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| Aufgabe | Gegeben in Koordinatenform sind die Geraden (mit Parameter [mm] \gamma \in \IR)
[/mm]
g1: x+2= [mm] \bruch{y+1}{3}= -\bruch{z+4}{\gamma}
[/mm]
g2: x+2=y-1=z
i) Geben Sie g1; g2 in Punktrichtungsform an.
ii) Für welche [mm] \gamma \in \IR [/mm] sind die Geraden parallel?
iii) Für welche [mm] \gamma \in \IR [/mm] schneiden sich die Geraden? Berechnen Sie den Schnittpunkt. |
i)
g1: [mm] x=\vektor{-2 \\ -1 \\ 4}+t\vektor{1 \\ 3 \\ \gamma}
[/mm]
g2: x [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ z}+t\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
für ii) und iii) brauch ein ein tipp
und was bringt mir die koordinatenform eigentlich? ich verstehe den sinn dahinter nicht
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| Aufgabe | | ii) F¨ur welche γ ∈ R sind die Geraden parallel? |
Ich verstehe noch nciht ganz, wie genau ich ii) berechne. Kann mir das jemand vorrechnen?
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast beide Geradengleichungen in Parameterform vorliegen?
Wenn ja, dann schau jetzt nach, wie Du [mm] \gamma [/mm] wählen mußt, damit die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.
Es ist natürlich prinzipiell auch der Fall denkbar, daß es ein passendes [mm] \gamma [/mm] überhaupt nicht gibt.
Falls noch Fragen sind: zeig' mal, was Du gemacht hast.
LG Angela
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Ok danke :) Ich setze die beiden Richtungvektoren gegenüber und komme dann auf das folgende: Richtungsvektor g2 = Richtungsvektor g1
[mm] x*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\mu*\vektor{-(1/\gamma)\\ -(3/\gamma) \\ 1 } [/mm] =... = [mm] \vmat{ 0= & -(1/\gamma) \\ 0= & -(3/\gamma) \\ x= & \mu } [/mm] Demnach ist dann bei Mir das Lambda gleichzeitig 1 und 3. Dies ist doch nicht möglich oder?
Danke für die herzliche Begrüßung:)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Di 17.11.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ok danke :) Ich setze die beiden Richtungvektoren
> gegenüber und komme dann auf das folgende: Richtungsvektor
> g2 = Richtungsvektor g1
>
> [mm]x*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\mu*\vektor{-(1/\gamma)\\ -(3/\gamma) \\ 1 }[/mm]
Die Begründung ist etwas schwammig, aber die Idee ist korrekt. Zwei Vektoren sind parallel, wenn der eine Vektor ein vielfaches des anderen Vektors ist. Hier betracchtest du korrekterweise die Richtungsvektoren der Geraden.
Es reicht dann aber, einen der Vektoren mit einem (zu bestimmenden) "Parellelitätsfaktor" [mm] \mu [/mm] zu versehen, also hier
[mm] \vektor{1\\1\\1}=\mu\cdot\vektor{-\frac{1}{\gamma}\\-\frac{3}{\gamma}\\1}
[/mm]
> =... = [mm]\vmat{ 0= & -(1/\gamma) \\ 0= & -(3/\gamma) \\ x= & \mu }[/mm]
Diese Gleichung stimmt dann nicht mehr, die Nullen sind falsch
Die Gleichung
[mm] \vektor{1\\1\\1}=\mu\cdot\vektor{-\frac{1}{\gamma}\\-\frac{3}{\gamma}\\1}
[/mm]
führt zum Gleichungssystem
[mm] \begin{vmatrix}1=-\mu\cdot\frac{1}{\gamma}\\1=-\mu\cdot\frac{3}{\gamma}\\1=\mu\end{vmatrix}
[/mm]
Gleichung 3 fürht zu [mm] \mu=1, [/mm] das ergibt aber mit den anderen beiden Gleichungen in der Tat die verschiedenen Werte [mm] \gamma=-1 [/mm] bzw [mm] \gamma=-3
[/mm]
Daher gibt es kein [mm] \gamma, [/mm] dass die Vektoren parallel werden lässt.
> Demnach ist dann bei Mir das Lambda gleichzeitig 1 und 3.
> Dies ist doch nicht möglich oder?
Das stimmt, auch wenn die Begründung dahin fehlerhaft war.
