Koordinatengleichung e. Ebene < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 So 20.01.2008 | | Autor: | belimo |
| Aufgabe | | Stellen Sie die Koordinatengleichungen der Ebenen auf, die durch die z-Achse gehen und mit der Ebene [mm] 2x+y-\wurzel{5z}=0 [/mm] einen Winkel von 60 Grad bilden. |
Hallo Leute
Leider habe ich bei dieser Aufgabe keinen vollständigen Lösungsansatz. Was klar ist:
Wenn ich einen allgemeinen Normvektor für die gesuchte Ebene aufstellen kann (der beispielsweise einen Faktor t beinhaltet), dann kann ich diesen in die Formel für den Winkel zwischen Ebenen einsetzten, und sollte so auf die Lösung kommen. Leider tue ich mich beim aufstellen dieses allgemeinen Normvektors etwas schwer. Habt ihr mir einen Tipp?
Danke schonmal im Voraus!
Gruss belimo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 So 20.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
eine Normalenform einer Ebene, in der die z-Achse liegt muß einen Normalenvektor haben, dessen z-Koordinate Null ist:
$E: [mm] \vektor{a \\ b \\ 0} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] = 0$
Mache nun den Ansatz mit der Winkelformel, wie du vorgeschlagen hattest
und beachte daß cos 60° = 0.5 ist.
Ich nehme an, daß in der gegebenen "Ebene" das Wurzelzeichen nur über der 5 und nicht über z stehen soll.
Sonst wäre es nämlich keine Ebene.
Gruß
Will
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 So 20.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo belimo,
ein eindeutig Ergebnis kann es schon deswegen nicht geben, weil jedes Vielfache eines gültigen Normalenvektors wieder ein gültiger NV ist. Wenn du aufgelöst hast, setze also einfach zB einmal a = 1 und einmal a=0.
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:54 So 20.01.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hallo belimo,
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> ein eindeutig Ergebnis kann es schon deswegen nicht geben,
> weil jedes Vielfache eines gültigen Normalenvektors wieder
> ein gültiger NV ist. Wenn du aufgelöst hast, setze also
> einfach zB einmal a = 1 und einmal a=0.
>
> Gruß
> Will
die entsprechenden ebenen lassen sich allerdings angeben.
und mit a = 0 wäre ich vorsichtig, das liefert eine "falsche" lösung.
um der "mehrdeutigkeit" des normalenvektors zu entgehen, würde ich so vorgehen:
man wähle einen normaleneinheitsvektor. [mm] \vec{v}=\vektor{a\\b\\c}
[/mm]
aus bedingung (1) folgt [mm]c=0[/mm]
aus der bedingung (2) [mm] 2a+b=\frac{\sqrt{10}}{2}[/mm]
was mit der bedingung (3) [mm]a²+b²=1[/mm] letzlich ergibt
[mm] a=\frac{(2\pm 1)\sqrt{10}}{10} [/mm]
woraus man die richtungsvektoren der beiden ebenen zu
[mm] {v}_1=\vektor{3\\-1\\0} [/mm] und [mm] \vec{v}_2=\vektor{1\\3\\0} [/mm] bekommt
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In meiner ersten Version hatte ich für diesen Normalenvektor mal [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ x } [/mm] erhalten, weil ich kann mir solche Sachen irgendwie nie richtig vorstellen 