Koordinatengleichung < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ihr Lieben,
ich verstehe die folgende Aufgabe überhaupt nicht, d.h. ich weiß nciht, wie ich rechnen bzw. vorgehen soll. Es wäre also super lieb, wenn mir jemand einen detaillierten Lösungsweg (am besten mit Erklärungen) aufschreiben könnte. Ich wäre euch super dankbar, da ich hier schon ziemlich lange rumtüftel, aber ncihts brauchbares dabei herauskommt.
Hier die Aufgabe:
Die Punkte A,B und C legen eine Ebene E fest. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung dieser Ebene E.
A (0/2/-1)
B (6/-5/0)
C (1/0/1)
Ich habe nun als erstes die Punkte in die Form von ax1+bx2+cx3=d eingesetzt. Aber was soll ich dann tun? Wenn ich versuche das irgendwie aufzulösen bleibt immer eine Variabel übrig....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 Sa 01.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Gabi!
Bestimme zunächst eine Parametergleichung der Ebene und ermittle dann aus den beiden Richtungsvektoren einen Normalenvektor der Ebene.
Gruß
Loddar
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sorry, auch wenn sich das jetzt mega doof anhört, aber wie errechnet man den eine parameterform?
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Hallo,
> sorry, auch wenn sich das jetzt mega doof anhört, aber wie
> errechnet man den eine parameterform?
Habt ihr dieses Thema nicht behandelt??
Ein bisschen mehr Eigeninitiative täte dir ganz gut!
Nimm dir einen der 3 Punkte als Aufpunkt oder Stützvektor, sagen wir $A$ und bilde die beiden Differenzvektoren $B-A$ und $C-A$ als Richtungsvektoren.
Dann hat die Ebene die Form [mm] $E:\vec{x}=A+r\cdot{}(B-A)+s\cdot{}(C-A)$ [/mm] mit [mm] $r,s\in\IR$ [/mm] (und $A, B-A, C-A$ als Vektoren aufgefasst)
Gruß
schachuzipus
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ich verstehe noch nicht, wie man dann von der parameterform auf die koordinatengleichung kommen soll. Das ist mir ercht ein Rätsel.
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Hallo nochmal,
> ich verstehe noch nicht, wie man dann von der parameterform
> auf die koordinatengleichung kommen soll. Das ist mir ercht
> ein Rätsel.
Mann, Mann.
Mathebuch? Google?
Echt!
Schreibe hier mal die konkrete Parameterform der Ebene auf.
Und die allg. Form der Koordinatengl. einer Ebene.
Wie hängen da die Koeffizienten mit dem Normalenvektor zusammen?
Den benötigten Normalenvektor (der ja senkrecht auf der Ebene steht), bekommst du folglich über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Dann bestimme einen bel. Punkt in der Ebene (vergib einfach irgendwelche Parameter r,s)
Jetz bist du aber mal dran, was zu schreiben ...
Das ist echt sehr sehr mager.
Wenigstens zu den Begrifflichkeiten könntest du dich schlau machen.
Mathebuch, Internet ...
Gruß
schachuzipus
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als parameterform habe ich heraus (0/2/-1)+r*(6/-7/1)+s*(1/-2/2)
die allg. Form der Koordinatengleichung ist doch ax1+bx2+cx3=d , oder?
das problem warum ich das nicht verstehe ist, dass wir das in der schule immer anders gemacht haben, soweit ich mich erinnere. da haben wir dann einfach die gegebenen punkte a, b und c sofort in die allg. koordinatenform eingesetzt und dann irgenwie weitergemacht. die frage ist jetzt nur wie, da das in keinem meiner hier vor mir liegenden mathebücher zu sehen ist. es steht dort nur das ergebnis und ich weiß nicht, wie man darauf gekommen ist und ich würde mich echt freuen, wenn mir jemand einfach einmal einen beispielhaften lösungsweg aufschreiben könnte. es muss ja nicht mit den zahlen sein, die ich am anfang gebenen habe, es können ja auch andere sein. damit ihr nihct denkt, ich wollte mir von euch jetzt einfach nur meine hausaufgaben machen lassen. ich will es ja verstehen... aber dieses ganze fachjargon... damit komme ich nciht klar.