> Danke für die herzliche Begrüßung:)
Marius
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> Gegeben in Koordinatenform sind die Geraden (mit Parameter
> [mm]\gamma \in \IR)[/mm]
>
> g1: x+2= [mm]\bruch{y+1}{3}= -\bruch{z+4}{\gamma}[/mm]
>
> g2: x+2=y-1=z
>
> i) Geben Sie g1; g2 in Punktrichtungsform an.
> ii) Für welche [mm]\gamma \in \IR[/mm] sind die Geraden parallel?
> iii) Für welche [mm]\gamma \in \IR[/mm] schneiden sich die
> Geraden? Berechnen Sie den Schnittpunkt.
> i)
>
> g1: [mm]x=\vektor{-2 \\ -1 \\ 4}+t\vektor{1 \\ 3 \\ \gamma}[/mm]
>
> g2: x [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ z}+t\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
Hallo,
die Geradengleichungen stimmen beide nicht.
Rechne mal vor.
LG Angela
>
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> für ii) und iii) brauch ein ein tipp
>
> und was bringt mir die koordinatenform eigentlich? ich
> verstehe den sinn dahinter nicht
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> die Geradengleichungen stimmen beide nicht.
>
> Rechne mal vor.
da sind nur vorzeichenfehler oder?
g1: x+2= [mm] \bruch{y+1}{3}= -\bruch{z+4}{\gamma}
[/mm]
g1: [mm] x=\vektor{-2 \\ -1 \\ -4}+t\vektor{1 \\ 3 \\ -\gamma}
[/mm]
probe:
x= -2+t [mm] \Rightarrow [/mm] t= x+2
y= -1+3t [mm] \Rightarrow t=\bruch{y+1}{3}
[/mm]
z= [mm] -4-\gamma*t \Rightarrow t=\bruch{z+4}{-\gamma}
[/mm]
das sollte jetzt richtig sein.
für ii) und iii) brauch ich noch n tipp
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Sa 16.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> > die Geradengleichungen stimmen beide nicht.
> >
> > Rechne mal vor.
>
> da sind nur vorzeichenfehler oder?
>
> g1: x+2= [mm]\bruch{y+1}{3}= -\bruch{z+4}{\gamma}[/mm]
>
> g1: [mm]x=\vektor{-2 \\ -1 \\ -4}+t\vektor{1 \\ 3 \\ -\gamma}[/mm]
>
> probe:
>
> x= -2+t [mm]\Rightarrow[/mm] t= x+2
> y= -1+3t [mm]\Rightarrow t=\bruch{y+1}{3}[/mm]
> z= [mm]-4-\gamma*t \Rightarrow t=\bruch{z+4}{-\gamma}[/mm]
>
> das sollte jetzt richtig sein.
Nein:
[mm] g_2
[/mm]
Du hast x+2=y-1=z
Drücken wir mal alle Variablen in Abhängigkeit von z aus.
[mm] x+2=z\Leftrightarrow [/mm] x=-2+z
[mm] y-1=z\Leftrightarrow [/mm] y=1+z
Das ganze als Vektor geschrieben:
[mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{-2+z\\1+z\\0+z}=\vektor{-2\\1\\0}+z\cdot\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
Setzen wir [mm] z=\lamdba, [/mm] bekommen wir die Gerade
[mm] g_{2}:\vec{x}=\vektor{-2\\1\\0}+\lambda\cdot\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
[mm] g_1
[/mm]
[mm] $x+2=-\bruch{z+4}{\gamma}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow x+2=-\frac{4}{\gamma}-\frac{1}{\gamma}\cdot [/mm] z$
[mm] $\Leftrightarrow x=-\left(\frac{4}{\gamma}+2\right)-\frac{1}{\gamma}\cdot [/mm] z$
$ [mm] \bruch{y+1}{3}= -\bruch{z+4}{\gamma} [/mm] $
[mm] $\Leftrightarrow \bruch{y+1}{3}=-\frac{4}{\gamma}-\frac{1}{\gamma}\cdot [/mm] z$
[mm] $\Leftrightarrow y+1=-\frac{12}{\gamma}-\frac{3}{\gamma}\cdot [/mm] z$
[mm] $\Leftrightarrow y=-\left(\frac{12}{\gamma}+1\right)-\frac{3}{\gamma}\cdot [/mm] z$
Also, mit [mm] z=\mu
[/mm]
[mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{-\left(\frac{4}{\gamma}+2\right)\\-\left(\frac{12}{\gamma}+1\right)-\frac{3}{\gamma}\\0}+\mu\cdot\vektor{-\frac{1}{\gamma}\\-\frac{3}{\gamma}\\1}
[/mm]
>
> für ii) und iii) brauch ich noch n tipp
Wann sind denn Geraden parallel?
