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| Aufgabe | Die lineare Funktion f : [mm] R3\toR3 [/mm] sei durch die Darstellungsmatrix
[ f [mm] ]_{E} =\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1}
[/mm]
(bezüglich der Standardbasis E = (e1, e2, e3)) gegeben.
Bestimme die Darstellungsmatrix [ f [mm] ]_{B} [/mm] von f bezüglich der Basis
B [mm] ={\vektor{1 \\ -1 \\ -1}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1}} [/mm] |
Hallo,
ich brauche dringend eure Hilfe, denn ich weiß nicht, wie ich vorgehen muss. Habe gerade eine totalen Blackout....
Danke für eure Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:59 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die lineare Funktion f : [mm]R3\toR3[/mm]
Du meinst $f [mm] \colon \IR^3 \to \IR^3\,.$ [/mm] Schreibe das so: \IR^3 \to \IR^3.
> sei durch die
> Darstellungsmatrix
> [ f [mm]]_{E} =\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1}[/mm]
>
> (bezüglich der Standardbasis E = (e1, e2, e3)) gegeben.
> Bestimme die Darstellungsmatrix [ f [mm]]_{B}[/mm] von f bezüglich
> der Basis
> B [mm]=\{\vektor{1 \\ -1 \\ -1}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1}\}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich brauche dringend eure Hilfe, denn ich weiß nicht, wie
> ich vorgehen muss. Habe gerade eine totalen Blackout....
Schreiben wir [mm] $B=\{b_1,b_2,b_3\}$ [/mm] mit
[mm] $b_1:=\vektor{1 \\ -1 \\ -1},\; b_2:=\vektor{1 \\ 0 \\ 1},\;b_3:=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}\,.$
[/mm]
Wir wissen:
[mm] $f(e_1)=\vektor{2\\1\\1},\;f(e_2)=\vektor{1\\3\\1},\;f(e_3)=\vektor{0\\-1\\1}\,.$
[/mm]
Mir ist bei der Aufgabenstellung noch nicht so klar, ob Du bei $f [mm] \colon \red{\IR^3} \to \blue{\IR^3}$ [/mm] sowohl
beim roten [mm] $\IR^3$ [/mm] (Definitionsbereich) als auch beim blauen [mm] $\IR^3$ [/mm] (Zielbereich) die
Basis ändern sollst, oder aber nur beim blauen [mm] $\IR^3\,.$ [/mm] Vermutlich sollst
Du das bei beiden; das kannst Du aber einfach in Deinen Unterlagen
nachgucken. Machen wir's nun so:
a) Nehmen wir zunächst an, dass wir das NUR beim blauen [mm] $\IR^3$ [/mm] tun. Dann
musst Du nur für jedes $j=1,2,3$ das GLS
[mm] $f(e_j)=\sum_{k=1}^3 r_k^{(j)}b_k$
[/mm]
in den Variablen [mm] $r^{(j)}_k$ [/mm] lösen. Wie wird dann schlussendlich die gesuchte
Matrix aussehen?
Etwas allgemeiner: Das kann man auch anders sehen. Einen Vektor [mm] $[v]_E \in \IR^3\,,$ [/mm]
also in Koordinaten bzgl. der Standardbasis, wollen wir als [mm] $[v]_B\,,$ [/mm] also bzgl.
der neuen Basis [mm] $B\,$ [/mm] beschreiben. Es soll also [mm] $[(1,-1,-1)^T]_E=[(1,0,0)^T]_B$ [/mm] gelten;
analoges für die jeweils anderen beiden Vektoren. Betrachtest Du nun die
Identitätsabbildung [mm] $\IR^3 \to \IR^3\,,$ [/mm] wobei linkerhand der [mm] $\IR^3$ [/mm] mit
[mm] $E\,$ [/mm] ausgestattet sei, aber rechterhand der [mm] $\IR^3$ [/mm] mit [mm] $B\,,$ [/mm] so bedeutet
das, dass
[mm] $\text{id}_{E \to B}(x):=\tilde{B}^{-1}*x$
[/mm]
genau das Gewünschte leistet - dabei ist [mm] $\tilde{B}\,$ [/mm] die Matrix, die aus den Vektoren
[mm] $b_1,b_2,b_3$ [/mm] gebildet wird (in dieser Reihenfolge) und [mm] $\tilde{B}^{-1}$ [/mm] die zugehörige inverse
Matrix. (Warum ist deren Existenz klar?)
