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Hallo,
ich habe folgendes Problem und bin mir nicht sicher ob es eine Lösung dafür gibt:
Gegeben sind die Koordinaten eines Punktes P in zwei unterschiedlichen kartesischen Koordinatensystemen K und K'.
Das Ziel der Berechnung ist es die vollständige euklidische Bewegungsgleichung
x' = D * x + a
aufzustellen.
D.h. die Vektoren x' und x sind gegeben und gesucht wird die Drehmatrix D , sowie der konstante Vektor a.
Ist es möglich diese Aufgabe zu lösen?
Viele Grüße!
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Hallo techniquez,
> Gegeben sind die Koordinaten eines Punktes P in zwei
> unterschiedlichen kartesischen Koordinatensystemen K und
> K'.
>
> Das Ziel der Berechnung ist es die vollständige
> euklidische Bewegungsgleichung
>
> x' = D * x + a
>
> aufzustellen.
>
> D.h. die Vektoren x' und x sind gegeben und gesucht wird
> die Drehmatrix D , sowie der konstante Vektor a.
>
> Ist es möglich diese Aufgabe zu lösen?
Wenn nur ein Punkt in beiden Koordinatensystemen vorliegt, ist die Aufgabe nicht lösbar.
Grüße
reverend
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Danke für die Antwort!
Falls nun zwei Punkte P1 und P2 in beiden Koordinatensystemen K und K' bekannt sind, wäre die Aufgabe dann lösbar?
Handelt es sich beim Lösungsverfahren dann um eine "iterative" Lösung, welche nur "numerisch" berechnet werden kann?
Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, wie diese Aufgabe - wenn möglich - sogar schriftlich ohne Hilfe eines Rechenprogramms lösbar ist?
Sehe ich es richtig, dass man im Prinzip nur die Winkel zwischen den Achsen der beiden Koordinatensysteme kennen muss, um die Rotationsmatrix aufzustellen, oder ist das ein Denkfehler?
Grüße!
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Guten Morgen,
Du wirst mehr brauchen. 
> Danke für die Antwort!
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> Falls nun zwei Punkte P1 und P2 in beiden
> Koordinatensystemen K und K' bekannt sind, wäre die
> Aufgabe dann lösbar?
Du suchst eine beliebige Rotation(smatrix) und eine folgende Translation. Soweit ich sehe, brauchst Du dazu vier Punkte und ihre Bilder.
> Handelt es sich beim Lösungsverfahren dann um eine
> "iterative" Lösung, welche nur "numerisch" berechnet
> werden kann?
Nein, das müsste auch exakt gehen.
> Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, wie diese Aufgabe -
> wenn möglich - sogar schriftlich ohne Hilfe eines
> Rechenprogramms lösbar ist?
Das lasse ich mal offen und die Frage darum auch (zum Teil). Da bin ich nicht mehr so fit...
> Sehe ich es richtig, dass man im Prinzip nur die Winkel
> zwischen den Achsen der beiden Koordinatensysteme kennen
> muss, um die Rotationsmatrix aufzustellen, oder ist das ein
> Denkfehler?
Ach, ich habe ganz vergessen zu fragen, ob wir uns eigentlich im [mm] \IR^3 [/mm] bewegen? Darauf zielten jedenfalls meine Antworten. Oder geht es nur um den [mm] \IR^2 [/mm] ?
Grüße
reverend
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Ja genau, es geht hier um den [mm] \IR^3.
[/mm]
Wieso ist die Rechnung nicht möglich, wenn man zwei Punkte und ihre Bilder hat?
Ich denke da im ersten Augenblick nur an das Zählen der Gleichungen und an das Zählen der unbekannten.
[mm] x_{1}' [/mm] = D * [mm] x_{1} [/mm] + a ...(1)
[mm] x_{2}' [/mm] = D * [mm] x_{2} [/mm] + a ...(2)
Wenn ich nun (1) und (2) gleichsetzte erhalte ich doch ein Gleichungssystem bestehend aus drei Gleichungen mit "implizit" drei unbekannten undzwar die Drehwinkel [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] , [mm] \gamma [/mm] . "Explizit" sind es allerdings so viele unbekannte, wie Matrixeinträge, also 9. Oder ist das Unsinn? Sind zumindest die Eintröge der Drehmatrix für den allgemeinen Fall bekannt?
