Kreis und Kugel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe folgendes Problem.
Eigentlich ist mir die Aufgabe schon klar, aber der Teil c ist mir ein Rätsel.
Hier mal die Aufgabe:
Ebene: r = [mm] \vektor{-3 \\ 1 \\ 4}+t1 \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}+t2 \vektor{1 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
Punkt: x = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 6}
[/mm]
Teil a ist die Projektion des Punktes auf die Ebene mit dem Skalarprodukt.
Da hab ich raus : p = [mm] \vektor{-2 \\ -1 \\ 3}
[/mm]
Teil b: Der Punkt x ist auf der Oberfläche einer Kugel, und die Projektion p aus a) ist deren Mittelpunkt. Wie ist die Kugelgleichung.
Da hab ich raus : |r- [mm] \vektor{-2 \\ -1 \\ 3}|= \wurzel{18}
[/mm]
Teil c: Kugel und Ebene bilden einen Schnittkreis. Geben Sie mit Hilfe der Ergebnisse aus a) und b) die Gleichung des Kreises an.
Also irgendwie hat der Prof. gemeint das man was mit den Orthonormalbasen aus a und dem Mittelpunkt aus b was machen kann,
was ungefähr so aussieht.
r = ()+t1*()+t2*()
Das Problem ist, er will sowas in der Klausur bringen und keiner weiß richtig wie das geht. Also auch meine Komilitonen wären sehr dankbar über einen Tipp.
Danke im Voraus
Gerry
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 Fr 30.07.2004 | | Autor: | taenzer |
Ich glaube, die Lösung soll folgendermaßen aussehen:
Man kann ja eine Kreisgleichung schreiben als
[mm] $x^2+y^2=R^2$
[/mm]
oder in Vektoren
[mm] $\left(\vektor{1 \\ 0}\vec r\right)^2+\left(\vektor{0 \\ 1}\vec r\right)^2=R^2$
[/mm]
wobei [mm] $r=\vektor{x\\y}$ [/mm] ist. Jetzt verschiebe ich noch den Ortsvektor und mache das Ganze 3D:
[mm] $\left(\vektor{1 \\ 0 \\0}(\vec r-\vec r_0)\right)^2+\left(\vektor{0 \\ 1 \\0}(\vec r-\vec r_0)\right)^2=R^2$
[/mm]
Das ist jetzt ein Kreis in der $xy$-Ebene. Statt der Vektoren [mm] $\vektor{1\\0\\0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{0\\1\\0}$ [/mm] kann man nun zwei beliebige Vektoren [mm] $\vec [/mm] a$ und [mm] $\vec [/mm] b$ nehmen, die eine Orthonormalbasis darstellen müssen, sonst ist das kein Kreis sondern eine Ellipse. Dann hat man einen Kreis in der Ebene, die von [mm] $\vec [/mm] a$ und [mm] $\vec [/mm] b$ aufgespannt werden. Der Mittelpunkt ist [mm] $\vec r_0$. [/mm] Der Radius des Kreises ist $R$.
[mm](\vec a\cdot(\vec r- \vec r_0))^2+(\vec b\cdot(\vec r-\vec r_0))^2=R^2[/mm]
Deine Aufgabe ist es jetzt nur noch, aus den Vektoren [mm] $\vektor{-1\\0\\1}$ [/mm] und [mm] $\vektor{1\\-1\\-1}$ [/mm] eine Orthonormalbasis für die Ebene zu konstruieren. $R$ und [mm] $\vec r_0$ [/mm] hast Du ja schon. Dann einsetzen, fertig!
Prüft aber vorher, ob der Lösungsvorschlag stimmt!!!
|
|
|
|
