschleunigung zwei mal ....
Du hast [mm]\vec{v}=\vec{r} \times \vec{\omega}[/mm]
Leite dies nach der Zeit ab. Je nach Deinen Vorgaben ist [mm] $\vec{\omega(t)}$ [/mm] konstant oder nicht. Beachte dies beim Ableiten.
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> Du willst die Winkelbeschleunigung zwei mal ....
nein das eine ist die Radialbeschleunigung (symbol a) [mm] a=\bruch{v^2}{r}
[/mm]
das andere ist die winkelbeschleunigung (symbol alpha) [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{d\omega}{dt} [/mm] oder [mm] \alpha=\bruch{a}{r}
[/mm]
> Du hast [mm]\vec{v}=\vec{r} \times \vec{\omega}[/mm]
> Leite dies
> nach der Zeit ab.
was erhalte ich dann? Die Radialbeschleunigung oder die Winkelbeschleunigung? und wie bestimme ich das andere?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Di 01.09.2015 | | Autor: | chrisno |
> > Du willst die Winkelbeschleunigung zwei mal ....
>
> nein das eine ist die Radialbeschleunigung (symbol a)
> [mm]a=\bruch{v^2}{r}[/mm]
>
> das andere ist die winkelbeschleunigung (symbol alpha)
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{d\omega}{dt}[/mm] oder [mm]\alpha=\bruch{a}{r}[/mm]
Das ist in Ordnung, aber du hast geschrieben (Hervorhebung von mir):
Solche Gleichungen für die vektoriellen Größen hätte ich gerne noch für die winkelbeschleunigung $ [mm] \vec{\omega}, [/mm] $ die Radialbeschleunigung $ [mm] \vec{a} [/mm] $ und die Winkelbeschleunigung $ [mm] \vec{\alpha} [/mm] $
>
>
> > Du hast [mm]\vec{v}=\vec{r} \times \vec{\omega}[/mm]
> > Leite
> dies
> > nach der Zeit ab.
>
> was erhalte ich dann? Die Radialbeschleunigung oder die
> Winkelbeschleunigung? und wie bestimme ich das andere?
Leite das erst mal ganz formal ab.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:06 Di 01.09.2015 | | Autor: | Rebellismus |
> Du hast [mm]\vec{v}=\vec{r} \times \vec{\omega}[/mm]
> Leite das erst mal ganz formal ab.
Bin mir nicht ganz sicher wie ich das formal ableiten soll. mit einem zahlenbeispiel hätte ich das hinbekommen:
Ich hätte zuerst das Kreuzprodukt ausmultipliziert:
[mm] \vec{v}=\vektor{r_1 \\ r_2\\r_3} \times\vektor{\omega_1 \\ \omega_2\\\omega_3}=\vektor{r_2*\omega_3-r_3*\omega_2 \\ r_3*\omega_1-r_1*\omega_3\\ r_1*\omega_2-r_2*\omega_1}
[/mm]
Um die Bahngeschwindigkeit [mm] \vec{v} [/mm] abzuleiten, hätte ich einfach jede Zeile einmal abgeleitet.
Für den Fall [mm] \vec{\omega}=Konstant [/mm] gilt:
[mm] \vec{v}'(t)=0 [/mm] da der radius [mm] \vec{r} [/mm] ebenfalls konstant ist
Für den Fall [mm] \vec{\omega}\not=Konstant [/mm] gilt:
[mm] \vec{v}'(t)= \vektor{n_3*r_2*\omega^{n_3-1}_3-n_2*r_3*\omega_2^{n_2-1} \\n_1*r_3*\omega_1^{n_1-1}-n_3*r_1*\omega_3^{n_3-1}\\ n_2*r_1*\omega_2^{n_2-1}-n_1*r_2*\omega_1^{n_1-1}}
[/mm]
ist das die winkelbeschleunigung [mm] \vec{\alpha} [/mm] ?
ist meine Ableitung überhaupt richtig? ich wusste halt nicht wie ich das formal aufschreiben soll
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Di 01.09.2015 | | Autor: | notinX |
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> > Du hast [mm]\vec{v}=\vec{r} \times \vec{\omega}[/mm]
> > Leite das
> erst mal ganz formal ab.
>
> Bin mir nicht ganz sicher wie ich das formal ableiten soll.
> mit einem zahlenbeispiel hätte ich das hinbekommen:
>
> Ich hätte zuerst das Kreuzprodukt ausmultipliziert:
>
> [mm]\vec{v}=\vektor{r_1 \\ r_2\\r_3} \times\vektor{\omega_1 \\ \omega_2\\\omega_3}=\vektor{r_2*\omega_3-r_3*\omega_2 \\ r_3*\omega_1-r_1*\omega_3\\ r_1*\omega_2-r_2*\omega_1}[/mm]
>
> Um die Bahngeschwindigkeit [mm]\vec{v}[/mm] abzuleiten, hätte ich
> einfach jede Zeile einmal abgeleitet.
>
> Für den Fall [mm]\vec{\omega}=Konstant[/mm] gilt:
>
> [mm]\vec{v}'(t)=0[/mm] da der radius [mm]\vec{r}[/mm] ebenfalls konstant ist
>
> Für den Fall [mm]\vec{\omega}\not=Konstant[/mm] gilt:
>
> [mm]\vec{v}'(t)= \vektor{n_3*r_2*\omega^{n_3-1}_3-n_2*r_3*\omega_2^{n_2-1} \\n_1*r_3*\omega_1^{n_1-1}-n_3*r_1*\omega_3^{n_3-1}\\ n_2*r_1*\omega_2^{n_2-1}-n_1*r_2*\omega_1^{n_1-1}}[/mm]
>
> ist das die winkelbeschleunigung [mm]\vec{\alpha}[/mm] ?
