Kosten minimieren < Politik/Wirtschaft < Geisteswiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:07 Sa 04.02.2012 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | Ein Unternehmen mit den Namen "Helau" produziere Faschingskostüme. Seine Produktionsfunktion laute y=5M+L, wobei M die Anzahl der eingesetzten Maschinen und L die Anzahl der Angestellten beschreibe.
jeder Angestellte erhalte den Lohnsatz w=1 und eine Maschine erzeuge Kosten in Höhe r=4. Welche Inputkombination verwendet das kostenminimierende unternehmen "Helau" zur Herstellung von 10 Kostümen? |
hier verwende ich Tangentialmethode und es muss ja gelten:
Steigung der Isoquante = Technische Rate der Substitution
die Steigung der Isoquante habe ich schon durch umformen der Kostenfunktion ausgerechnet:
[mm] -\bruch{1}{4}
[/mm]
bei TRS gilt ja:
[mm] TRS=-\bruch{MP1}{MP2}
[/mm]
für MP1 muss ich ja die Produktionsfunktion nach M ableiten und für MP2 nach L, dann bekomme ich ja das raus:
[mm] TRS=-\bruch{5}{1}
[/mm]
jetzte setze ich sie gleich:
[mm] -\bruch{5}{1}=-\bruch{1}{4}
[/mm]
da stimmt doch was nicht. was mache ich falsch?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Sa 04.02.2012 | | Autor: | barsch |
> Ein Unternehmen mit den Namen "Helau" produziere
> Faschingskostüme. Seine Produktionsfunktion laute y=5M+L,
> wobei M die Anzahl der eingesetzten Maschinen und L die
> Anzahl der Angestellten beschreibe.
Stimmt die Produktionsfunktion wirklich?
Wenn dem so ist, kann ein Faktor auch entfallen. D.h. Kostüme können entweder ganz per Maschine oder per Hand gefertigt werden.
> jeder Angestellte erhalte den Lohnsatz w=1 und eine
> Maschine erzeuge Kosten in Höhe r=4. Welche
> Inputkombination verwendet das kostenminimierende
> unternehmen "Helau" zur Herstellung von 10 Kostümen?
Dann kannst du dir überlegen, dass M=2 und L=0 zu minimalen Produktionskosten führt.
> hier verwende ich Tangentialmethode und es muss ja gelten:
> Steigung der Isoquante = Technische Rate der Substitution
> die Steigung der Isoquante habe ich schon durch umformen
> der Kostenfunktion ausgerechnet:
> [mm]-\bruch{1}{4}[/mm]
>
> bei TRS gilt ja:
> [mm]TRS=-\bruch{MP1}{MP2}[/mm]
> für MP1 muss ich ja die Produktionsfunktion nach M
> ableiten und für MP2 nach L, dann bekomme ich ja das
> raus:
> [mm]TRS=-\bruch{5}{1}[/mm]
> jetzte setze ich sie gleich:
> [mm]-\bruch{5}{1}=-\bruch{1}{4}[/mm]
>
>
> da stimmt doch was nicht. was mache ich falsch?
Gruß barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Sa 04.02.2012 | | Autor: | kioto |
hallo barsch,
> > Ein Unternehmen mit den Namen "Helau" produziere
> > Faschingskostüme. Seine Produktionsfunktion laute y=5M+L,
> > wobei M die Anzahl der eingesetzten Maschinen und L die
> > Anzahl der Angestellten beschreibe.
>
> Stimmt die Produktionsfunktion wirklich?
ja, die produktionsfunktion ist wirklich so
> Wenn dem so ist, kann ein Faktor auch entfallen. D.h.
> Kostüme können entweder ganz per Maschine oder per Hand
> gefertigt werden.
> > jeder Angestellte erhalte den Lohnsatz w=1 und eine
> > Maschine erzeuge Kosten in Höhe r=4. Welche
> > Inputkombination verwendet das kostenminimierende
> > unternehmen "Helau" zur Herstellung von 10 Kostümen?