außerdem bin ich nicht faul (so wie es hier vlt vermutet wird) ich habe einfach nur das letzte halbe jahr in der schule gefehlt und muss jetzt echt richtig viel nachholen (nicht nur in mathe) und stehe daher unter einem enormen zeitdruck, weshalb ich mich vlt nicht mit allen aufgaben so genau beschäftigen kann.
bitte helft mir! es ist echt wichtig,
vielen lieben dank und viele grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Sa 01.05.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> als parameterform habe ich heraus
> (0/2/-1)+r*(6/-7/1)+s*(1/-2/2)
Das sieht gut aus. Du kannst jetzt anhand dieser Parameterform die Normalenform von E bestimmen, wenn du diese dann "ausmultiplizierst", bekommst du die Koordinatenform.
>
> die allg. Form der Koordinatengleichung ist doch
> ax1+bx2+cx3=d , oder?
Yep.
>
> das problem warum ich das nicht verstehe ist, dass wir das
> in der schule immer anders gemacht haben, soweit ich mich
> erinnere. da haben wir dann einfach die gegebenen punkte a,
> b und c sofort in die allg. koordinatenform eingesetzt und
> dann irgenwie weitergemacht. die frage ist jetzt nur wie,
Ich vermute mit dem  Gauß-Algorithmus, hier brauchst du aber noch einen Parameter, da du Drei Gleichungen aber 4 Variablen hast.
>
> außerdem bin ich nicht faul (so wie es hier vlt vermutet
> wird) ich habe einfach nur das letzte halbe jahr in der
> schule gefehlt und muss jetzt echt richtig viel nachholen
> (nicht nur in mathe) und stehe daher unter einem enormen
> zeitdruck, weshalb ich mich vlt nicht mit allen aufgaben so
> genau beschäftigen kann.
Darum geht es ja gar nicht. Es ging darum, dass du auf die angegebenen Wege bisher sehr wenig eingegangen bist.
>
> bitte helft mir! es ist echt wichtig,
>
> vielen lieben dank und viele grüße
Marius
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vielen dank erst einmal.
also ich habe das jetzt soweit ausmultipliziert (schreibe es hier aber jetzt aus zeitgründen mal nicht ihn, ich hoffe, das ist ok)
woher nehme ich denn jetzt den 4 parameter? und wie setze ich es ein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Sa 01.05.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast doch:
E:ax+by+cz=d
Und drei Punkte, nämlich:
[mm] \red{A(0/2/-1)}
[/mm]
[mm] \green{B(6/-5/0)}
[/mm]
[mm] \blue{C(1/0/1)}
[/mm]
Diese drei Punkte eingesetzt, ergibt folgedes GLS:
[mm] \vmat{\red{0}*a+\red{2}*b+\red{(-1)}*c=d\\\green{6}*a+\green{(-5)}*b+\green{0}*c=d\\\blue{1}*a+\blue{0}*b+\blue{1}*c=d}
[/mm]
[mm] \gdw\vmat{2b-c=d\\6-5b=d\\a+c=d}
[/mm]
Setze jetzt mal [mm] d=\lambda, [/mm] also ein Parameter.
[mm] \gdw\vmat{2b-c=\lambda\\6-5b=\lambda\\a+c=\lambda}
[/mm]
Dieses LGS löse jetzt mal per Gauss-Algorithmus (oder einem anderen Verfahren) nach a,b und c.
Diese sollten jetzt noch von [mm] \lambda [/mm] abhängig sein, so dass du am Ende noch einen beliebigen Wert für [mm] \lambda [/mm] setzen kannst, um die Ebene zu bestimmen.
Die Koordinatenform einer Ebene ist ja nicht eindeutig, wenn z.B. E:3x-6y+8z=2 eine Ebene Beschreibt, ist F:6x-12y+16z=4 dieselbe Ebene, denn 3*2=6, (-6)*2=-12, 8*2=16 und 2*2=4
Marius
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