Kovarianz bestimmen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Sa 19.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Seien [mm] n\in{\IN}, p\in{[0,1]} [/mm] und [mm] \lambda\in{(0,\infty)}.
[/mm]
Seien weiter die Zufallsvariablen X, Y unabhängig mit [mm] X\sim{Bin(n,p)} [/mm] und [mm] Y\sim{Pois(\lambda)}.
[/mm]
Bestimmen Sie die Kovarianz von X-2Y+5 und X(Y+3). |
Hallo Leute,
ich hab mir gedacht ich setz das Ganze einfach mal in die Definition ein und nutze dann die Linearität des Erwartungswertes aus, d.h. es gilt dann:
[mm] Cov[X-2Y+5,X(Y+3)]=E[X^2Y]+3E[X^2]-2E[XY^2]-11E[XY]+15E[X]-E[X]E[XY]-3(E[X])^2+2E[Y]E[XY]+6E[Y]E[X]-5E[XY]-15E[X]
[/mm]
[mm] =E[X^2Y]+3E[X^2]-2E[XY^2]-16E[XY]-E[X]E[XY]-3(E[X])^2+2E[Y]E[XY]+6E[Y]E[X]
[/mm]
=
Hierbei kann ich mithilfe der Information, dass [mm] X\sim{Bin(n,p)} [/mm] bzw. [mm] Y\sim{Pois(\lambda)} [/mm] so ziemlich alle Erwartungswerte sofort angeben.
Mir machen jetzt allerdings noch die Erwartungswerte zu schaffen, die sowohl X als Y beinhalten also E[XY], E[X^2Y] und [mm] E[XY^2].
[/mm]
Kann mir da jemand an Tipp geben wie ich diese berechne oder wie ich einfacher ans Ziel komme??
Vielen Dank schon mal.
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Huhu,
X und Y sind unabhängig, daher gilt:
$E[XY]= E[X]E[Y] [mm] \wedge [/mm] E[X^2Y] = [mm] E[X^2]E[Y]$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Sa 19.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hehe ja klar au man :)!! Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 Sa 19.06.2010 | | Autor: | gfm |
Zur Reduzierung des Rechenaufwands könnte man beachten, dass gilt
[mm]\operatorname{COV}(X,Y)[/mm] ist bilinear und symmetrisch.
[mm]\operatorname{COV}(X,X)=\operatorname{VAR}(X)[/mm]
[mm]\operatorname{COV}(\mbox{const.},Y)=0[/mm]
[mm]X,Y[/mm] unabh. [mm]\Rightarrow \operatorname{COV}(X,Y)=0[/mm]
[mm]X,Y[/mm] unabh. [mm]\Rightarrow \operatorname{COV}(X,XY)=\operatorname{VAR}(X)\operatorname{E}(Y)[/mm]
Und in Deiner Aufgabe noch:
[mm]\operatorname{E}(X)=np, \operatorname{VAR}(X)=(1-p)\operatorname{E}(X), \operatorname{E}(Y)=\operatorname{VAR}(Y)=\lambda[/mm]
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Sa 19.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Vielen Dank für die Hinweise!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Do 24.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Eine Frage treibt mich zu dieser Aufgabe noch um.
Und zwar gibt es einen Satz, der besagt, dass die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen nicht verloren geht, wenn man unabhängige Zufallsvariablen in disjunkte Klassen zusammenfasst und zu neuen Zufallsvariablen kombiniert.
Bei uns heißt das Blockungslemma, falls das jemand was sagt.
Die Frage ist nun, ob ich daraus nicht schließen kann, dass die Zufallsvariablen X-2Y+5 und X(Y+3) wiederum unabhängig snd und damit dann die Kovarianz bereits 0 ist bzw. warum kann ich das hier nicht machen??
Vielen Dank für die Antwort!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Do 24.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Eine Frage treibt mich zu dieser Aufgabe noch um.
> Und zwar gibt es einen Satz, der besagt, dass die
> Unabhängigkeit von Zufallsvariablen nicht verloren geht,
> wenn man unabhängige Zufallsvariablen in disjunkte Klassen
> zusammenfasst und zu neuen Zufallsvariablen kombiniert.
> Bei uns heißt das Blockungslemma, falls das jemand was
> sagt.
>
> Die Frage ist nun, ob ich daraus nicht schließen kann,
> dass die Zufallsvariablen X-2Y+5 und X(Y+3) wiederum
> unabhängig snd und damit dann die Kovarianz bereits 0 ist
> bzw. warum kann ich das hier nicht machen??
Wenn X und Y von U und V unabhängig sind, sollten g(X,Y) und h(U,V) wieder unabhängig sein. Du hast hier aber g(X,Y) und h(X,Y).
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 Do 24.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay wär das auch geklärt, vielen Dank!
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