>
> ist meine Ableitung überhaupt richtig? ich wusste halt
> nicht wie ich das formal aufschreiben soll
Ohne Deine Rechnungen nachvollzogen zu haben:
Es gilt [mm] $\vec v=\vec\omega\times\vec [/mm] r$ und nicht [mm] $\vec v=\vec r\times\vec\omega$!
[/mm]
Bei der Ableitung des Vektorproduktes ist wie bei einem gewöhnlichen Produkt auch die Produktregel zu beachten:
Wenn [mm] $\vec a=\vec b\times\vec [/mm] c$ ist, folgt:
[mm] $\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\vec a=\dot{\vec a}=\dot{\vec b}\times\vec c+\vec b\times\dot{\vec c}$
[/mm]
Gruß,
notinX
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Danke,
die Frage hat sich hier erstmal erledigt
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Bei einer Drehbewegung kannst du den einzelnen Teilchen einen Geschwindigkeitsvektor zuordnen, aber jedes Teilchen auf z.B. einer Scheibe bewegt sich in eine andere Richtung.
Die Winkelgeschwindigkeit ist aber allen Teilchen irgendwie gemeinsam, und so braucht man einen Vektor, der für alle Punkte die gleiche Richtung haben soll. Das hat man nun wie folgt festgelegt:
Der rotierende Körper bewegt sich auf einem Kreis. Durch den Kreismittelpunkt denkt man sich nun die Rotationsaches (bei der Erde die Verbindungsachse Nord-Südpol, bei der Schallplatte die Achse auf dem Plattenteller usw.). In diese(!!!) Richtung zeigt nun der Vektor der Winkelgeschwindigkeit, und zwar in Blickrichtung, wenn sich das System im Uhrzeigersinn dreht. (Merkregel: Drehst du eine Schraube im Uhrzeigersinn, schraubt sich ihre Spitze von dir weg.) Bei einer Uhr zeigt der Vektor der Winkelgeschwindigkeit für die Zeiger also genau in die Uhr hinein.
Betrachte nun dein dein Bild. Die Bewegung geht gegen den Uhrzeigersinn, also liegt [mm] \vec{\omega} [/mm] auf der Kreismitte und sticht dir mit der Spitze ins Auge. [mm] \vec{r} [/mm] x [mm] \vec{\omega} [/mm] erhältst du, wenn du nun den ersten Vektor des Kreuzproduktes, also [mm] \vec{r}, [/mm] mit dem Fuß mit dem zweiten zusammenlegst wie bei zwei Uhrzeigern (das ist hier schon der Fall) und dann auf kürzestem (!) Wege auf den zweiten, also [mm] \vec{\omega}, [/mm] drehst (Fuß bleibt liegen, Spitze dreht sich wie beim Uhrzeiger). Dabei zeigt nun die Drehachse der "beiden Uhrzeiger" senkrecht zu beiden Pfeilen schräg nach links oben, und zwar genau in Richtung von [mm] \vec{v}(t_1).
[/mm]
Wie bekommst du nun mathematisch den Vektor [mm] \vec{\omega}?
[/mm]
Er muss senkrecht zu [mm] \vec{r} [/mm] und senkrecht zu [mm] \vec{v} [/mm] stehen, also zunächst als [mm] \vec{v} [/mm] x [mm] \vec{r}. [/mm]
Verschiebst du nun [mm] \vec{v}(t_1) [/mm] mit seinem Fuß in den mittelpunkt (Fuß mit [mm] \vec{r} [/mm] zusammen) und drehst ihn dann auf kürzestem Weg auf [mm] \vec{r}, [/mm] musst du eine Drhung im Uhrzeigersinn machen, tatsächlich ist aber die Drehung anders herum.
Korrektur: [mm] \vec{r} [/mm] x [mm] \vec{v}. [/mm] Jetzt stimmt die Drehrichtung.
Der Betrag ist aber noch falsch. Er errechnet sich zu
[mm] |\vec{r}|*|\vec{v}|*|sin(Winkel [/mm] zwischen den Vektorfüßen)|.
Der Winkel ist hier 90 °, man erhielte also r*v.
Tatsächlich ist aber [mm] \omega=v/r, [/mm] also muss man das Ergebnis noch durch [mm] r^2 [/mm] dividieren:
[mm] \vec{\omega}=\vec{r} [/mm] x [mm] \vec{v}/r^2.
[/mm]
[mm] \vec{a} [/mm] ist nun einfach die Ableitung von [mm] \vec{v} [/mm] nach der Zeit und hat damit die selbe Richtung, ist also ein Vektor in Richtung der Rotationsachse = [mm] \vec{\omega}-Richtung [/mm] (beim Bremsen negative Werte und damit gegen die [mm] \vec{\omega}-Richtung!).
[/mm]
Merkregel bei den beiden Kreuzprodukten
[mm] \vec{v}=\vec{r} [/mm] x [mm] \vec{\omega} [/mm] und
[mm] \vec{\omega}=\vec{r} [/mm] x [mm] \vec{v}/r^2,
[/mm]
damit du die Reihenfolge nicht vertauscht: das [mm] \vec{r} [/mm] kommt r (=eher, also bei beiden zuerst).
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