>
> Dann kannst du dir überlegen, dass M=2 und L=0 zu
> minimalen Produktionskosten führt.
das steht auch in der Lösung, aber kannst vielleicht kurz erläutern wie man drauf kommt? mit tangentialmethode funktioniert ja nicht mehr
danke!
kioto
|
|
|
| |
|
Hallo!
> hallo barsch,
>
> > > Ein Unternehmen mit den Namen "Helau" produziere
> > > Faschingskostüme. Seine Produktionsfunktion laute y=5M+L,
> > > wobei M die Anzahl der eingesetzten Maschinen und L die
> > > Anzahl der Angestellten beschreibe.
> >
> > Stimmt die Produktionsfunktion wirklich?
>
> ja, die produktionsfunktion ist wirklich so
> > Wenn dem so ist, kann ein Faktor auch entfallen. D.h.
> > Kostüme können entweder ganz per Maschine oder per Hand
> > gefertigt werden.
>
>
> > > jeder Angestellte erhalte den Lohnsatz w=1 und eine
> > > Maschine erzeuge Kosten in Höhe r=4. Welche
> > > Inputkombination verwendet das kostenminimierende
> > > unternehmen "Helau" zur Herstellung von 10 Kostümen?
> >
> > Dann kannst du dir überlegen, dass M=2 und L=0 zu
> > minimalen Produktionskosten führt.
> das steht auch in der Lösung, aber kannst vielleicht kurz
> erläutern wie man drauf kommt? mit tangentialmethode
> funktioniert ja nicht mehr
> danke!
> kioto
Man könnte die ganze Geschichte recht elegant mit Hilfe eines linearen Optimierungsmodells aus der Welt schaffen. Dazu würde man beispielsweise wie folgt ansetzen:
Sei
L die Anzahl der einzusetzenden Arbeiter und
M die Anzahl der einzusetzenden Maschinen,
dann obliegt der vorliegende Sachverhalt der zu minimierenden Zielfunktion
Minimiere F(L,M)=w*L+r*M
unter den Nebenbedingungen
a) y=L+5M
b) y=10
c) [mm] L,M\in\IN_{0}.
[/mm]
Wenn man sich das Modell dann mal graphisch veranschaulicht, indem man beispielsweise die Anzahl der Maschinen in Abhängigkeit von der Anzahl der einzusetzenden Arbeiter, M(L), skizziert, wird der gesamte zulässige Lösungsbereich durch eine Kombination der Nebenbedingungen a) und b) repräsentiert. Dieser lässt sich wie folgt ortsabhängig parametrisieren
[mm] \vec{X}=\vec{A}*(1-t)+\vec{B}*t, [/mm] mit [mm] t\in[0,1] [/mm] sowie
[mm] \vec{A}=2*\vec{e}_{M} [/mm] und [mm] \vec{B}=10*\vec{e}_{L}.
[/mm]
Abschließend lassen sich durch Einzeichnen und geeigneter Parallelverschiebung einer Isokostenlinie die optimalen Werte für L und M zu
[mm] M_{Opt}=2 [/mm] und
[mm] L_{Opt}=0 [/mm] ablesen.
Diesbezüglich ergeben sich also die minimalen Gesamtkosten hinsichtlich der Herstellung von 10 Kostümen zu
[mm] F(M_{Opt},L_{Opt})=1*0+4*2=8, [/mm] mit w=1 und r=4
Viele Grüße, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Sa 04.02.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
Marcel hat es dir bereits erläutert.
Rein mathematisch kannst du es auch so lösen:
Das mathematische Optimierungsproblem lautet
[mm]\textrm{min} \ \ F(L,M)=1*L+4*M [/mm]
[mm]\textrm{u. d. NB} \ \ L+5*M=10[/mm]
Jetzt kannst du die Nebenbedingung nach L umstellen: [mm]L=10-5\cdot{}M[/mm].