Die Rechnung würde in etwa so aussehen:
[mm] x_{1}' [/mm] - D * [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}' [/mm] - D * [mm] x_{2}
[/mm]
D * [mm] x_{2} [/mm] - D * [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}' [/mm] - [mm] x_{1}'
[/mm]
Ist es im folgenden Rechenschritt möglich die Drehmatrix auszuklammern?
D * [mm] (x_{2} [/mm] - [mm] x_{1}) [/mm] = [mm] x_{2}' [/mm] - [mm] x_{1}'
[/mm]
So jetzt stehe ich endgültig auf dem Schlauch: kann ich die Inverse einer Vektordifferenz bilden um hier D auf der linken Seite zu separieren?
D = [mm] x_{2}' [/mm] - [mm] x_{1}' [/mm] * [mm] (x_{2} [/mm] - [mm] x_{1})^{-1}
[/mm]
Ok, ich bemerke es fehlt an Mathematik-Grundkenntnissen...
Danke für die Hilfe!
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Mo 17.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja genau, es geht hier um den [mm]\IR^3.[/mm]
>
> Wieso ist die Rechnung nicht möglich, wenn man zwei Punkte
> und ihre Bilder hat?
>
> Ich denke da im ersten Augenblick nur an das Zählen der
> Gleichungen und an das Zählen der unbekannten.
>
> [mm]x_{1}'[/mm] = D * [mm]x_{1}[/mm] + a ...(1)
> [mm]x_{2}'[/mm] = D * [mm]x_{2}[/mm] + a ...(2)
>
> Wenn ich nun (1) und (2) gleichsetzte erhalte ich doch ein
> Gleichungssystem bestehend aus drei Gleichungen mit
> "implizit" drei unbekannten undzwar die Drehwinkel [mm]\alpha[/mm] ,
> [mm]\beta[/mm] , [mm]\gamma[/mm] . "Explizit" sind es allerdings so viele
> unbekannte, wie Matrixeinträge, also 9. Oder ist das
> Unsinn? Sind zumindest die Eintröge der Drehmatrix für
> den allgemeinen Fall bekannt?
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix
>
> Die Rechnung würde in etwa so aussehen:
>
> [mm]x_{1}'[/mm] - D * [mm]x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}'[/mm] - D * [mm]x_{2}[/mm]
>
> D * [mm]x_{2}[/mm] - D * [mm]x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}'[/mm] - [mm]x_{1}'[/mm]
>
> Ist es im folgenden Rechenschritt möglich die Drehmatrix
> auszuklammern?
>
> D * [mm](x_{2}[/mm] - [mm]x_{1})[/mm] = [mm]x_{2}'[/mm] - [mm]x_{1}'[/mm]
>
> So jetzt stehe ich endgültig auf dem Schlauch: kann ich
> die Inverse einer Vektordifferenz bilden um hier D auf der
> linken Seite zu separieren?
>
> D = [mm]x_{2}'[/mm] - [mm]x_{1}'[/mm] * [mm](x_{2}[/mm] - [mm]x_{1})^{-1}[/mm]
Das ist kompltter Unsinn !
FRED
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> Ok, ich bemerke es fehlt an Mathematik-Grundkenntnissen...
>
> Danke für die Hilfe!
>
> Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 Mo 17.02.2014 | | Autor: | techniquez |
Ok, danke für die schnelle Antwort.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:14 Di 18.02.2014 | | Autor: | techniquez |
Ich habe es hinbekommen das Problem zu lösen. Danke nochmal für den Hinweis, dass vier Punkte und deren Bilder notwendig sind!!
Kurz zum Vorgehen:
Ich habe vier Gleichungsysteme aufgestellt:
[mm] x_{1}' [/mm] = D * [mm] x_{1} [/mm] + a
[mm] x_{2}' [/mm] = D * [mm] x_{2} [/mm] + a
[mm] x_{3}' [/mm] = D * [mm] x_{3} [/mm] + a
[mm] x_{4}' [/mm] = D * [mm] x_{4} [/mm] + a
Danach habe ich jeweils die i-te Zeile aus den vier Gleichungssystemen "herausgepickt" und daraus vier neue Gleichungssysteme aufgestellt. Diese waren dann jeweils lösbar.
Eigentlich war es nicht schwer, aber dieser kleine Kniff hat mich viel Zeit gekostet...
Woher wusstest du, dass vier Punkte und dessen Bilder notwendig sind?
Grüße!
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