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Forum "Uni-Stochastik" - Korrelation
Korrelation < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Korrelation: Bitte Lösung prüfen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:50 So 21.02.2010
Autor: Cybrina

Aufgabe
Es seien X und Y unabhängige reelle Zufallsvariable ..., die identisch verteilt sind entsprechend der Gleichverteilung auf dem Interval (0,1), d.h. [mm] X,Y\sim [/mm] U(0,1).
Berechnen Sie die Korrelation von X und X+Y.

Bitte mal drüberschauen, ob das so richtig ist, und ob man das evtl. einfacher hätte machen können. Kommt mir so umständlich vor...

[mm] \rho(X,X+Y)=\bruch{cov(X,X+Y)}{\sqrt{var(X)*var(X+Y)}} [/mm]
[mm] =\bruch{E(X(X+Y))-E(X)*E(X+Y)}{...} [/mm]
[mm] =\bruch{EX^2+E(XY)-E(X)*E(X+Y)}{...} [/mm]
[mm] =\bruch{2EX^2-0,5*1}{\sqrt{(EX^2-(EX)^2)(E(X+Y)^2-(E(X+Y))^2)}} [/mm]
[mm] =\bruch{2EX^2-0,5}{\sqrt{(EX^2-0,25)(EX^2+2E(XY)+EY^2-1)}} [/mm]
[mm] =\bruch{2EX^2-0,5}{\sqrt{(EX^2-0,25)(4EX^2-1)}} [/mm]
[mm] =\bruch{2EX^2-0,5}{\sqrt{4(EX^2)^2-2EX^2+0,25}} [/mm]
[mm] =\bruch{2EX^2-0,5}{\sqrt{(2EX^2-0,5)^2}} [/mm]
=1

        
Bezug
Korrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:33 So 21.02.2010
Autor: luis52


>  Bitte mal drüberschauen, ob das so richtig ist

[notok]

> , und ob
> man das evtl. einfacher hätte machen können. Kommt mir so
> umständlich vor...

>

Stimmt. Berechne Zaehler und Nenner separat. Nutze aus [mm] $\text{Cov}[X,X+Y]=\text{Cov}[X,X]+\text{Cov}[X,Y]$ [/mm] und [mm] $\text{Var}[X+Y]= \text{Var}[X]+\text{Var}[Y]$. [/mm] (Warum gilt das?)

vg Luis
  


Bezug
                
Bezug
Korrelation: Rückfrage und Korrektur
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:30 So 21.02.2010
Autor: Cybrina

Okay, neuer Versuch:

[mm] \rho(X,X+Y)=\bruch{cov(X,X+Y)}{\sqrt{var(X)*var(X+Y)}} [/mm]
[mm] =\bruch{cov(X,X)+cov(X,Y)}{\sqrt{var(X)*(var(X)+var(Y)+2cov(X,Y)}} [/mm]
[mm] =\bruch{var(X)}{\sqrt{(var(X))^2+(var(X))^2}} [/mm]     (cov(X,Y)=0 da X und Y unabhängig)
[mm] =\bruch{1}{\sqrt{2}} [/mm]

Stimmt das jetzt? Außerdem würde ich auch gern noch wissen, was bei meinem 1. Versuch falsch gelaufen ist (außer dass es umständlich war)?!

Bezug
                        
Bezug
Korrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:22 So 21.02.2010
Autor: steppenhahn

Hallo Cybrina,

> Okay, neuer Versuch:
>  
> [mm]\rho(X,X+Y)=\bruch{cov(X,X+Y)}{\sqrt{var(X)*var(X+Y)}}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{cov(X,X)+cov(X,Y)}{\sqrt{var(X)*(var(X)+var(Y)+2cov(X,Y)}}[/mm]
>  [mm]=\bruch{var(X)}{\sqrt{(var(X))^2+(var(X))^2}}[/mm]    
> (cov(X,Y)=0 da X und Y unabhängig)
>  [mm]=\bruch{1}{\sqrt{2}}[/mm]
>  
> Stimmt das jetzt? Außerdem würde ich auch gern noch
> wissen, was bei meinem 1. Versuch falsch gelaufen ist
> (außer dass es umständlich war)?!

Ja, das stimmt jetzt.

Grüße,
Stefan

Bezug
        
Bezug
Korrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 So 21.02.2010
Autor: luis52

>
> [mm]\rho(X,X+Y)=\bruch{cov(X,X+Y)}{\sqrt{var(X)*var(X+Y)}}[/mm]
>  [mm]=\bruch{E(X(X+Y))-E(X)*E(X+Y)}{...}[/mm]
>  [mm]=\bruch{EX^2+E(XY)-E(X)*E(X+Y)}{...}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{2EX^2-0,5*1}{\sqrt{(EX^2-(EX)^2)(E(X+Y)^2-(E(X+Y))^2)}}[/mm]

[notok]   [mm] $\text{E}[X^2]\ne\text{E}[XY]$ [/mm]

vg Luis


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