Bestimme daraus dann das [mm] \gamma
[/mm]
Danach löse für diejenigen [mm] \gamma, [/mm] für die die Geraden nicht parallel sind, das Gleichungssystem.
Auch dabei solltest du dann Fallunterscheidungen machen, wenn du durch einen Term mit der Variable [mm] \gamma [/mm] dividierst.
Marius
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> > > die Geradengleichungen stimmen beide nicht.
> > >
> > > Rechne mal vor.
> >
> > da sind nur vorzeichenfehler oder?
> >
> > g1: x+2= [mm]\bruch{y+1}{3}= -\bruch{z+4}{\gamma}[/mm]
> >
> > g1: [mm]x=\vektor{-2 \\ -1 \\ -4}+t\vektor{1 \\ 3 \\ -\gamma}[/mm]
>
> >
> > probe:
> >
> > x= -2+t [mm]\Rightarrow[/mm] t= x+2
> > y= -1+3t [mm]\Rightarrow t=\bruch{y+1}{3}[/mm]
> > z= [mm]-4-\gamma*t \Rightarrow t=\bruch{z+4}{-\gamma}[/mm]
>
> >
> > das sollte jetzt richtig sein.
>
>
> Nein:
>
> [mm]g_2[/mm]
> Du hast x+2=y-1=z
>
> Drücken wir mal alle Variablen in Abhängigkeit von z
> aus.
>
> [mm]x+2=z\Leftrightarrow[/mm] x=-2+z
> [mm]y-1=z\Leftrightarrow[/mm] y=1+z
>
>
> Das ganze als Vektor geschrieben:
>
> [mm]\vektor{x\\y\\z}=\vektor{-2+z\\1+z\\0+z}=\vektor{-2\\1\\0}+z\cdot\vektor{1\\1\\1}[/mm]
> Setzen wir [mm]z=\lamdba,[/mm] bekommen wir die Gerade
>
> [mm]g_{2}:\vec{x}=\vektor{-2\\1\\0}+\lambda\cdot\vektor{1\\1\\1}[/mm]
>
>
>
> [mm]g_1[/mm]
> [mm]x+2=-\bruch{z+4}{\gamma}[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow x+2=-\frac{4}{\gamma}-\frac{1}{\gamma}\cdot z[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow x=-\left(\frac{4}{\gamma}+2\right)-\frac{1}{\gamma}\cdot z[/mm]
>
>
>
> [mm]\bruch{y+1}{3}= -\bruch{z+4}{\gamma}[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow \bruch{y+1}{3}=-\frac{4}{\gamma}-\frac{1}{\gamma}\cdot z[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow y+1=-\frac{12}{\gamma}-\frac{3}{\gamma}\cdot z[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow y=-\left(\frac{12}{\gamma}+1\right)-\frac{3}{\gamma}\cdot z[/mm]
>
>
> Also, mit [mm]z=\mu[/mm]
>
> [mm]\vektor{x\\y\\z}=\vektor{-\left(\frac{4}{\gamma}+2\right)\\-\left(\frac{12}{\gamma}+1\right)-\frac{3}{\gamma}\\0}+\mu\cdot\vektor{-\frac{1}{\gamma}\\-\frac{3}{\gamma}\\1}[/mm]
Hallo,
hier hast Du wahrscheinlich beim Kopieren einen Fehler gemacht.
Richtig ist [mm]\vektor{x\\y\\z}=\vektor{-\left(\frac{4}{\gamma}+2\right)\\-\left(\frac{12}{\gamma}+1\right)\\0}+\mu\cdot\vektor{-\frac{1}{\gamma}\\-\frac{3}{\gamma}\\1}[/mm].
Diese Gleichung beschreibt dieselbe Gerade wie die oben angegebene Geradengleichung
[mm]x=\vektor{-2 \\ -1 \\ -4}+t\vektor{1 \\ 3 \\ -\gamma}[/mm].
LG Angela
>
>
> >
> > für ii) und iii) brauch ich noch n tipp
>
> Wann sind denn Geraden parallel?
> Bestimme daraus dann das [mm]\gamma[/mm]
>
> Danach löse für diejenigen [mm]\gamma,[/mm] für die die Geraden
> nicht parallel sind, das Gleichungssystem.
> Auch dabei solltest du dann Fallunterscheidungen machen,
> wenn du durch einen Term mit der Variable [mm]\gamma[/mm]
> dividierst.
>
> Marius
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