Fazit:
Damit beschreibt [mm] $h_{E \to B}(x):=\tilde{B}^{-1}*\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1}*x$ [/mm] die obige lineare Abbildung, wobei, wie gesagt,
der Definitionsbereich mit Basis [mm] $E\,$ [/mm] und der Zielbereich mit Basis [mm] $B\,$ [/mm]
ausgestattet ist. Hier ist also noch die Matrix [mm] $\tilde{B}^{-1}*\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1}$ [/mm] auszurechnen!
b) Setzt man die Überlegungen von dem Teil "Etwas allgemeiner" analog fort,
wenn also auch der Definitionsbereich (der rote [mm] $\IR^3$) [/mm] bei Deiner Aufgabe
einen Basiswechsel erfahren soll, so wird
[mm] $\ell_{B \to B}(x):=\tilde{B}^{-1}*\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1}*\tilde{B}*x$
[/mm]
die gesuchte Darstellung der obigen Funktion sein. Wie sähe, wenn die
Aufgabe sowas meint, dann die gesuchte Matrix aus?
P.S. Generell siehe auch
![[]](/images/popup.gif) hier-Wiki:Abbildungsmatrix (klick!)
und auch
hier-Wiki:Basiswechsel (klick!)
P.P.S. Testen wir mal die Lösung zu a):
Laut Brünner ist mit
[mm] $\tilde{B}=\pmat{1 & 1 & 1\\-1 & 0 & 1\\-1 & 1 &1}$
[/mm]
dann
[mm] $\tilde{B}^{-1}=\pmat{1/2 & 0 & -1/2 \\ 0 & -1 & 1\\1/2 & 1 & -1/2}\,.$
[/mm]
Hier berechnen wir schnell
[mm] $\pmat{1/2 & 0 & -1/2 \\ 0 & -1 & 1\\1/2 & 1 & -1/2}*\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1}=\pmat{1/2 & 0 & -1/2\\0 & -2 & 2\\3/2 & 3 & -3/2}\,.$
[/mm]
Ein kleiner Test: Wenn diese Darstellung stimmt, dann sollte [mm] $\pmat{1/2 & 0 & -1/2\\0 & -2 & 2\\3/2 & 3 & -3/2}$
[/mm]
in der ersten Spalte die Koordinaten von [mm] $[(2,1,1)^T]_E$ [/mm] bzgl. [mm] $B\,$ [/mm] enthalten:
Wir können also testen, ob wirklich [mm] $\tfrac{1}{2}*b_1+0*b_2+\tfrac{3}{2}*b_3=(2,1,1)^T$ [/mm] rauskommt - hierbei
sind die [mm] $b_j=[b_j]_E\,,$ [/mm] also bzgl. der Standardbasis gemeint, genauso wie [mm] $(2,1,1)^T$ [/mm]
rechterhand.
Nun:
[mm] $\frac{1}{2}b_1+\frac{3}{2}b_3=\frac{1}{2}*\vektor{1\\-1\\-1}+\frac{3}{2}*\vektor{1\\1\\1}=\vektor{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}=\vektor{2\\1\\1}\,.$
[/mm]
Sieht gut aus - aber wie gesagt: [mm] $\tilde{B}^{-1}*\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1}=\pmat{1/2 & 0 & -1/2\\0 & -2 & 2\\3/2 & 3 & -3/2}$ [/mm] ist die passende Matrix,
wenn man nur die Basis im Zielbereich [mm] $\IR^3$ [/mm] von [mm] $E\,$ [/mm] zu [mm] $B\,$ [/mm] ändert, aber die
im Definitionsbereich bei [mm] $E\,$ [/mm] beläßt. Was Du andernfalls noch zu tun hast
(wenn also auch im Definitionsbereich die Basis [mm] $E\,$ [/mm] zu [mm] $B\,$ [/mm] geändert werden
soll, nämlich:
[mm] $\pmat{1/2 & 0 & -1/2\\0 & -2 & 2\\3/2 & 3 & -3/2}*\tilde{B}$
[/mm]
ausrechnen) - das steht oben!
Und zusätzlich: Prüfe bzw. rechne bitte die Ergebnisse nach, die ich mit
Onlinetools berechnet habe. Manchmal funktionieren diese Onlinetools nicht
allzu berauschend, daher lieber einfach durch Nachrechnen kontrollieren.
(Anstatt [mm] $\tilde{B}^{-1}$ [/mm] selbst auszurechnen, kannst Du einfach das obige Ergebnis
für [mm] $\tilde{B}^{-1}$ [/mm] hernehmen und prüfen, ob wirklich
[mm] $\pmat{1/2 & 0 & -1/2 \\ 0 & -1 & 1\\1/2 & 1 & -1/2}*\tilde{B}=\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1}$
[/mm]
rauskommt!)
Gruß,
Marcel
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Hallo,
danke für deine gute Erklärung.
Ich habe noch einmal im Skript nachgelesen und da steht folgende Formel für das Umrechnen in die Basis B:
[mm] M^B_B (f)=B^-1*M^E_E(f)*B
[/mm]
Also müssen doch, wenn ich es richtig verstehe beide [mm] \IR^3 [/mm] bezüglich der Basis B gerechnet werden.
Ich habe für die Inverse [mm] B^-1=\pmat{ 1/2 & 0 & -1/2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1/2 & 1 & -1/2 } [/mm] raus (wie du!)
