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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:52 Di 25.01.2005 | | Autor: | Javafrog |
Hallo,
ich habe eine Aufgabe, an der ich nicht so richtig weiterkomme:
Ein im vierten Quadranten liegender Kreis k mit dem Mittelpunkt M berührt die Ordinatenachse im Punkt P (0;-1) und außerdem den Graphen der Funktion f(x) = x*ln(x²) im Punkt [mm] B(x_{b}, f(x_{b})). [/mm] Die Tangente t an den Graphen der Funktion f im Punkt B schneidet die Ordinatenachse im Punkt N. Begründen Sie daß das Viereck PMBN ein Drachenviereck ist. Ermitteln Sie einen Näherungswert für den Radius des Kreises k.
![[]](/images/popup.gif) Skizze
Ich bin jetzt soweit, daß ich mit Hilfe des Punktes P die Kreisgleichung auf (x-b)² + (y+1)² = b² umgestellt habe (b ist der x-Wert des Mittelpunkts m, siehe Skizze). Danach komme ich aber nicht weiter. Ich habe versucht, die Kreisgleichung mit dem Punkt B zu bilden, dort wird es aber schnell recht kompliziert und das scheint mir auch nicht der richtige Weg zu sein.
Ich bin allerdings der Ansicht, daß der Kreis durch diese beiden Punkte doch schon eindeutig definiert ist und eigentlich keine weiteren Angaben notwendig sind.
Vielleicht kann mir ja jemand helfen =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:48 Mi 26.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Javafrog
Rechne doch mal das Minimum von f(x) aus, und find raus, dass B nicht weit davon weg liegen kann. Du sollst ja nur einen Näherungswert finden.
Ist der Drache ein Problem?
Gruss leduart
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 08:24 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Javafrog |
Hallo und danke erstmal für den Tip.
Das Minimum wäre bei [mm] e^{-1}, [/mm] soweit so gut, aber wie begründet man denn mathematisch, daß B in ausreichender Nähe liegt? Das einzige, was mir einfallen würde, wäre der Anstieg der Tangente an die Funktion, die ja der horizontalen (= Minimumtangente) recht nahe kommt. Aber es ist eben nur eine Skizze =/
Nachtrag: Das mit dem Drachen ist eigentlich das kleinere Problem, denke ich, da durch die zwei Tangenten von N an den Kreis diese beiden Seiten gleich lang sind und durch |PM| = r = |BM| auch diese beiden gleich lang sind, womit es ein Drachenviereck sein muß. Korrigiere mich, falls ich falsch liege =)
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Hallo Javafrog,
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> ich habe eine Aufgabe, an der ich nicht so richtig
> weiterkomme:
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> Ein im vierten Quadranten liegender Kreis k mit dem
> Mittelpunkt M berührt die Ordinatenachse im Punkt P (0;-1)
> und außerdem den Graphen der Funktion f(x) = x*ln(x²) im
> Punkt [mm]B(x_{b}, f(x_{b})).[/mm] Die Tangente t an den Graphen der
> Funktion f im Punkt B schneidet die Ordinatenachse im Punkt
> N. Begründen Sie daß das Viereck PMBN ein Drachenviereck
> ist. Ermitteln Sie einen Näherungswert für den Radius des
> Kreises k.
>
> Skizze
Deine Skizze ist irreführend, weil der Funktionsgraph ganz anders verläuft:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sodann würde ich mir die einzelnen Bedingungen als Gleichungen notieren und versuchen, daraus weitere Beziehungen zu finden.
z.B.: P ist Berührpunkt [mm] \Rightarrow [/mm] Berührradius steht senkrecht auf y-Achse
B ist Berührpunkt [mm] \Rightarrow \overline{MB} [/mm] steht senkrecht auf der Tangente in B.
...
> Ich bin jetzt soweit, daß ich mit Hilfe des Punktes P die
> Kreisgleichung auf (x-b)² + (y+1)² = b² umgestellt habe (b
> ist der x-Wert des Mittelpunkts m, siehe Skizze). Danach
> komme ich aber nicht weiter. Ich habe versucht, die
> Kreisgleichung mit dem Punkt B zu bilden, dort wird es aber
> schnell recht kompliziert und das scheint mir auch nicht
> der richtige Weg zu sein.
