Koordinatentransformation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Fr 13.06.2014 | | Autor: | Magician |
<br>Hallo Zusammen,
ich habe ein grundsätzliches Verständnisproblem bei der Koordinatentransformation. Wenn ich z.B. einen Vektor in Zylinderkoordinaten habe also [mm]\mathbf{a}_{zyl.} = \left( \begin{array}{c}
r \\
\theta \\
z \end{array}\right)[/mm] dann ist doch nach der Transformation der [mm]x=r\cos(\theta)[/mm], [mm]y=r\sin(\theta)[/mm] und [mm]z=z[/mm] . Wenn ich allerdings eine Koordinatentransformation durchführe, so muss ich ja diesen Vektor [mm]\mathbf{a}_{zyl.}[/mm] mit der Transformationsmatrix [mm]\left(\begin{array}{ccc}\cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & z \end{array}\right)[/mm] multiplizieren also [mm]\left(\begin{array}{ccc}\cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & z \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} r \\ \theta \\ z \end{array}\right)[/mm] und bekomme dann für x z.B. [mm]x = r \cos(\theta) + r \sin(\theta)[/mm] was ja nicht das gleiche ist wie [mm]x=r\cos(\theta)[/mm]. Kann mir jemand erklären, wie dies nun alles miteinander zusammenhängt?
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe und hoffe es kann mir jemand weiterhelfen.
Schöne Grüße
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Du verwechselst hier irgendetwas mit linearen Abbildungen. Das sind diese Koordinatentransformationen im allgemeinen aber überhaupt nicht. Betrachte die Zuordnung
[mm](x,y,z) \mapsto (r,\vartheta,z)[/mm]
von kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten. Nehmen wir drei Beispiele:
[mm](1,0,0) \mapsto \left( 1,0,0 \right)[/mm]
([mm]0,1,0) \mapsto \left( 1,\frac{\pi}{2},0 \right)[/mm]
[mm](1,1,0) \mapsto \left( \sqrt{2}, \frac{\pi}{4}, 0 \right)[/mm]
Addiert man die ersten beiden Vektoren links, so erhält man den dritten. Bei den transformierten Vektoren ist das aber nun ganz und gar nicht so. Von Linearität also keine Spur.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Fr 13.06.2014 | | Autor: | Magician |
<br>Erstmal vielen Dank für deine Antwort, jedoch werde ich daraus leider nicht ganz schlau.
Das die 3 addierten Vektoren nicht mehr Linear sind, sehe ich. Aber wie kommst du eigentlich auf die 2. Transformation, d.h. von [mm](0, 1, 0) \mapsto (1,\frac{\pi}{2},0)[/mm] und folglich auch auf die 3.? Was hat das ganze denn eigentlich mit linearen Abbildungen zu tun? Wäre nett, wenn du deine Antwort etwas erläutern könntest.
Schöne Grüße
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Hallo,
> Erstmal vielen Dank für deine Antwort, jedoch werde
> ich daraus leider nicht ganz schlau.
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> Das die 3 addierten Vektoren nicht mehr Linear sind, sehe
> ich.
Diese Aussage ergibt keinerlei Sinn! Es geht um die Eigenschaften der Linearität, hier letztendlich um
f(a+b)=f(a)+f(b)
> Aber wie kommst du eigentlich auf die 2.
> Transformation, d.h. von [mm](0, 1, 0) \mapsto (1,\frac{\pi}{2},0)[/mm]
> und folglich auch auf die 3.?
r ist der Betrag des Vektors und [mm] \theta [/mm] bei dir der Winkel mit der x-Achse in der x-y-Ebene.
> Was hat das ganze denn
> eigentlich mit linearen Abbildungen zu tun?
