Koordinatengleichung und Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1.)
Die Punkte A,B,C legen eine Ebene E fest. Bestimmen sie eine Koordinatengleichung dieser Ebene E.
A(0/2/-1) B(6/-5/0) C(1/0/1)
2.)
Untersuchen Sie, ob die Punkte A,B,C und D in einer gemeinsamen Ebene liegen.
A(0/1/-1) B(2/3/5) C(-1/3/-1) D(2/2/2) |
Ich komme einfach nicht auf die Lösung, obwohl ich schon länger grübel.
Bitte helft mir.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Mo 26.06.2006 | | Autor: | jerry |
hallo berti,
eine ebene kann durch verschiedene formen charakterisiert werden. eine davon ist die koordinatengleichung.
die einfachste form eine ebene darzustellen (bei gegebenen drei punkten) ist aber zunächst mal die parameterform.
dazu benötigt man einen ortsvektor (also einen punkt) und zwei vektoren mit denen die ebene aufgespannt wird. aber ich denke dass kriegst du hin.
also haben wir zunächst die paramterform:
[mm] \vec{x}= \vektor{0 \\ 2 \\ -1}+r\cdot \vektor{6 \\ -7 \\ 1}+s\cdot \vektor{1 \\ 2 \\ -2}
[/mm]
um nun eine koordinatenform zu erhalten, gibt es prinzipiell zwei wege:
der erste ist das kreuzprodukt und der zweite ist das Lineare Gleichungssystem stur lösen.
da wir in der schule das kreuzprodukt nicht benutzen durften, denke ich mal dass der zweite der richtige für dich ist.
du erstellst nun aus jeder zeile deiner parameterform eine gleichung:
[mm] x=0+r\cdot6+s\cdot1
[/mm]
[mm] y=2+r\cdot(-7)+s\cdot2
[/mm]
[mm] z=-1+r\cdot1+s\cdot(-2)
[/mm]
hier musst du nun so umformen, dass die variablen r und s verschwinden.
letztendlich hast du dann eine koordinatengleichung.
versuch dich einfach mal dran.
bei der zweiten aufgabe ist danach gefragt ob 4 punkte auf einer ebene liegen. die vorgehensweise hierfür ist erst einmal eine ebene mit drei der vier punkte aufzustellen. (wie bei aufgabe1) und dann den vierten punkt in die ebenengleichung einzusetzen.
wird die gleichung vom vierten punkt erfüllt so liegt er auf der ebene und somit alle 4 in einer ebene, wenn nicht, dann liegen die punkte nicht in einer ebene.
gruß benjamin
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