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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:46 Sa 08.06.2013 | | Autor: | Muelller |
| Aufgabe | | 180 b / [mm] (\pi \alpha) [/mm] = h / (1 - cos [mm] (\alpha/2)) [/mm] nach [mm] \alpha [/mm] auflösen [mm] (\alpha [/mm] ist der Mittelpunktwinkel des gedachten Kreises) |
Angenommen sei eine Brücke in Kreisbogenform, also gleichmäßig rund als Teil eines (gedachten) gleichmäßigen Kreises.
Ansicht
Beigefügte Grafik unten
Gegeben ist:
b=Länge des Kreisbogens
h=Höhe der Brücke (also Höhe des Kreisbogens)
Gesucht wird:
r = Kreisradius
Erläuterung
Angenommen, die Brücke würde (gedanklich) unter der Erde weitergehen, also den gedachten Kreis schließen. Wäre es dann möglich, nur über die Werte h und b den Radius (r) des Kreises berechnen zu können? Ich komme dem nahe (durch die nachfolgend beschriebene Gleichsetzung), schaffe es aber letztendlich nicht, die Formel abzuschließen, also nach [mm] \alpha [/mm] aufzulösen. Mit [mm] \alpha [/mm] könnte ich dann natürlich r ausrechnen, und alle anderen Werte auch.
Bitte nur Lösungen im Bereich der Kreisberechnung, Geometrie, Trigonometrie, Winkelberechnung, Pytagoras, Winkelsätze ect. Also nur Wissen der 10. Klasse Realschule (obwohl wir damals deutlich weiter waren als nur eine 10. Klasse) ;)
Versuchsansatz
1 - Ich stelle die beiden Formeln zur Berechnung von b und h um nach r
1.1 - Berechnung von b
b = r [mm] \pi \alpha [/mm] / 180
==> r = 180 b / [mm] (\pi \alpha)
[/mm]
1.2 - Berechnung von h
h = r (1 - cos [mm] (\alpha/2))
[/mm]
==> r = h / (1 - cos [mm] (\alpha/2))
[/mm]
2 - Gleichsetzung der beiden Formeln
heißt: ich löse r weg
Weil r = 180 b / [mm] (\pi \alpha) [/mm] UND r = h / (1 - cos [mm] (\alpha/2))
[/mm]
gilt: 180 b / [mm] (\pi \alpha) [/mm] = h / (1 - cos [mm] (\alpha/2))
[/mm]
Wenn man die Formel jetzt nach [mm] \alpha [/mm] auflösen würde
[mm] \alpha [/mm] = .......
könte man den Rest vermutlich bequem berechnen
Leider kriege ich das nicht hin, weil ich in der Formel
180 b / [mm] (\pi \alpha) [/mm] = h / (1 - cos [mm] (\alpha/2))
[/mm]
auf der rechten Seite mit dem arccos rechnen muß, um das [mm] \alpha [/mm] zu bekommen, so daß ich links das [mm] \alpha [/mm] wieder in der arccos-Funktion stehen habe. Hier komme ich mit meiner Schulmathematik nicht mehr weiter.
Möglicherweise wäre eine andere Gleichsetzung (z.B. nach [mm] \alpha) [/mm] erfolgreicher. Aber hier klemmen meine Mathe-Kenntnisse. Oder ich stehe auf der Leitung
Grafik
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Hinweis: Was in das Feld "Aufgabenstellung" rein soll, habe ich noch nicht verstanden
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aufgabenstellung
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
eine solche Gleichung lässt sich nicht erstens nicht analytisch lösen, sondern nur näherungsweise.
Und genau dies trifft meioner Kenntnis nach auf dein Problem zu: man kann es nicht exakt ausrechnen, sondern nur durch eine Näherungsrechnung.
Gruß, Diophant
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