Kreisausschnitt Berechnung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechne mit nur zwei Werten alle Elemente eines Kreisausschnitts. Die zu berechnenden Werte lauten: A = Fläche, r = Radius, alpha = Winkel, s = Sekante, b = Bogen. Zwei von diesen Werten werden jeweils vorgegeben aus denen dann der Rest berechnet werden sollen. |
Um diese Aufgabenstellung zu lösen, habe ich mir sämtliche Kombinationsmöglichkeiten aufgeschrieben und die mir bekannten Formeln soweit umgestellt.
Einzig und allein zwei von den 10 möglichen Kombinationen bereiten mir Probleme.
Ich habe keinerlei Lösungsansatz, um über die Fläche A und Sekante s oder über die Kombination Bogen b und Sekante s einen der anderen Werte zu ermitteln.
Sobald ich drei Werte habe wird es zum selbstläufer aus den anderen von mir aufgestellten Funktionen.
Ich danke schon mal im Voraus für hilfreiche Ratschläge
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo
also bei Fläche und Sehne probiers so
A= [mm] \bruch{r^{2}*\pi* \alpha}{360} [/mm] und [mm] S=2*r*sin\alpha
[/mm]
und bei Bogenlänge und Sehne
[mm] S=2*r*sin\alpha [/mm] und [mm] b=\bruch{r*\pi*\alpha}{180}
[/mm]
jetzt r eliminieren und fertig
lg Stevo
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So ganz kann ich dem nicht mehr folgen, da ich durch die Grübelei hier schon total durcheinander bin.
Wenn ich Fläche und Sekante gegeben habe, wie komme ich dann an die anderen Werte.
Genauso bei Bogen und Sekante?
Das sind ja die Werte, die ich bekommen habe!
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Hallo
Also zum ersten
Sehne und Sekante ist das selbe
Fläche, Sehne
Du drückst dir aus [mm] S=2*r*sin\alpha [/mm] r aus
[mm] r=\bruch{S}{2*sin\alpha} [/mm] und das setzt du jetzt in die Flächenformel [mm] A=\bruch{r^{2}*\pi* \alpha}{360} [/mm] ein jetzt hast nur mehr eine Unbekannte [mm] \alpha [/mm] die du dir ausdrücken kannst
Bogenlänge, Sehne
wieder r aus [mm] S=2*r*sin\alpha [/mm] ausdrücken in die Bogenformel [mm] b=\bruch{r*\pi*\alpha}{180} [/mm] einsetzen und nach [mm] \alpha [/mm] auflösen
lg Stevo
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Könntest du mir das für eine Kombination einmal vorrechnen.
Ich hänge wirklich in den Seilen. Ich habe 8 von 10 Formeln umgestellt, nur hier habe ich einen kompletten Blackout!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Do 06.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hi,
Ich versuche mal, die Lösung von Stevarino übersichtlich hinzuschreiben.
Nehmen wir an, du hast die Fläche und die Sehne gegeben.
Dann gilt: S = 2 * r * sin [mm] (\alpha) \gdw [/mm] r = [mm] \bruch{S}{2 * sin(\alpha)}
[/mm]
Dieses r kannst du jetzt in die Formel A = [mm] \bruch{\pi * r² * \alpha}{360}.
[/mm]
Also hast du jetzt:
A = [mm] \bruch{\pi * S² * \alpha}{360 * 4 * sin²(\alpha)}
[/mm]
Hieraus kannst du jetzt [mm] \alpha [/mm] berechnen.
Das Problem hierbei ist aber, dass [mm] sin(\alpha) [/mm] und [mm] \alpha [/mm] in einem Term vorkommen, also wäre es evtl. einfacher,
S = 2 * r * sin [mm] (\alpha) [/mm] nach [mm] \alpha [/mm] aufzulösen.
es gilt dann [mm] sin(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{S}{2r} \gdw \alpha [/mm] = [mm] arcsin(\bruch{S}{2r}) [/mm]
Das ganze kannst du jetzt in A = [mm] \bruch{\pi * r² * \alpha}{360} [/mm] einsetzen, also erhältst du A = [mm] \bruch{\pi * r² * arcsin(\bruch{S}{2r})}{360} [/mm] Hieraus müsstest du dann r berechnen.
Marius
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> Hallo
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> also bei Fläche und Sehne probiers so
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> A= [mm]\bruch{r^{2}*\pi* \alpha}{360}[/mm] und [mm]S=2*r*sin\alpha[/mm]
>
> und bei Bogenlänge und Sehne
>
> [mm]S=2*r*sin\alpha[/mm] und [mm]b=\bruch{r*\pi*\alpha}{180}[/mm]
>
> jetzt r eliminieren und fertig
>
> lg Stevo
Hallo Stevo,
das klingt gut, ist dann aber eben doch nicht
ganz so einfach. Wenn b und s gegeben sind,
haben wir (wenn [mm] \alpha [/mm] wirklich der ganze Zentri-
winkel des Sektors ist) die Gleichungen:
(1) $\ [mm] s=2*r*sin\left(\bruch{\alpha}{2}\right)$
[/mm]
(2) $\ [mm] b=r*\alpha$ [/mm] (Winkel im Bogenmaß !)
r zu eliminieren bedeutet nun z.B., nach (2) zu
schreiben
[mm] r=\bruch{b}{\alpha}
[/mm]
und in (1) einzusetzen. Damit kommen wir auf:
$\ [mm] s=2*\bruch{b}{\alpha}*sin\left(\bruch{\alpha}{2}\right)$
[/mm]
Wenn wir jetzt trotzdem noch den halben Zentri-
winkel [mm] \varphi=\bruch{\alpha}{2} [/mm] einführen, kommen wir für diesen
gesuchten Winkel auf die Gleichung:
[mm] \bruch{sin(\varphi)}{\varphi}=\bruch{s}{b}
[/mm]
Diese Gleichung für [mm] \varphi [/mm] ist, wenn b und s gegeben
sind, eine sogenannte transzendente Gleichung.
Dies bedeutet, dass man sie nicht formal nach [mm] \varphi
[/mm]
auflösen kann. Praktisch heißt dies, dass man sie
nur mit Näherungsverfahren approximativ lösen
kann !
Gruß Al-Chwarizmi
Nachtrag:
Der Entwicklung eines solchen Näherungsverfahrens habe
ich mich inzwischen gewidmet und bin auf eine sehr brauch-
bare Lösung gestossen. Siehe diesen Artikel !
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:07 Do 11.06.2009 | | Autor: | moody |
Hallo Al-Chwarizmi,
deine Hilfe kommt leider etwas spät, der Thread ist bereits > 1000 Tage alt. ![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]")
lg moody
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> Hallo Al-Chwarizmi,
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> deine Hilfe kommt leider etwas spät, der Thread ist bereits
> > 1000 Tage alt.
>
> lg moody
... hab' ich gar nicht beachtet, aber ich habe den Thread
gestern Abend unter den "offenen Fragen" entdeckt, aus
welchem Grund auch immer.
und: auch "alte Hüte" finden oft dankbare Abnehmer ... 
Al
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