Eben nichts. Und deshalb ist deine ganze Idee, die Umrechnung so wie oben per Multiplikation deiner Matrix (die falsch ist, da [mm] a_{12}=-r*sin(\theta), a_{22}=r*cos(\theta) [/mm] sowie [mm] a_{33}=1 [/mm] sein sollten) zum Scheitern verurteilt. Diese Matrix dient der Umrechnung von Differentialen, nicht von Koordinaten!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Mo 16.06.2014 | | Autor: | Magician |
<br>Vielen Dank für deine Antwort. Ich glaube so langsam wird es mir klarer. Ich verstehe allerdings noch nicht 100% den Zusammenhang der Einheitsvektoren mit den Koordinaten. Also wenn ich einen Punkt in zylinder Koordinaten habe, so rechne diesen folgendermaßen in kartesische Koordinaten um:
[mm]\begin{array}{l}
x = r \cos(\phi) \\
y = r \sin(\phi) \\
z = z
\end{array}
[/mm]
Wie hängt dies nun mit den Einheitzsvektoren zusammen, die ja heißen:
[mm]\begin{array}{l}
\mathbf{\hat{x}} = \cos(\phi) \mathbf{\hat{r}} - \sin(\phi) \mathbf{\hat{\phi}} \\
\mathbf{\hat{y}} = \sin(\phi) \mathbf{\hat{r}} + \cos(\phi) \mathbf{\hat{\phi}} \\
\mathbf{\hat{z}} = \mathbf{\hat{z}}
\end{array}
[/mm]
Wäre nett, wenn mir jemand dies noch etwas ewrklären könnte.
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> <br>Vielen Dank für deine Antwort. Ich glaube so langsam
> wird es mir klarer. Ich verstehe allerdings noch nicht 100%
> den Zusammenhang der Einheitsvektoren mit den Koordinaten.
> Also wenn ich einen Punkt in zylinder Koordinaten habe, so
> rechne diesen folgendermaßen in kartesische Koordinaten
> um:
> [mm]\begin{array}{l}
x = r \cos(\phi) \\
y = r \sin(\phi) \\
z = z
\end{array}
[/mm]
>
> Wie hängt dies nun mit den Einheitsvektoren zusammen, die
> ja heißen:
> [mm]\begin{array}{l}
\mathbf{\hat{x}} = \cos(\phi) \mathbf{\hat{r}} - \sin(\phi) \mathbf{\hat{\phi}} \\
\mathbf{\hat{y}} = \sin(\phi) \mathbf{\hat{r}} + \cos(\phi) \mathbf{\hat{\phi}} \\
\mathbf{\hat{z}} = \mathbf{\hat{z}}
\end{array}
[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
das verstehe ich gar nicht ...
> Wäre nett, wenn mir jemand dies noch etwas erklären
> könnte.
Hallo Magician,
eigentlich wurde schon alles Nötige von Leopold und
Diophant gesagt:
der Übergang von rechtwinkligen zu Zylinderkoordinaten ist
keine lineare Transformation, und aus diesem Grund ist es
ziemlich unnütz, dabei Abbildungsmatrizen einführen zu
wollen, die bekanntlich lineare Abbildungen beschreiben.
Ich will nur versuchen, dich mit etwas anderen Worten
auf den Irrtum hinzuweisen, der dich wohl zu der Frage
gebracht hat.
Sehr wahrscheinlich unterliegst du einer Verwechslung mit
einer anderen Transformation, bei der ebenfalls ein Winkel
auftritt: Drehung um die z-Achse um einen Drehwinkel [mm] \phi [/mm] .
Dies ist eine lineare Transformation mit einer linearen $\ [mm] 3\times [/mm] 3$ -
Matrix, welche zwischen zwei rechtwinkligen Koordinatensystemen
vermittelt.