Du weißt, dass gilt: [mm]L,M\ge{0}[/mm].
[mm]L=10-5\cdot{}M\geq 0 \ \ \gdw \ \ M\in\left [ 0, 2 \right ][/mm].
Setze [mm]L=10-5\cdot{}M[/mm] in deine Zielfunktion F ein: [mm]F(M)=10-5\cdot{M}+4*M=10-M[/mm].
Für welches [mm]M\in\left [ 0, 2 \right ][/mm] ist [mm]F(M)=10-M[/mm] nun minimal? Wie groß ist dann die Zahl L der Mitarbeiter?
Gruß
barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Sa 04.02.2012 | | Autor: | kioto |
Hallo,
>
> Marcel hat es dir bereits erläutert.
>
> Rein mathematisch kannst du es auch so lösen:
> Das mathematische Optimierungsproblem lautet
>
> [mm]\textrm{min} \ \ F(L,M)=1*L+4*M[/mm]
>
> [mm]\textrm{u. d. NB} \ \ L+5*M=10[/mm]
das verstehe ich nicht,
> Jetzt kannst du die Nebenbedingung nach L umstellen:
> [mm]L=10-5\cdot{}M[/mm].
> Du weißt, dass gilt: [mm]L,M\ge{0}[/mm].
> [mm]L=10-5\cdot{}M\geq 0 \ \ \gdw \ \ M\in\left [ 0, 2 \right ][/mm].
>
> Setze [mm]L=10-5\cdot{}M[/mm] in deine Zielfunktion F ein:
> [mm]F(M)=10-5\cdot{M}+4*M=10-M[/mm].
>
> Für welches [mm]M\in\left [ 0, 2 \right ][/mm] ist [mm]F(M)=10-M[/mm] nun
> minimal? Wie groß ist dann die Zahl L der Mitarbeiter?
>
jetzt bin ich verwirrt, so haben wirs noch nie gemacht, scheint aber einfacher zu sein. aber ich weiß nicht was ich mit F(M)=10-M machen soll. meinst du, ich nehme einfach 5M aus der produktionsfunktion und setzte es hier ein? also F(M)=10-5M? dann nullsetzen und nach M auflösen?
danke
> Gruß
> barsch
>
|
|
|
| |
|
> Hallo,
> >
> > Marcel hat es dir bereits erläutert.
> >
> > Rein mathematisch kannst du es auch so lösen:
> > Das mathematische Optimierungsproblem lautet
> >
> > [mm]\textrm{min} \ \ F(L,M)=1*L+4*M[/mm]
> >
> > [mm]\textrm{u. d. NB} \ \ L+5*M=10[/mm]
> das verstehe ich nicht,
>
> > Jetzt kannst du die Nebenbedingung nach L umstellen:
> > [mm]L=10-5\cdot{}M[/mm].
> > Du weißt, dass gilt: [mm]L,M\ge{0}[/mm].
>
> > [mm]L=10-5\cdot{}M\geq 0 \ \ \gdw \ \ M\in\left [ 0, 2 \right ][/mm].
>
> >
> > Setze [mm]L=10-5\cdot{}M[/mm] in deine Zielfunktion F ein:
> > [mm]F(M)=10-5\cdot{M}+4*M=10-M[/mm].
> >
> > Für welches [mm]M\in\left [ 0, 2 \right ][/mm] ist [mm]F(M)=10-M[/mm] nun
> > minimal? Wie groß ist dann die Zahl L der Mitarbeiter?
> >
> jetzt bin ich verwirrt, so haben wirs noch nie gemacht,
> scheint aber einfacher zu sein. aber ich weiß nicht was
> ich mit F(M)=10-M machen soll. meinst du, ich nehme einfach
> 5M aus der produktionsfunktion und setzte es hier ein? also
> F(M)=10-5M? dann nullsetzen und nach M auflösen?
Ich versuche es noch einmal etwas ausführlicher zu erklären. Deine Ziel- bzw. Kostenfunktion lautet
(1) F(L,M)=1*L+4*M.
