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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Do 27.01.2005 | | Autor: | Freddie |
Hallo,
meine Freundin hat jetzt in der 11. Klasse Kreisberechnung etc. und braucht einige gute Ansätze zur Lösung der folgenden Aufgaben. Ihr Lehrer scheint dies einfach nicht erklären zu können ...
Es geht um konzentrische Kreise:
Gegeben ist der Kreis K1 : [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + 24x -32y -9 =0.
Sie soll die Gleichung des konzentrischen Kreises K2 bestimmen.
Einmal einen der die x Achse schneidet und einmal einen der den Punkt (1|2) berührt. (bzw. durch den Punkt geht) !
Da das Mathebuch keine Hilfe und keine Hilfestellung bietet und weiterhin der Lehrer keine Hilfe ist bitte ich um einige Tipps bzw. wenn Ihr die Aufgabe rechnet dann bitte mit den Ansätzen und Ideen mit denen man daran geht (zb. wieso man y=0 setzt etc.)
Ich danke schonmal...
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Hallo,
ich versuche mich mal mit meiner ersten Antwort =)
Konzentrische Kreise bedeuten erst einmal, daß sie den gleichen Mittelpunkt haben (z.B. wenn Du einen Stein ins Wasser wirst, nennt man die Wellen da konzentrische Kreise).
Die gegebene Formel mußt Du erst einmal in die Form bringen, daß der Mittelpunkt erkennbar wird. Sortiere am besten zuerst:
x²+24x + y²-32y -9 = 0
Hier kommt die sogenannte "quadratische Ergänzung" ins Spiel, das ist praktisch binomische Formel rückwärts. Man muß etwas überlegen, damit man es richtig hinbekommt. Der Trick ist, aus der ersten Komponente die Wurzel zu ziehen, um a zu erhalten und die zweite durch 2 und das errechnete a zu teilen, um b zu erhalten. Zuletzt kümmert man sich darum, b² auszugleichen.
(a+b)² = a² + 2ab + b²
Machen wir das für die x-Gruppierung:
(x+12)² ergäbe x² + 24x +144. Man könnte es also schreiben, aber die 144 fehlt. Daher schreibt man (x+12)² -144. Wenn man das rückrechnet, paßt es hin. Dasselbe für die y-Gruppierung: (y-16)² -256
Wir erhalten also (x+12)² + (y-16)² -144-256-9 = 0 bzw. (x+12)² + (y-16)² = -409.
Der Mittelpunkt hat also die Koordinaten (-12;16). Der Radius spielt keine Rolle, wir wollen ja sowieso einen Kreis mit anderem Radius.
Wenn der neue Kreis nun die x-Achse berühren soll, so muß er einen Radius von mindestens 12 aufweisen, damit er vom Mittelpunkt aus bis zur x-Achse reicht. Wenn die Aufgabe lautet "die x-Achse schneidet", so ist es nicht ganz eindeutig. Jeder Kreis mit einem Radius größer gleich 12 würde die Anforderung erfüllen.
Anders gehst Du vor, wenn der Punkt (1|2) berührt werden soll. Wie bei einer normalen Funktion setzt Du x und y ein:
(1+12)² + (2-16)² = r²
Das Ganze dann nach r auflösen und es sollte funktionieren. Diese Aufgabe ist dafür eindeutig. ;) Ein Tip: Die quadratische Ergänzung ist in vielen Situationen sehr hilfreich, man sollte die ein bischen üben.
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