Kosinussatz < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Begründen Sie, dass der Kosinussatz auch für Stumpfwinklige Dreiecke gilt. |
Hallo an alle.
Für den Sinussatz habe ich dies schon begründet. Bin jetzt jedoch irgendwie durcheinander gekommen und habe wahrscheinlich ein Brett vorm Kopf.
Wäre dankbar für Hilfe^^
Achja, ist wahrscheinlich nicht ganz das richtige Forum, aber habe keins für Geometrie gefunden.
lg stierchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Mo 08.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich habe es mal ins passende Forum verschoben.
Marius
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Hallo!
In welchem Zusammenhang habt ihr denn vorausgesetzt, dass das Dreieck spitzwinklig sein muss? Habt ihr den Kosinussatz bewiesen?
Viele Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Mo 08.06.2009 | | Autor: | stierchen |
danke an M.Rex
an steppenhahn: haben den Satz für rechtwinklige dreiecke bewiesen und sollen jetzt zeigen, dass es auch für stumpfwinklige gilt. den ersten beweis haben wir samt einheitskreis gemacht
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Hallo!
Also eine kurze Begründung mit Worten fällt mir jetzt nicht ein, deswegen solltest du vielleicht einfach schnell den anderen Fall beweisen. Nimm dafür die Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
In der Skizze gilt auch:
[mm] $h^{2} [/mm] = [mm] b^{2}-e^{2}$
[/mm]
[mm] $c^{2} [/mm] = [mm] h^{2} [/mm] + [mm] d^{2}$
[/mm]
Was sich aber ändert:
[mm] $d^{2} [/mm] = [mm] (a+e)^{2} [/mm] = [mm] a^{2} [/mm] + [mm] 2*a*e+e^{2}$
[/mm]
Nun nehmen wir die zweite Gleichung und setzen die anderen darin ein:
[mm] $c^{2} [/mm] = [mm] h^{2} [/mm] + [mm] d^{2} [/mm] = [mm] (b^{2}-e^{2}) [/mm] + [mm] (a^{2}+2*a*e+e^{2}) [/mm] = [mm] a^{2}+b^{2} [/mm] + 2*a*e$
Nun können wir noch aus dem rechten Teildreieck ablesen:
[mm] $\cos(180°-\gamma) [/mm] = [mm] \bruch{e}{b}$
[/mm]
Und [mm] $\cos(180°-\gamma) [/mm] = [mm] -\cos(\gamma)$ [/mm] (eine Regel), also
[mm] $-\cos(\gamma) [/mm] = [mm] \bruch{e}{b} \gdw -b*\cos(\gamma) [/mm] = e$
Das jetzt oben in die Gleichung eingesetzt bringt den Kosinussatz auch für stumpfwinklige Dreiecke.
Grüße, Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Mo 08.06.2009 | | Autor: | stierchen |
vielen lieben dank=)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo stierchen,
> danke an M.Rex
> an steppenhahn: haben den Satz für rechtwinklige dreiecke
> bewiesen und sollen jetzt zeigen, dass es auch für
Soweit ich weiß, wurde der Satz in der Vorlesung (und dem Skript) für spitzwinklige Dreiecke bewiesen, nicht für rechtwinklige.
Für rechtwinklige Dreiecke nennt man den Kosinussatz "Satz des Pythagoras" (der wurde tatsächlich auch vorher bewiesen).
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Mo 08.06.2009 | | Autor: | stierchen |
upps, vertan, sorry;)
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