Übrigens wäre diese Drehung ebenfalls eine (in eingeschränktem
Sinne) "lineare" Transformation, wenn man sie als Übergang
von einem ersten Zylinderkoordinatensystem zu einem zweiten
Zylinderkoordinatensystem (beide mit derselben Achse !)
betrachtet. Bei dieser Abbildung bleiben sowohl die z- als
auch die r-Koordinate erhalten, und die Transformation des
Winkels besteht darin, zum Winkel [mm] \varphi_1 [/mm] im ersten System den
Drehwinkel [mm] \delta [/mm] zu addieren, um den Winkel [mm] \varphi_2 [/mm] im zweiten
System zu erhalten:
[mm] $\varphi_2\ [/mm] =\ [mm] \varphi_1\ [/mm] + [mm] \delta\qquad [/mm] (mod\ [mm] 2\,\pi)$
[/mm]
$\ [mm] r_2\ [/mm] =\ [mm] r_1$
[/mm]
$\ [mm] z_2\ [/mm] =\ [mm] z_1$
[/mm]
Ich spreche aber nur von "teilweise linearer Abbildung", weil
diese Winkeladdition sich nicht in [mm] \IR [/mm] , sondern in [mm] \IR [/mm] mod (2 [mm] \pi)
[/mm]
abspielt.
Der Übergang von einem kartesischen System zu einem Zylinder-
koordinatensystem (oder umgekehrt) ist aber überhaupt nicht
linear !
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Di 17.06.2014 | | Autor: | Magician |
<br>Ok, das mit dem nicht-linear verstehe ich nun und das man die Transformation nicht über die Matrix machen kann auch.
Aber warum schüttelt jeder den Kopf bei den Einheitsvektoren. Die sind z.B. bei Wikipedia ganz klar nachzulesen oder auch wenn man bei google "einheitsvektoren zylinderkoordinaten" 1. Treffer auswählt, stehen da ganz klar die von mir genannten Einheitsvektoren (2. Folie). Auch in Lehrbüchern wie z.B. "Repetitorium der höheren Mathematik", 4. Auflage, S. 534, unter Basis der Einheitsvektoren. Da ist sogar klar und deutlich zu lesen, wie eine Umrechnung auf Zylinder bzw. Kugelkoordinaten durchzuführen ist, nämlich genau mit diesen Vektoren. Meine Frage ist nun, wie diese mit den Koordinaten selbst zusammenhängen.
Ist es richtig, dass ich die Koordinatentransformation für die Transformation eines Punktes annehme und die Einheitsvektoren für die Transformation von Vektoren?
Vielen Dank für eure Hilfe und schöne Grüße!
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> Ok, das mit dem nicht-linear verstehe ich nun und dass (mit Doppel-s)
> man die Transformation nicht über die Matrix machen kann
> auch.
>
> Aber warum schüttelt jeder den Kopf bei den
> Einheitsvektoren. Die sind z.B. bei Wikipedia ganz klar
> nachzulesen oder auch wenn man bei google "einheitsvektoren
> zylinderkoordinaten" 1. Treffer auswählt, stehen da ganz
> klar die von mir genannten Einheitsvektoren (2. Folie).
> Auch in Lehrbüchern wie z.B. "Repetitorium der höheren
> Mathematik", 4. Auflage, S. 534, unter Basis der
> Einheitsvektoren. Da ist sogar klar und deutlich zu lesen,
> wie eine Umrechnung auf Zylinder bzw. Kugelkoordinaten
> durchzuführen ist, nämlich genau mit diesen Vektoren.
> Meine Frage ist nun, wie diese mit den Koordinaten selbst
> zusammenhängen.
>
> Ist es richtig, dass ich die Koordinatentransformation für
> die Transformation eines Punktes annehme und die
> Einheitsvektoren für die Transformation von Vektoren?
>
>
> Vielen Dank für eure Hilfe und schöne Grüße!
Hallo Magician,
ich verstehe jetzt, was du mit den Einheitsvektoren meinst.
Dies sind Einheitsvektoren für ein jeweils lokales recht-
winkliges Koordinatensystem, in dem man das Zylinder-
koordinatensystem lokal linearisieren kann, etwa für die
Darstellung von Tangentialvektoren und Tangentialebenen.
