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Korrelierte ZG: Normalverteilung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:30 Mi 10.04.2013
Autor: Reduktion

Aufgabe
[mm] Y_1,..,Y_n [/mm] ist eine Folge st.u. p-dimensionaler [mm] \mathcal{N}_p(0,\Sigma_i)-verteilter [/mm] ZG, mit i=1,..,n und p<n. Die Kovarianzmatrizen sollen Elemente einer endlichen Menge M von Kovarianzmatrizen sein, mit Kardinalität |M|=p.


Hallo zusamen,

wären die ZG aus dem Aufgabenteil [mm] \mathcal{N}_p(0,\sigma^2I_p), [/mm] dann wäre die Summe [mm] \frac{(Y_{11}^2+..+Y_{1p}^2)}{\sigma^2}+..+\frac{(Y_{n1}^2+..+Y_{np}^2)}{\sigma^2} \sim \chi^2_{np}-verteilt. [/mm]

Lässt sich für die Summe [mm] (Y_{11}^2+..+Y_{1p}^2)+..+(Y_{n1}^2+..+Y_{np}^2) [/mm] bei festen p für für große n eine Verteilung angeben? Also das bei einer hohen Anzahl n die Korrelationen innerhalb der [mm] (Y_{i1}^2,..,Y_{ip}^2) [/mm] nicht weiter von Bedeutung sind?

        
Bezug
Korrelierte ZG: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:01 Mi 10.04.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,

 > [mm]Y_1,..,Y_n[/mm] ist eine Folge st.u. p-dimensionaler

> [mm]\mathcal{N}_p(0,\Sigma_i)-verteilter[/mm] ZG, mit i=1,..,n und
> p<n. Die Kovarianzmatrizen sollen Elemente einer endlichen
> Menge M von Kovarianzmatrizen sein, mit Kardinalität
> |M|=p.



> wären die ZG aus dem Aufgabenteil
> [mm]\mathcal{N}_p(0,\sigma^2I_p),[/mm] dann wäre die Summe
> [mm]\frac{(Y_{11}^2+..+Y_{1p}^2)}{\sigma^2}+..+\frac{(Y_{n1}^2+..+Y_{np}^2)}{\sigma^2} \sim \chi^2_{np}-verteilt.[/mm]

>

> Lässt sich für die Summe
> [mm](Y_{11}^2+..+Y_{1p}^2)+..+(Y_{n1}^2+..+Y_{np}^2)[/mm] bei festen
> p für für große n eine Verteilung angeben? Also das bei
> einer hohen Anzahl n die Korrelationen innerhalb der
> [mm](Y_{i1}^2,..,Y_{ip}^2)[/mm] nicht weiter von Bedeutung sind?


Ich glaube nicht, dass es eine Chi-Quadrat-Verteilung wird. Aber du kannst doch auf dem folgenden Weg eine Chi-Quadrat-Verteilung erreichen:

Die [mm] $\Sigma_i$ [/mm] sind positiv definit, und somit kann man [mm] $\Sigma_i^{1/2}$ [/mm] berechnen. Es gilt dann

[mm] $X_i [/mm] := [mm] \Sigma_i^{-1/2}Y_i \sim [/mm] N(0, [mm] I_p)$. [/mm]

und somit

[mm] $(X_{11}^2 [/mm] + ... + [mm] X_{1p}^2) [/mm] + ... + [mm] (X_{n1}^2 [/mm] + ... + [mm] X_{np}^2)\sim \chi^{2}_{np}$. [/mm]

Sollte das nicht genügen :-), kannst du dir ja mal die []Wishart Verteilung anschauen.


Viele Grüße,
Stefan

Bezug
                
Bezug
Korrelierte ZG: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:24 Do 11.04.2013
Autor: Reduktion

Aufgabe
Sei [mm] \(W_r\) [/mm] ein beliebiger, linearer, r-dimensionaler Unterraum von [mm] \(\mathbb{R}^n\) [/mm] und [mm] Y=\zeta+\epsilon [/mm] ein p-Stichprobenmodell mit [mm] \(\zeta\in W_r\). [/mm]
Sei [mm] \(\lbrace\upsilon_1,\ldots,\upsilon_n\rbrace\) [/mm] eine orthonormale Basis des [mm] \(\mathbb{R}^n\), [/mm] so dass [mm] \(\upsilon_1,\ldots,\upsilon_r\) [/mm] den linearen Unterraum [mm] \(W_r\) [/mm] aufspannen und [mm] \(A:=(\upsilon_1,\ldots,\upsilon_n)\). [/mm] Definiere
[mm] Z_i:=\left\langle Y,\upsilon_i\right\rangle [/mm] und [mm] \eta_i:=\left\langle \zeta, \upsilon_i\right\rangle, [/mm] dann heißt [mm] Z=AY=A\zeta+A\epsilon=\eta+\epsilon^\ast [/mm] die kanonische Form des allgemeinen linearen Modells. Dabei ist [mm] Z\sim\mathcal{N}_n(\eta,\sigma^2I_n) [/mm]


Hi Stefan,

das hilft mir beides noch nicht weiter. Denn es ist folgendes Problem, dabei beziehe ich mich auf das im Aufgabenteil genannte Modell:

Gegeben sei ein Testproblem $ [mm] H_0: \zeta\in W_q [/mm] $ gegen [mm] H_1: \zeta\in W_r\setminus W_q, [/mm] dann ergibt sich aus dem Likelihood-Quotienten Test, die Testgöße [mm] T_n(Y)=\frac{n-r}{r-q}\frac{\|Y-\widehat{\zeta}_0(Y)\|^2-\|Y-\widehat{\zeta}(Y)\|^2}{\|Y-\widehat{\zeta}(Y)\|^2}=\frac{n-r}{r-q}\frac{\sum_{i=q+1}^rZ_i^2}{\sum_{i=r+1}^nZ_i^2}. [/mm]

Jetzt kann in der letzten Gleichheit den Bruch nicht einfach mit [mm] \sigma^2/\sigma^2 [/mm] erweitern um die Verteilung von Zähler und Nenner zu bestimmen, falls die [mm] Z_i [/mm] bzw. [mm] Y_i [/mm] korreliert sind.

Weiter könnte man Zähler und Nenner als quadratische Form auffassen, was dazu führt das man den Zähler und Nenner als gewichtete Summe [mm] \chi^2_1 [/mm] -verteilter ZG auffassen kann.

Was ich aber aus den Darstellungen nicht gewinne ist die Verteilung vom Zähler und Nenner oder wenigstens deren Grenzverteilung für große n, falls die ZG korrelieren.

Bezug
                        
Bezug
Korrelierte ZG: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Sa 13.04.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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