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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Do 30.08.2007 | | Autor: | Karlchen |
| Aufgabe | Gegeben: A(3/-3/0), B(3/3/0), C(-3/3/0), S(0/0/4)
Bestimmen sie die Koordinatengleichung der Ebene, in der die Punkte A,B und S liegen, und eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Punkte B,C und S liehen. |
Hallo^^
also ich hab jez:
[mm] E_{1}: \vec{x}=\vektor{3 \\ -3\\ 0}+r\vektor{0\\ 6\\ 0}+s\vektor{-3 \\ 3\\ 4}
[/mm]
[mm] E_{2}: \vec{x}=\vektor{3 \\ 3\\ 0}+m\vektor{-6\\ 0\\ 0}+n\vektor{-3 \\ -3\\
4}
[/mm]
[mm] E_{1}:
[/mm]
[mm] x_{1}= [/mm] 3 -3s
[mm] x_{2}=-3+ [/mm] 6r+3s
[mm] x_{3}= [/mm] 4s
so mein problem ist jez, dass ich nicht weiß, wie ich das r eliminieren kann. Kann mir jemand hlefen?
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> Gegeben: A(3/-3/0), B(3/3/0), C(-3/3/0), S(0/0/4)
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> Bestimmen sie die Koordinatengleichung der Ebene, in der
> die Punkte A,B und S liegen, und eine Koordinatengleichung
> der Ebene, in der die Punkte B,C und S liehen.
> Hallo^^
>
> also ich hab jez:
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> [mm]E_{1}: \vec{x}=\vektor{3 \\ -3\\ 0}+r\vektor{0\\ 6\\ 0}+s\vektor{-3 \\ 3\\ 4}[/mm]
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> [mm]E_{2}: \vec{x}=\vektor{3 \\ 3\\ 0}+m\vektor{-6\\ 0\\ 0}+n\vektor{-3 \\ -3\\
4}[/mm]
>
> [mm]E_{1}:[/mm]
> [mm]x_{1}=[/mm] 3 -3s
> [mm]x_{2}=-3+[/mm] 6r+3s
> [mm]x_{3}=[/mm] 4s
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> so mein problem ist jez, dass ich nicht weiß, wie ich das r
> eliminieren kann. Kann mir jemand hlefen?
Hallo,
nehmen wir erstmal die dritte Gleichung.
Hieraus gewinnen wir [mm] s=\bruch{x_3}{4}.
[/mm]
Die setzen wir in die ersten beiden ein:
[mm] x_{1}=3 -\bruch{3}{4}x_3
[/mm]
[mm] x_{2}=-3+6r+\bruch{3}{4}x_3.
[/mm]
Nun gewinnen wir aus der zweiten Gleichung r,
[mm] r=\bruch{1}{6}(x_2+3-\bruch{3}{4}x_3),
[/mm]
und setzen es in die erste Gleichung ein.
Dieser Schritt ist sehr einfach: in der ersten Gleichung kommt ja gar kein r vor.
Also haben wir als Ebenengleichung: [mm] x_{1}+\bruch{3}{4}x_3= [/mm] 3 . [mm] (x_{1}+ 0*x_2 +\bruch{3}{4}x_3= [/mm] 3)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Do 30.08.2007 | | Autor: | Karlchen |
danke euch beiden^^
aber müsste es nich heißen [mm] x_{1}+\bruch{3}{4}x_{3}=3?
[/mm]
und mir ist noch nich ganz klar, weshalb [mm] x_{2} [/mm] mit 0 multipliziert wird. Liegt das einfach nur daran, weil in der ersten Gleichung kein r vorkommt?
Gruß Karlchen
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> aber müsste es nich heißen [mm]x_{1}+\bruch{3}{4}x_{3}=3?[/mm]
Ja! Natürlich hast Du recht.
>
> und mir ist noch nich ganz klar, weshalb [mm]x_{2}[/mm] mit 0
> multipliziert wird. Liegt das einfach nur daran, weil in
> der ersten Gleichung kein r vorkommt?
Die Ebenengleichung ist so korrekt, wie Du sie jetzt oben stehen hast.
[mm] x_3 [/mm] kommt da nicht vor, weil's in der verbliebenen Gleichung nix zum Einsetzen gab.
Das mit der Null habe ich noch aufgeschrieben, weil eine Koodinatengleichung der Ebene ja diese Form hat: [mm] ax_1+b_x_2+cx_3=d, [/mm] und ich wollte Dir demonstrieren, daß das ermittelte Ergebnis von dieser Form ist.
Daß [mm] x_2 [/mm] in Deiner Koordinatengleichung nicht vorkommt, bedeutet folgendes: es handelt sich um eine Ebene, welche senkrecht zur xy-Ebene steht.
Gruß v. Angela
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Es gibt eine Formel wie aus der Ebenengleichung wie du sie jetzt hast eine Gleichung der Form ax+by+cz=d entsteht. Versuche einen zu den Richtungsvektoren der Ebene senkrechten Vektor n zu finden oder versuche einfach oben genannte Gleichung mit den Werten für x,y und z auszurechnen. Dabei entstehen zwangsläufig Abhängigkeiten wenn s und r variabel sind
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Es gibt eine Formel wie aus der Ebenengleichung wie du sie jetzt hast eine Gleichung der Form ax+by+cz=d entsteht. Versuche einen zu den Richtungsvektoren der Ebene senkrechten Vektor n zu finden oder versuche einfach oben genannte Gleichung mit den Werten für x,y und z auszurechnen. Dabei entstehen zwangsläufig Abhängigkeiten wenn s und r variabel sind. Seh gerade da ist mir schon jemand zuvor gekommen. Naja, du hast ja jetzt die Lösung
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> Es gibt eine Formel wie aus der Ebenengleichung wie du sie
> jetzt hast eine Gleichung der Form ax+by+cz=d entsteht.
> Versuche einen zu den Richtungsvektoren der Ebene
> senkrechten Vektor n zu finden oder versuche einfach oben
> genannte Gleichung mit den Werten für x,y und z
> auszurechnen. Dabei entstehen zwangsläufig Abhängigkeiten
> wenn s und r variabel sind. Seh gerade da ist mir schon
> jemand zuvor gekommen. Naja, du hast ja jetzt die Lösung
Hallo,
auch wenn die Lösung inzwischen dasteht, ist Dein Tip unbedingt erwähnenswert, denn Du zeigst ja noch eine sehr einfache Möglichkeit auf, an die Koordinatengleichung zu kommen, vorausgestzt, man ist mit der Normalenform der Ebenengleichung vertraut:
Aus den beiden Richtungsvektoren kann man per Kreuzprodukt oder ggf. auch durch scharfes Hingucken (bei der hier gegebenen Aufgabe reicht das) einen Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] der Ebene bestimmen. Wenn [mm] \overrightarrow{0P} [/mm] der Ortsvektor des Stützpunktes der Ebene ist,
hat man mit [mm] \vec{n}\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}-\vec{n}*\overrightarrow{0P}=0 [/mm] die Normalenform, das Ausmultiplizieren der Skalarprodukte liefert die Koordinatengleichung.
Gruß v. Angela
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