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Kovergenz bei Reihen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Do 08.12.2005
Autor: Nescio

Hallo:)
ich habe die folgende Aufgabe zu lösen:
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}} [/mm]

habe mir nun folgendes gedacht:

Bildung der Partialsumme [mm] \summe_{n=2}^{ \infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}} [/mm]

Zeige [mm] \exists [/mm] q< 1 und N [mm] \in \IN [/mm]
[mm] \summe_{n=2}^{ \infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}} [/mm]

Beweis:
Leibnizsches Kriterium anwenden:
[mm] \bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}} [/mm] = [mm] (-1)^{n} a_{n} [/mm]
[mm] a_{n}= \bruch{(n+1)^{n-1}}{(n)^{n}} [/mm]

Wurzelkriterium anweden
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] < q < 1
Setze [mm] a_{n}= \bruch{(n+1)^{n-1}}{(n)^{n}} [/mm]

[mm] \bruch{ \bruch{(n+2)^{n}}{(n+1)^{n+1}}}{ \bruch{(n+1)^{n-1}}{n^{n}}} [/mm]
=  [mm] \bruch{(n+2)^{n}}{(n+1)^{n+1}} \bruch{n^{n}}{(n+1)^{n-1}} [/mm]
=  [mm] \bruch{((n+2) n)^{n}}{(n+1)^{n+1+n-1}} [/mm]
=  [mm] \bruch{(n^{2} + 2n)^{n}}{(n+1)^{2n}} [/mm]
=  [mm] \bruch{(n^{2} + 2n)^{n}}{((n+1)^{2})^{n}} [/mm]
     binom. Formel anwenden
=  [mm] \bruch{((n+1)^{2}-1)^{n}}{((n+1)^{2})^{n}} [/mm]
=   [mm] (\bruch{-1}{(n+1)^{2}})^{n} [/mm]

Wir wissen
=  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{-1}{(n+1)^{2}})^{n}= [/mm] 0,
d.h. [mm] \forall [/mm] q>0  [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N
[mm] |(\bruch{-1}{(n+1)^{2}})^{n}| \le (\bruch{-1}{(n+1)})^{n} \le [/mm] q < 1

Wähle q z.B. 0< q= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < 1, so dass gilt
[mm] (\bruch{-1}{(n+1)})^{n} \le [/mm] q < 1

Stimmt das so? Wenn nicht, was habe ich falsch gemacht und wie kann ich es anders machen?

Vielen Dank schon einmal für eure Hilfe!!!!!! :-)
        
Bezug
Kovergenz bei Reihen: stimmt so!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 Do 08.12.2005
Autor: mathmetzsch

Hallo,

da brauchst du keine Hilfe. Ist alles schlüssig und stimmt! Der Term am Ende ist sicherlich eine Nullfolge. Damit konvergiert das Ganze nach Leibniz!

Viele Grüße
Daniel
Bezug
        
Bezug
Kovergenz bei Reihen: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:30 Do 08.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Nescio!


> Leibnizsches Kriterium anwenden:
> [mm]\bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}}[/mm] = [mm](-1)^{n} a_{n}[/mm]
> [mm]a_{n}= \bruch{(n+1)^{n-1}}{(n)^{n}}[/mm]

[ok] Gute Idee ...

  
> Wurzelkriterium anweden

Wozu Wurzelkriterium, wenn Du mit Leibniz vorgehen willst? [aeh]


> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] < q < 1

Und das sieht ja auch eher wie Quotientenkriterium aus ... ;-)


Scherz bei Seite ...

Nach Leibniz musst Du nun zeigen dass dies auch eine monoton fallende Nullfolge sein muss.

Es muss also gelten: [mm] $a_{n+1} [/mm] \ < \ [mm] a_n$ $\gdw$ $\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] \ < \ 1$


>  =  [mm]\bruch{(n^{2} + 2n)^{n}}{((n+1)^{2})^{n}}[/mm]

Hier im Nenner die Klammer ausmultiplizieren, und Du wärst schon fast fertig gewesen ...


> =  [mm]\bruch{((n+1)^{2}-1)^{n}}{((n+1)^{2})^{n}}[/mm]
> =  [mm](\bruch{-1}{(n+1)^{2}})^{n}[/mm]

Und von diesem (Rechen?-)Schritt wende ich mich mit Grausen ab. [kopfschuettel]

Das muss natürlich heißen: $... \ = \ [mm] \left(\red{1}-\bruch{1}{(n+1)^2}\right)^n$ [/mm]


Gruß
Loddar

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