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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Di 29.03.2011 | | Autor: | luna19 |
hallo!
wir machen gerade in der Schule kosinus bzw.sinusfunktionen.
Und ich wollte fragen,wie man auf diese Funktionen kommt.
Denn mein Lehrer hat das mit einem Strahlensatz und Satz des Pythagoras erklärt und ich habe das nicht so verstanden.
Danke !!
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> hallo!
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> wir machen gerade in der Schule kosinus
> bzw.sinusfunktionen.
> Und ich wollte fragen,wie man auf diese Funktionen
> kommt.
> Denn mein Lehrer hat das mit einem Strahlensatz und Satz
> des Pythagoras erklärt und ich habe das nicht so
> verstanden.
>
> Danke !!
Hallo luna19,
in diesem Fall solltest du zuallererst den Lehrer selber
nach einer ausführlicheren oder etwas anderen Erläuterung
fragen. Vielleicht bist du ja mit dem Verständnisproblem
auch in deiner Klasse nicht allein. Ich gebe dir mal nur
eine ganz simple Veranschaulichung. Wenn du einen
Stab mit einer vorgegebenen Länge c schräg an eine
Zimmerwand lehnst, könnte man auf verschiedene Arten
angeben, wie schräg der Stab nun steht. Eine
Möglichkeit wäre, den Neigungswinkel [mm] \alpha [/mm] des Stabes
(zwischen dem Stab und dem Boden) zu messen.
Wenn der Stab die Endpunkte A (am Boden) und B
(an der Wand anliegend) hat, so kannst du auch das
rechtwinklige Dreieck ABC betrachten, das sich zwischen
Stab, Wand und Boden ergibt. Die Ecke C mit dem
rechten Winkel ist dabei auf der Kante zwischen Boden
und Wand, genau senkrecht unterhalb von B.
Hat man kein Winkelmessgerät, aber einen Maßstab zur
Hand, so könnte man anstatt den Winkel [mm] \alpha [/mm] zum
Beispiel die Länge a der Strecke BC und die Länge c des
Stabes messen.
Du weisst, wie man aus diesen beiden Streckenlängen
auch die Länge von b berechnen könnte, oder z.B.
könnte man b und c messen und daraus a berechnen,
oder aber a und b messen und c berechnen.
Nun ist es also so, dass schon zwei gemessene Seitenlängen
des (bei C rechtwinkligen !) Dreiecks ABC vollkommen
ausreichen, um die Größe und Form des Dreiecks ABC
komplett festzulegen, und damit natürlich auch den
Winkel [mm] \alpha [/mm] (und auch den Winkel [mm] \beta [/mm] bei B).
Es kommt nun noch eine weitere Betrachtung ins Spiel:
Wenn wir uns nur für die Winkel interessieren, spielt
es eigentlich keine wichtige Rolle, ob das Dreieck groß
oder klein ist. Es kommt nur darauf an, ob die Form
stimmt. Um den Winkel zu messen, könnte man z.B.
den an der Wand lehnenden Stab so von der Seite
fotografieren, dass man auf dem Bild ein verkleinertes
Abbild des Dreiecks sieht. Es ist zwar kleiner als das
ursprüngliche Dreieck ABC, aber es hat dieselbe Form
und damit dieselben Winkel. Seine Seitenlängen sind
aber alle verkürzt. Jetzt kommt der springende Punkt:
sie sind zwar alle verkürzt, aber alle mit dem gleichen
Faktor. Ist beispielsweise im großen Dreieck
c=13 dm, a=12 dm und b=5 dm , hat möglicherweise
das Dreieck auf dem Foto die Seitenlängen c'=65 mm,
a'=60 mm und b'=25 mm (alle exakt ein Zwanzigstel
der Originalmaße).
Wichtig ist nun, dass dieser Proportionalitätsfaktor
einfach aus der Rechnung herausfällt, wenn wir die
Quotienten der Seitenlängen betrachten. Zum
Beispiel ist
[mm] $\frac{a'}{c'}\ [/mm] =\ [mm] \frac{60\ mm}{65\ mm}\ [/mm] =\ [mm] \frac{60}{65}\ [/mm] =\ [mm] \frac{12}{13}\ [/mm] =\ [mm] \frac{12\ dm}{13\ dm}\ [/mm] =\ [mm] \frac{a}{c}$ [/mm]
Dieser Quotient (bzw. dieses Verhältnis) ist also gar
nicht von der konkreten Größe des Dreiecks abhängig,
sondern nur von seiner Form und damit vom Winkel [mm] \alpha.
[/mm]
Alle möglichen rechtwinkligen Dreiecke ABC mit dem
gleichen Winkel [mm] \alpha [/mm] haben also das gleiche Verhältnis
[mm] \frac{a}{c} [/mm] von Kathete zu Hypotenuse, wobei jetzt wichtig
ist, dass wir diejenige Kathete meinen, die im Dreieck dem
Winkel [mm] \alpha [/mm] gegenüber liegt. Das Zahlenverhältnis ergibt
ausgerechnet einfach eine Zahl (ohne Längen- oder andere
Einheit !).
Die sich so ergebende Zahl ist also fest mit dem vorgege-
benen Winkel [mm] \alpha [/mm] verknüpft; man nennt nun dieses
spezielle Verhältnis den Sinuswert des Winkels [mm] \alpha [/mm] .
Der Name "Sinus" dafür hat sich in der Geschichte der
Mathematik so ergeben. Für die Anwendung ist dies nicht
so wichtig zu wissen.
Wenn du dir das Dreieck mit
c'=65 mm, a'=60 mm, b'=25 mm
aufzeichnest, kannst du den Winkel [mm] \alpha [/mm] messen und
erhältst ungefähr 67.4° (falls du überhaupt so genau
messen kannst ...).
Es gilt also sin(67.4°) [mm] \approx \frac{12}{13} \approx [/mm] 0.923
Da der rechnerische Zusammenhang zwischen dem
Winkel (z.B. in Grad gemessen) und dem Sinuswert
nicht einfach ist, benützt man dafür seit alter Zeit
Tabellen und seit einigen Jahrzehnten die dafür in
Rechnern vorgesehenen Funktionstasten, hinter denen
ausgeklügelte Algorithmen stecken, welche uns das
Nachschlagen in Tabellen ersparen.
Analog wie Sinus (aber mit anderen Seitenverhält-
nissen im Dreieck ABC) werden auch die Funktionen
Cosinus und Tangens (ferner Cotangens, Secans und
Cosecans) definiert.
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Di 29.03.2011 | | Autor: | luna19 |
Danke für die ausführliche Antwort :)
Ich werde nochmals bei meinem Lehrer nachfragen
(ich habe es aber schon einigermaßen verstanden)
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