Wenn ich das jetzt einsetze bekomme ich für [mm] B^-1*M^E_E (f)=\pmat{ 1/2 & 0 & -1/2 \\ 0 & -2 & 2 \\ 3/2 & 3 & -3/2 }
[/mm]
Und damit für [mm] \pmat{ 1/2 & 0 & -1/2 \\ 0 & -2 & 2 \\ 3/2 & 3 & -3/2 }*B=\pmat{ 1/2 & 0 & -1/2 \\ 0 & -2 & 2 \\ 3/2 & 3 & -3/2 }*\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 }=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }
[/mm]
Wo ist da jetzt mein Fehler? Oder kann ich Zeile 2 einfach durch 2 und Zeile 3 einfach durch 3 teilen, damit ich auf [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] komme????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> danke für deine gute Erklärung.
>
> Ich habe noch einmal im Skript nachgelesen und da steht
> folgende Formel für das Umrechnen in die Basis B:
>
> [mm]M^B_B (f)=B^-1*M^E_E(f)*B[/mm]
>
> Also müssen doch, wenn ich es richtig verstehe beide [mm]\IR^3[/mm]
> bezüglich der Basis B gerechnet werden.
ja, wenn die Notation [mm] $[f]_B$ [/mm] zu obigen gehört:
Gegeben war [mm] $M_{E}^E(f)\,,$ [/mm] und dann ist [mm] $M_{B}^B(f)$ [/mm] gesucht - letztere Matrix beschreibt
eine Matrix bzgl. [mm] $f\,,$ [/mm] bei der sowohl beim roten [mm] $\IR^3$ [/mm] (Definitionsbereich)
als auch beim blauen [mm] $\IR^3$ [/mm] (Zielbereich) die Basis von [mm] $E\,$ [/mm] zu [mm] $B\,$ [/mm] gewechselt
werden soll.
> Ich habe für die Inverse [mm]B^-1=\pmat{ 1/2 & 0 & -1/2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1/2 & 1 & -1/2 }[/mm]
> raus (wie du!)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (Tipp: Wenn Du $B^{-1}$ schreibst, bleibt die -1 auch im Exponenten
sichtbar: [mm] $B^{-1}$ [/mm] anstatt [mm] $B^-1\,.$)
[/mm]
> Wenn ich das jetzt einsetze bekomme ich für [mm]B^-1*M^E_E (f)=\pmat{ 1/2 & 0 & -1/2 \\ 0 & -2 & 2 \\ 3/2 & 3 & -3/2 }[/mm]
Das hatte ich ja auch:
> Und damit für [mm]\pmat{ 1/2 & 0 & -1/2 \\ 0 & -2 & 2 \\ 3/2 & 3 & -3/2 }*B=\pmat{ 1/2 & 0 & -1/2 \\ 0 & -2 & 2 \\ 3/2 & 3 & -3/2 }*\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 }=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
>
> Wo ist da jetzt mein Fehler?
Na, das ist dann doch die gesuchte Matrix [mm] $M_B^B(f)\,.$ [/mm] Ich habe doch nicht gesagt:
> Oder kann ich Zeile 2 einfach
> durch 2 und Zeile 3 einfach durch 3 teilen, damit ich auf
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] komme????
dass diese die Einheitsmatrix wäre (wäre doch auch verwunderlich). Ich
habe folgendes gesagt:
Wenn Du IRGENDEINE Matrix - nennen wir sie mal [mm] $T\,$ [/mm] - hast, und dann ein
Onlinetool benutzt, welches Dir [mm] $T^{-1}$ [/mm] ausspuckt:
Dann tu Dir selber den Gefallen, und rechne einmal nach, ob
[mm] $T^{-1}*T$
[/mm]
die (entsprechende) Einheitsmatrix ergibt. Bei so kleinen Matrizen wie hier
rechnest Du das einfach per Hand nach. Es wäre doch sehr schlecht
gewesen, wenn Brünners Tool bei der Berechnung der Inversen einen
Fehler gemacht hätte, und wir diesen Fehler hier weiter mittragen würden.
In den beiden Gleichungen, die bei meiner Antwort am Ende stehen, hast
Du vielleicht nicht aufgepasst, dass die Matrizen linkerhand nicht gleich
sind - einmal steht da [mm] $\tilde{B}^{-1}*[ f]_E\,,$ [/mm] das andere Mal steht da nur [mm] $\tilde{B}^{-1}\,.$
[/mm]
Zu Deinem Ergebnis:
[mm] $M_B^B(f)=\tilde{B}^{-1}*[ f]_E*\tilde{B}=\pmat{1/2 & 0 & -1/2\\0 & -2 & 2\\3/2 & 3 & -3/2}\cdot{}\pmat{1 & 1 & 1\\-1 & 0 & 1\\-1 & 1 &1}=\pmat{1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3}$
[/mm]
habe ich auch raus!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Mi 15.05.2013 | | Autor: | schlumpf75 |
Super, Danke!
Gruß,
schlumpf75
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