Die Nebenbedingung erhältst du aus der Gleichsetzung der Produktionsfunktion mit der Anzahl der zu produzierenden Kostüme
L+5*M=10.
Diese Gleichung lässt sich dann nach L umstellen. In Verbindung mit der sinnvollen Forderung, dass sowohl die Arbeitsstuden als auch die Maschinenstunden nicht negativ werden dürfen, erhält man
(2) [mm] L=10-5M\ge0
[/mm]
[mm] \gdw10\ge{5M}
[/mm]
[mm] \gdw{M}\le2
[/mm]
(3) [mm] \gdw0\le{M}\le2 [/mm] oder [mm] M\in[0,2].
[/mm]
Darüber hinaus lässt sich Gleichung (2) für L in die Zielfunktion (1) einsetzen, woraus man dann den Ausdruck
(4) F(M)=10-5M+4M=10-M.
erhält. Überlege nun, welchen Wert man für M in Gleichung (4) einsetzen muss, damit Gleichung (4) so klein wie möglich wird. Achte dabei auf den mit Gleichung (3) erhaltenen Zulässigkeitsbereich für M. Wenn du den zielfunktionsminimierenden Wert für M gefunden hast, erhältst du auch sofort den entsprechenden Wert für L. Wie lauten also die gesuchten Werte?
> danke
>
>
> > Gruß
> > barsch
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 So 05.02.2012 | | Autor: | kioto |
danke! ich glaub ich habs verstanden! also weil ich für M höchstens nur 2 einsetzten kann, ist M=2, dann setze ich es in die Gleichung 2), und bekomme dann L=0. richtig?
|
|
|
| |
|
> danke! ich glaub ich habs verstanden! also weil ich für M
> höchstens nur 2 einsetzten kann, ist M=2, dann setze ich
> es in die Gleichung 2), und bekomme dann L=0. richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Die Anfertigung einer Skizze würde ich dir jedoch nach wie vor empfehlen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 So 12.02.2012 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | | wie hoch dürfen die Kosten r, die eine Maschine erzeugt, bei einem Lohnsatz von w=1 höchstens sein, damit es sich für das kostenminimierende Unternehmen "Helau" lohnt, Maschinen für die Produktion einzusetzen? |
ich hab versucht die funktion K=rM+wL nach L umzuformen und dann in die Produktionsfunktion einzusetzen, aber da kam nix sinnvolles raus. wie müsste ich hier eigentlich vorgehen?
|
|
|
| |
|
Hallo!
> wie hoch dürfen die Kosten r, die eine Maschine erzeugt,
> bei einem Lohnsatz von w=1 höchstens sein, damit es sich
> für das kostenminimierende Unternehmen "Helau" lohnt,
> Maschinen für die Produktion einzusetzen?
> ich hab versucht die funktion K=rM+wL nach L umzuformen
> und dann in die Produktionsfunktion einzusetzen, aber da
> kam nix sinnvolles raus.
Ganz so einfach geht es nicht.
> wie müsste ich hier eigentlich
> vorgehen?
Unter Berücksichtung des bereits definierten Nebenbedingungssystems (vgl. dazu meinen Post "Optimierungsmodell"), wobei diesbezüglich vor allem auf die Ganzzahligkeitsbedingung [mm] L,M\in\IN_{0} [/mm] zu achten ist, ergeben sich für die Firma "Helau" zunächst i=1,...,3 mögliche Produktionsszenarien
(1) M=2, L=0
(2) M=1, L=5
(3) M=0, L=10.