Für die globale Koordinatentransformation spielen diese
aber eben nur eine lokale Rolle.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Di 17.06.2014 | | Autor: | Magician |
Vielen Dank, jetzt habe ich es lgaube ich verstanden.
So kann ich ich wie vermutet einen Vektor welcher an einem bestimmten Ort ansetzt genau mit dieser Transformation in das lokale Koordinatensystem der zylinder Koordinaten transformieren, richtig?
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> Vielen Dank, jetzt habe ich es gaube ich verstanden.
>
> So kann ich ich wie vermutet einen Vektor welcher an einem
> bestimmten Ort ansetzt genau mit dieser Transformation in
> das lokale Koordinatensystem der zylinder Koordinaten
> transformieren, richtig?
OK, so ungefähr kann man es beschreiben. Beachte aber,
dass dann dieses "lokale Koordinatensystem der Zylinder-
koordinaten" selber kein System in Zylinderkoordinaten,
sondern auch wieder eines in rechtwinkligen Koordinaten
wäre, dessen 3 Basisvektoren anzeigen, in welche Richtungen
sich der Punkt P bewegt, wenn man ihn
[mm] \bullet [/mm] radial von der Achse weg
[mm] \bullet [/mm] tangential in [mm] \phi [/mm] - Richtung
[mm] \bullet [/mm] in z-Richtung (parallel zur Achse)
bewegt.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:59 Sa 14.06.2014 | | Autor: | Eisfisch |
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> <br>Hallo Zusammen,
> ich habe ein grundsätzliches Verständnisproblem bei der
> Koordinatentransformation. Wenn ich z.B. einen Vektor in
> Zylinderkoordinaten habe also [mm]\mathbf{a}_{zyl.} = \left( \begin{array}{c}
r \\
\theta \\
z \end{array}\right)[/mm]
> dann ist doch nach der Transformation der
> [mm]x=r\cos(\theta)[/mm], [mm]y=r\sin(\theta)[/mm] und [mm]z=z[/mm] . Wenn ich
> allerdings eine Koordinatentransformation durchführe, so
> muss ich ja diesen Vektor [mm]\mathbf{a}_{zyl.}[/mm] mit der
> Transformationsmatrix [mm]\left(\begin{array}{ccc}\cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & z \end{array}\right)[/mm]
> multiplizieren also [mm]\left(\begin{array}{ccc}\cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & z \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} r \\ \theta \\ z \end{array}\right)[/mm]
> und bekomme dann für x z.B. [mm]x = r \cos(\theta) + r \sin(\theta)[/mm]
> was ja nicht das gleiche ist wie [mm]x=r\cos(\theta)[/mm]. Kann mir
> jemand erklären, wie dies nun alles miteinander
> zusammenhängt?
>
> Vielen Dank schonmal für eure Hilfe und hoffe es kann mir
> jemand weiterhelfen.
>
> Schöne Grüße
Frage:
woher hast du die
Transformationsmatrix [mm]\left(\begin{array}{ccc}\cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & z \end{array}\right)[/mm]
?
Wie wärs mal mit:
[mm]\left(\begin{array}{ccc}\cos(\theta) & 0 & 0 \\ \sin(\theta) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)[/mm]
?
LG (uF)
Eisfisch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Sa 14.06.2014 | | Autor: | Magician |
Hallo,
ich habe die Matrix aus den Einheitsvektoren in Zylinderkoordinaten. Die Einheitsvektoren sind ja [mm]\mathbf{e}_r = \cos(\phi) \mathbf{e}_x + \sin(\phi) \mathbf{e}_y[/mm], [mm]\mathbf{e}_\phi = -\sin(\phi) \mathbf{e}_x + \cos(\phi) \mathbf{e}_y[/mm] und [mm]\mathbf{e}_z = \mathbf{e}_z[/mm].
Also könnte man die Frage auch so stellen, wie hängen die Einheitsvektoren mit der Transformation zusammen?
Schöne Grüße
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