Koordinatengl->Parameterdarst. < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Sa 11.12.2010 | | Autor: | KylexD |
Ich verstehe nicht so ganz,wie man eine Koordinatengleichung in eine Parameterdarstellung umwandelt. Alles was ich bisher im Internet gelesen habe, hab ich einfach nicht verstanden. Zum Beispiel die Gleichung 3x1+x2-x3=2
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Hallo KylexD,
> Ich verstehe nicht so ganz,wie man eine
> Koordinatengleichung in eine Parameterdarstellung
> umwandelt. Alles was ich bisher im Internet gelesen habe,
> hab ich einfach nicht verstanden. Zum Beispiel die
> Gleichung 3x1+x2-x3=2
Löse diese Gleichung nach [mm]x_{2}[/mm] oder [mm]x_{3}[/mm] auf.
Da hier eine Gleichung in 3 Variablen vorliegt sind 2 Variable frei wählbar.
Wähle hier für diese Variablen die Parameter s und t .
Im Fall, daß die Gleichung nach [mm]x_{2}[/mm] aufgelöst wird, steht dann da:
[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{0 \\ ... \\ 0}+s*\pmat{1 \\ .. \\ 0}+ t*\pmat{0 \\ ... \\ 1}, \ s,t \in \IR[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Sa 11.12.2010 | | Autor: | KylexD |
Also kann ich zum Beispiel für x1 und x2 frei wählen z.B x1=2 und für x2=0 und das setze ich dann in die Gleichung ein 3*2+0-x3=2 --> x3=4 also wäre der Stützvektor [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}. [/mm] Hab ich das richtig verstanden? Ich hab im Internet noch ein Beispiel gefunden
E: 2x1-x2-3x3= 6
dann wird du x1 = r und für x3 = s ein.
Also: x2 = -6 + 2r - 3s
x1 = 0 + r + 0
x2 = - 6 + 2r - 3s
x3 = 0 + 0+ s
Parametergleichung:
E: x = ( 0 / -6 / 0 )+ r (1 / 2 / 0 )+ s ( 0 / -3 / 1)
Dieses Beispiel verstehe ich nicht, stimmt das so überhaupt?
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Hallo KylexD,
> Also kann ich zum Beispiel für x1 und x2 frei wählen z.B
> x1=2 und für x2=0 und das setze ich dann in die Gleichung
> ein 3*2+0-x3=2 --> x3=4 also wäre der Stützvektor
> [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}.[/mm] Hab ich das
> richtig verstanden? Ich hab im Internet noch ein Beispiel
Ja.
> gefunden
>
> E: 2x1-x2-3x3= 6
>
> dann wird du x1 = r und für x3 = s ein.
> Also: x2 = -6 + 2r - 3s
>
> x1 = 0 + r + 0
> x2 = - 6 + 2r - 3s
> x3 = 0 + 0+ s
>
> Parametergleichung:
> E: x = ( 0 / -6 / 0 )+ r (1 / 2 / 0 )+ s ( 0 / -3 / 1)
>
> Dieses Beispiel verstehe ich nicht, stimmt das so
> überhaupt?
Das stimmt alles.
Hier ist nach [mm]x_{2}[/mm] aufgelöst worden: [mm]x_{2}=-6+2*x_{1}-3*x_{3}[/mm]
Dann ist für [mm]x:{1}=r[/mm] und für [mm]x_{3}=s[/mm] gesetzt worden.
Damit steht da:
[mm]x_{1}=0+1*r+0*s[/mm]
[mm]x_{2}=-6+2*r-3*s[/mm]
[mm]x_{3}=0+0*r+1*s[/mm]
Damit lautet die Parameterdarstelliung:
[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2] \\ x_3}}=\pmat{0 \\ -6 \\ 0}+r*\pmat{1 \\ 2 \\ 0}+s*\pmat{0 \\ -3 \\ 1}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Sa 11.12.2010 | | Autor: | KylexD |
Mir ist halt nicht klar, wie das zustande kommt aus der umgeformten Gleichung.
x1 = 0 + r + 0
x2 = - 6 + 2r - 3s
x3 = 0 + 0+ s
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Hallo KylexD,
> Mir ist halt nicht klar, wie das zustande kommt aus der
> umgeformten Gleichung.
> x1 = 0 + r + 0
> x2 = - 6 + 2r - 3s
> x3 = 0 + 0+ s
Nun, die Gleichung für [mm]x_{2}[/mm] kommt zustande,
in dem Du die Ebenengleichung
[mm]2*x_{1}-x_{2}-3*x_{3}=6[/mm]
nach [mm]x_{2}[/mm] auflöst und für [mm]x_{1}=r, \ x_{3}=s[/mm] setzt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Sa 11.12.2010 | | Autor: | KylexD |
Dann hat man ja diese Gleichung x2 = - 6 + 2r - 3s mit r und s für x1 und x3. Aber jetzt stehe ich auf dem Schlauch wie man auf x1 = 0 + r + 0 ich hab da immer was anderes raus^^
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Hallo KylexD,
> Dann hat man ja diese Gleichung x2 = - 6 + 2r - 3s mit r
> und s für x1 und x3. Aber jetzt stehe ich auf dem Schlauch
> wie man auf x1 = 0 + r + 0 ich hab da immer was anderes
> raus^^
Nun, das dient nur nur Veranschaulichung:
[mm]x_{1}=0+1*r+0+s \gdw x_{1}=r[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Sa 11.12.2010 | | Autor: | KylexD |
Ok nur müsste dann von der Gleichung her nicht 2r stehen oder ist das immer so mit 0+r+0,0+s+0 oder sowas?
Ich glaube ich habs verstanden. Das mit dem 0+r+0 und 0+0+s macht man immer also ist beim ersten Vektor x1 und x2 immer gleich 0. Und bei dem Beispiel 3x1+x2-3x=2 ist x1=0+r+0
x2=-2+3r-s , also 0/-2/0 + r 1/3/0 + s 0/-1/1
x3=0+0+s
Und wenn man die Gleichung überprüfen möchte, muss man ja eigentlich nur wieder das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bilden und gucken, ob n mit dem der Koordinatengleichung übereinstimmt oder?
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Hallo KylexD,
> Ok nur müsste dann von der Gleichung her nicht 2r stehen
> oder ist das immer so mit 0+r+0,0+s+0 oder sowas? Ich
Das macht man immer so.
> glaube ich habs verstanden. Das mit dem 0+r+0 und 0+0+s
> macht man immer also ist beim ersten Vektor x1 und x2 immer
> gleich 0. Und bei dem Beispiel 3x1+x2-3x=2 ist x1=0+r+0
> x2=-2+3r-s , also 0/-2/0 + r 1/3/0 + s 0/-1/1
Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]x_{2}=\blue{+}2+3*r-s[/mm]
> x3=0+0+s
>
> Und wenn man die Gleichung überprüfen möchte, muss man
> ja eigentlich nur wieder das Kreuzprodukt der
> Richtungsvektoren bilden und gucken, ob n mit dem der
> Koordinatengleichung übereinstimmt oder?
Üblicherweise setzt man dann die Parametergleichung
in die Koordinatengleichung ein.
Gruss
MathePower
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