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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 So 26.02.2012 | | Autor: | Paivren |
Hallo Leute,
beim Wiederholen von Abistoff auf eine kleine Ungereimtheit gestoßen:
die Koordinatenform der Ebenengleichung ist ja lediglich die umgeformte Normalenform:
E: [mm] \vec{n}*\vec{AX}=0
[/mm]
wobei A ein bekannter Punkt in der E ist.
Anders geschrieben:
[mm] \vec{n}*(\vec{OX}- \vec{OA})=0
[/mm]
[mm] \gdw \vec{n}* \vec{OX} [/mm] = [mm] \vec{n}*\vec{OA}
[/mm]
Links steht also das Skalarprodukt vom bekannten Normalenvektor und irgendeines Punktes in der Ebene, und rechts das Skalarprodukt vom Normalenvektor und eines bereits gegebenen Punktes in der Ebene.
Die Koordinatenform lautet dann:
[mm] n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3}=\vec{n}*\vec{OA}
[/mm]
Es ist nun klar, dass alle Punkte in der Ebene liegen, die diese Gleichung erfüllen.
Aber:
Was wäre, wenn ich anstatt A nun einen anderen Punkt benutzen würde, der in derselben Ebene liegt?
Dann würde die linke Seite der Gleichung ja trotzdem gleich bleiben, während sich das Skalarprodukt rechts ändert.
Dann hätte ich eine andere Gleichung, obwohl es sich noch um die selbe Ebene handelt.
Aber das kann doch nicht sein, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 So 26.02.2012 | | Autor: | murmel |
Wenn der (neu)gewählte Punkt ein Punkt der Ebene ist, dann muss er zwangsläufig
> E: [mm]\vec{n}*\vec{AX}=0[/mm]
> $ [mm] \vec{n}\cdot{}(\vec{OX}- \vec{OA})=0 [/mm] $
erfüllen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 So 26.02.2012 | | Autor: | Paivren |
> Wenn der (neu)gewählte Punkt ein Punkt der Ebene ist, dann
> muss er zwangsläufig
>
> > E: [mm]\vec{n}*\vec{AX}=0[/mm]
> > [mm]\vec{n}\cdot{}(\vec{OX}- \vec{OA})=0[/mm]
> erfüllen.
Ja, das tut er ja dann auch.
Wenn ich den Punkt A aus der Ebene nehme, dann lautet die Gleichung am Ende
[mm] n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3}=\vec{n}*\vec{OA}
[/mm]
Wenn ich jetzt statt A einen anderen Punkt B aus der Ebene habe,dann lautet die Gleichung
[mm] n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3}=\vec{n}*\vec{OB}
[/mm]
Das wären zwei verschiedene Gleichungen für ein und dieselbe Ebene.
Oder ist zwangsweise [mm] \vec{n}* \vec{OA} [/mm] = [mm] \vec{n}* \vec{OB}?
[/mm]
Leicht verwirrt...
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Hallo!
Erstmal gilt für die Parameterdarstellung auch das gleiche - der Stützvektor kann beliebig sein, hauptsache, er zeigt auf einen Punkt in der Ebene. Und die Richtungsvektoren können auch beliebig sein, sofern sie in der Ebene liegen.
Was nun dein [mm] \vec{n}*\vec{0A} [/mm] angeht: Zerlege den Vektor [mm] \vec{0A} [/mm] in eine Komponente senkrecht zu [mm] \vec{n} [/mm] und eine parallel dazu. Der parallele hat dann die Länge [mm] \vec{n}*\vec{0A} [/mm]
Das gilt natürlich auch für [mm] \vec{0B} [/mm] . Und: Die beiden parallelen Vektoren sind identisch, also [mm] \vec{n}*\vec{0A}=\vec{n}*\vec{0B}
[/mm]
Und wenn [mm] |\vec{n}|=1 [/mm] gilt, dann ist [mm] \vec{n}*\vec{0A} [/mm] obendrein der Abstand der Ebene zum Ursprung...
Ach, nochwas: Du kannst deine Koordinatengleichung mit ner beliebigen Konstante multiplizieren - das ändert an der Ebene natürlich nix.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 So 26.02.2012 | | Autor: | Paivren |
Hey!
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> Was nun dein [mm]\vec{n}*\vec{0A}[/mm] angeht: Zerlege den Vektor
> [mm]\vec{0A}[/mm] in eine Komponente senkrecht zu [mm]\vec{n}[/mm] und eine
> parallel dazu. Der parallele hat dann die Länge
> [mm]\vec{n}*\vec{0A}[/mm]
Wie genau mach ich das denn x.x?
Dass die Skalarprodukte [mm] \vec{n}*\vec{0A} [/mm] und [mm] \vec{n}*\vec{0B} [/mm] identisch sind, habe ich gerade getestet. Hab drei Punkte genommen, und die Koordinatenform gebildet, wobei ich die Gleichung drei mal aufgestellt habe, unter Verwendung jedes Punktes.
Aber wie du das beweist, hab ich nich gerallt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 So 26.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Skalarprodukt gibt doch pn gibt doch ddie komponente von p in Richtung n (*Länge von n , und das ist für alle ortsvektoren zur ebene gleich groß, nur der Anteil von p, der in der Ebene liegt ist verschieden.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Mi 29.02.2012 | | Autor: | Paivren |
Ich hab lange gebraucht, aber nachdem ich mir nochmal angescahut habe, was das Skalarprodukt eigentlich ist und es mir anschaulich vorgestellt habe, habe ich deinen Text nochmal gelesen und es jetzt verstanden!
Danke dafür, und schönen Abend noch^^
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