> Ich bin allerdings der Ansicht, daß der Kreis durch diese
> beiden Punkte doch schon eindeutig definiert ist und
> eigentlich keine weiteren Angaben notwendig sind.
>
> Vielleicht kann mir ja jemand helfen =)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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![[mussweg]](/images/smileys/mussweg.gif "[mussweg]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Javafrog |
Nun, das habe ich auch getan, denn so bin ich auf die vereinfachte Kreisgleichung gekommen.
Standard ist ja [mm] (x-x_{m})² [/mm] + [mm] (y-y_{m})² [/mm] = r²
Ich habe der Einfachheit halber die Koordinaten der verschiedenen Punkte mit Variablen belegt, wie auch auf meiner Skizze zu sehen ist, also P(0;-1), N(0;a), M(b;-1), B(c;d) wobei c=x und d = f(x)
Da die y-Achse eine Tangente an den Kreis k darstellt, muß PM [mm] \perp [/mm] y-Achse bzw [mm] \parallel [/mm] x-Achse sein, womit gilt: [mm] y_{m} [/mm] = [mm] y_{p} [/mm] = -1.
Außerdem muß der Radius dann gleich [mm] x_{m} [/mm] = b sein (offensichtlich).
Daraus erhalte ich die Kreisformel: (x-b)² + (y+1)² = b².
Für einen Berührungspunkt P einer Tangente an einem Kreis k gilt folgende Formel:
[mm] (x-x_{m})(x_{p}-x_{m}) [/mm] + [mm] (y-y_{m})(y_{p}-y_{m}) [/mm] = r²
Setze ich nun die Koordinaten ein, erhalte ich:
(x-b)(0-b) + (y+1)(-1-(-1)) = b²
also
b(b-x) = b²
und somit
bx = 0, was mir irgendwie gar nix sagt.
Setze ich dagegen den Funktionspunkt B in die Kreisgleichung ein, erhalte ich:
(x-b)(x-b) + (y+1)(x*ln(x²) +1) = b²
was dann nirgendwohin führt. Die Tatsache, daß die y-Achse und die Funktionstangente also senkrecht auf dem Radius stehen (Kreistangenten sind), steckt ja praktisch in diesen Formeln drin.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Do 27.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Leider ist mir kein ganz leichter Weg eingefallen.
Aber erstens stellt man leicht fest, dass die Tangente in (x1,y1) die y- Achse bei -2x1 schneidet.
Wenn man jetzt ausnutzt, dass die beiden Tangentenabschnitte gleich lang sind und das Quadrat des Tangentenstücks an die Kurve durch Pythagoras ausrechnet und gleich der Länge [mm] (1-2x1)^{2} [/mm] setzt hat man eine längliche Gleichung, da man ja y1=2x1*lnx1 einsetzen muß. Vereinfachen so dass eine Gleichung =0 herauskommt und mit Newtonverfahren eine Nullstelle finden. Falls du das Newtonverfahren nocht kennst, machst du Intervallschachtelung! Der rechtige Wert liegt zwischen [mm] x1=e^{-1} [/mm] und 0,8* [mm] e^{-1}.
[/mm]
Hilft das? oder ist es zu mühsam?
Zweiter Weg: Geh in die Nähe des Punktes,den du vermutest, x2,y2 ersetze dann die Funktion dur ihre Tangente durch x2,y2 und finde so einen etwa Wert. Der erste Weg ist beliebig genau, der zweite hat nur einen Schritt und ist deshalb ungenauer.
Noch ein Hinweis, die Kurve in deinem Bild ist instruktiver als die von informix, wenn man Kreise malen will, sollten x und y-Achsen denselben Maßstab haben.
Ich find die Aufgabe ganz schön schwer! also ärger dich nicht, wenn du sie nicht einfach konntest, Vielleicht hilft dir die Diskussion ja bei ner ähnlichen Aufgabe, aber einfacheren Funktionen!
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Do 27.01.2005 | | Autor: | Javafrog |
Danke für Deine Mühen, ich glaube, daß Dein erster Vorschlag doch der Richtige war. Steht ja nicht umsonst da, daß eine Näherung berechnet werden soll.
Die Aufgabe ist eine d)-Musteraufgabe für das Vorabi und mit 6 BE (von 25 für den Analysis-Teil) bewertet. Wüßte nicht, wie man sowas in der Prüfung schaffen könnte...
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![[]](http://www.javafrog.de/kreis.png){kind=small}
Skizze