Koordinatengleichung Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 Di 17.05.2016 | | Autor: | Franhu |
| Aufgabe | Die Ebene E schneidet die xy-Ebene in der Geraden 2x + 3y = 6 und die
xz-Ebene in der Geraden 2z + x = 3. Geben Sie eine Koordinatengleichung von E an. |
Hallo Zusammen
Ich sehe hier nicht, mit welchem Lösungsansatz ich diese Aufgabe angehen muss?
Muss ich mit den Richtungsvektoren der Geraden etwas machen?
Danke und Grüsse
Franhu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Di 17.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Die Ebene E schneidet die xy-Ebene in der Geraden 2x + 3y =
> 6 und die
> xz-Ebene in der Geraden 2z + x = 3. Geben Sie eine
> Koordinatengleichung von E an.
> Hallo Zusammen
>
> Ich sehe hier nicht, mit welchem Lösungsansatz ich diese
> Aufgabe angehen muss?
>
> Muss ich mit den Richtungsvektoren der Geraden etwas
> machen?
Du kannst, musst aber nicht.
Dass E die xy-Ebene in der Geraden 2x + 3y = 6 schneidet liefert Dir schon mal 2 Achsenschnittpunkte:
(3,0,0) (mit y=0) und (0,2,0) (mit x=0).
E schneidet die xz-Ebene in der Geraden 2z + x = 3. Das liefert Dir den 3. Achsenschnittpunkt
[mm] z=\bruch{3}{2}.
[/mm]
Damit hast Du die 3 Achsenabschnitte a,b und c. Bemühe nun
https://matheraum.de/read?t=1075309
FRED
>
> Danke und Grüsse
> Franhu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Di 17.05.2016 | | Autor: | Franhu |
Hallo Fred
Danke für deine Antwort.
Dann sieht die Ebenengleichung wie folgt aus:
E: 3x + 2y + [mm] \bruch{3}{2}z [/mm] + D = 0
Nun noch einen Punkt einsetzen, welcher auf einer der Schnittgeraden liegt und D berechnen, richtig?
Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Di 17.05.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Fred
>
> Danke für deine Antwort.
> Dann sieht die Ebenengleichung wie folgt aus:
>
> E: 3x + 2y + [mm]\bruch{3}{2}z[/mm] + D = 0
>
> Nun noch einen Punkt einsetzen, welcher auf einer der
> Schnittgeraden liegt und D berechnen, richtig?
>
So ist es, oder du nimmst den Schnittpunkt der Geraden.
> Grüsse
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Di 17.05.2016 | | Autor: | Franhu |
Hallo Mario
x = 0, y = 2, z = 0 erfüllt die Gleichung 2x+3y=6.
Ich habe jetzt den Punkt [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 0} [/mm] genommen um D zu berechnen und für D = -4 bekommen.
Was ist der Vorteil, wenn ich den Schnittpunkt nehme? Wäre das einfach besser, wenn nicht gleich ein Punkt aus der Geradengleichung abgelesen werden kann?
Merci und Grüsse
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> Hallo Mario
>
> x = 0, y = 2, z = 0 erfüllt die Gleichung 2x+3y=6.
> Ich habe jetzt den Punkt [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 0}[/mm] genommen um D
> zu berechnen und für D = -4 bekommen.
> Was ist der Vorteil, wenn ich den Schnittpunkt nehme?
> Wäre das einfach besser, wenn nicht gleich ein Punkt aus
> der Geradengleichung abgelesen werden kann?
Hallo,
es ist völlig wurscht, welchen Punkt der Ebene Du einsetzt -
vorausgesetzt, Dein Ebenengleichungsrohling stimmt,
was bei Dir nicht der Fall ist.
Beachte unbedingt auch Al Chwarizmis Lösung.
LG Angela
>
> Merci und Grüsse
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> Hallo Fred
>
> Danke für deine Antwort.
> Dann sieht die Ebenengleichung wie folgt aus:
>
> E: 3x + 2y + [mm]\bruch{3}{2}z[/mm] + D = 0
Hallo,
nein, das stimmt nicht.
Du hast doch die Punkte [mm] P_x(3|0|0), P_y(0|2|0), P_z(0|0|\bruch{3}{2}).
[/mm]
Damit bekommst Du die Achsenabschnittsform
[mm] \bruch{x}{3}+\bruch{y}{2}+\bruch{z}{\bruch{3}{2}}=1
[/mm]
<==>
[mm] \bruch{1}{3}x+\bruch{1}{2}y+\bruch{2}{3}z=1,
[/mm]
was eine Koordinatenform ist.
Und wenn Dir die Brüche nicht gefallen, multiplizierst Du alles noch mit 6:
2x+3y+4z=6.
Oder Du machst es so:
Koordinatenform
ax+by+cz=d
[mm] P_x [/mm] einsetzen:
a*3=d
[mm] P_y [/mm] einsetzen:
b*2=d
[mm] P_z [/mm] einsetzen:
[mm] c*\bruch{3}{2}=d
[/mm]
Jetzt kannst Du Dir z.B. a=10 wählen und bekommst
d=30, b=15, c=20 und somit
10x+15y+20c=30.
>
> Nun noch einen Punkt einsetzen, welcher auf einer der
> Schnittgeraden liegt und D berechnen, richtig?
Wäre die Ebenengleichung E: 3x + 2y + [mm]\bruch{3}{2}z[/mm] + D = 0 richtig,
könntest Du das so machen.
Ist sie aber nicht.
LG Angela
>
> Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Do 19.05.2016 | | Autor: | Franhu |
Danke Angela, jetzt ist es mir klar mit der Achsenabschnittsform und dem Berechnen von D. Gemäss der Aufgabenstellung hab ich die Koordinatenform eigentlich sobald ich die Achsenabschnittsform habe. Da muss ich gar nichts mehr einsetzen.
Merci
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> Die Ebene E schneidet die xy-Ebene in der Geraden 2x + 3y =
> 6 und die xz-Ebene in der Geraden 2z + x = 3.
> Geben Sie eine Koordinatengleichung von E an.
Hallo Franhu
eine Möglichkeit wäre, die zweite Geradengleichung (für
die Schnittgerade der gesuchten Ebene mit der Ebene y=0)
mit 2 zu erweitern, damit die Zahl auf der rechten Seite
mit jener in der ersten Gleichung übereinstimmt.
Damit haben wir die beiden Gleichungen:
1.) (mit z = 0) : 2x + 3y = 6
2.) (mit y = 0) : 2x + 4z = 6
Nun ist offensichtlich, dass die beiden Gleichungen unter
Berücksichtigung der jeweiligen Nebenbedingungen) zur
Ebenengleichung:
2x + 3y + 4z = 6
kombiniert werden können. Überzeuge dich selber davon,
dass die damit beschriebene Ebene die beiden gegebenen
Geraden enthalten muss und dass keine andere Ebene
diese Eigenschaft haben kann.
LG , Al-Chwarizmi
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