Betrachte dazu insbesondere die Geradenparametrisierung aus meinem vorherigen Post. Um nun den Maschinenkostensatz r angeben zu können, bis zu welchem sich die Integration von Maschinen in den Produktionsprozess lohnen würde, muss zunächst geklärt werden, wie hoch die minimalen Produktionskosten sind, die sich aus einer maschinenfreien Produktion ergeben. Ein solches Produktionsszenario kann gemäß der zugrundeliegenden Problemstellung jedoch nur im Rahmen des Produktionsszenarios (3) realisiert werden; die Kostümproduktion erfolgt dann ausschließlich durch menschliche Arbeitskraft. Bezüglich des Produktionsszenarios (3) erhält man i.V.m. dem in der Aufgabenstellung angegebenen Lohnsatz von w=1 einen neuen optimalen, bzw. kostenminimalen Zielfunktionswert
(4) [mm] F_{3}(M=0,L=10)=0*r+1*10=10.
[/mm]
Damit sich nun die Kostümproduktion unter Verwendung von wenigstens einer Maschine lohnt, darf im Zuge des entsprechenden Produktionsszenarios der kostenminimale Zielfunktionswert der maschinenfreien Produktion aus Gleichung (4) nicht überboten werden. Konkret muss also mit M>0 die folgende Bedingung erfüllt werden
(5) [mm] F(M>0)\le{F_{3}(M=0)}.
[/mm]
Ausgehend von Produktionsszenario (3) wäre Produktionsszenario (2) das nächstliegende, welches Ungleichung (5) erfüllen würde. Im Zuge dieser Überlegung ergibt sich unmittelbar die abschließend zu lösende Ungleichung
[mm] F_{2}\le10
[/mm]
[mm] \gdw{w*L+r*M}\le10
[/mm]
[mm] \gdw{5+r}\le10
[/mm]
[mm] \gdw{r\le}5, [/mm] mit M,w=1 und L=5.
Viele Grüße, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 So 12.02.2012 | | Autor: | barsch |
> wie hoch dürfen die Kosten r, die eine Maschine erzeugt,
> bei einem Lohnsatz von w=1 höchstens sein, damit es sich
> für das kostenminimierende Unternehmen "Helau" lohnt,
> Maschinen für die Produktion einzusetzen?
> ich hab versucht die funktion K=rM+wL nach L umzuformen
> und dann in die Produktionsfunktion einzusetzen, aber da
> kam nix sinnvolles raus.
Wieso kam da nichts sinnvolles raus?
> wie müsste ich hier eigentlich
> vorgehen?
Dein Problem ist immer noch so wie zuvor, mit der Ausnahme, dass du r nicht kennst:
[mm] \textrm{min} \ \ F(L,M)=1\cdot{}L+r\cdot{}M [/mm]
[mm] \textrm{u. d. NB} \ \ L+5\cdot{}M=10 [/mm]
Du kannst die Nebenbedingung ganz normal umstellen: [mm]L=10-5\cdot{M}[/mm]. Du siehst, es ist weiterhin [mm]M\in\left [ 0,2 \right ][/mm], wenn wir [mm]L\geq{0}[/mm] berücksichtigen. Wie in dem 1. Aufgabenteil.
Setze das in deine Kostenfunktion F ein:
[mm]F(M)=10-5*M+r\cdot{}M=10+M*(r-5) [/mm]
Das soll wieder minimal werden - wie in Aufgabenteil 1. Also überlege dir, für welche r die Funktion F wächst, wenn du [mm]M\ge{0}[/mm] berücksichtigst.
[mm]10+M*(r-5)>10 \ \ \gdw \ \ r>5[/mm]
Für [mm]r>5[/mm] ist es nicht mehr wirtschaftlich, Maschinen einzusetzen. Denn dann lässt du einzig durch Arbeitnehmer nähen und kommst so auf minimale Kosten i.H.v. 10.
Für [mm]r\le{5}[/mm] ist es hingegen wirtschaftlich. Das hat Marcel ja auch gezeigt. Dieser Ansatz ist wieder als alternative zu Marcels Vorschlag zu sehen. Geht so schneller finde ich, weil dieser Ansatz ähnlich aufgebaut ist, wie beim 1. Aufgabenteil. Ziel ist immer Kostenminimal zu wirtschaften.
Gruß
barsch
|
|
|
|
