Konvexität < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei f : [a; b] [mm] \to \IR [/mm] stetig.
a) Es seien [mm] \lambda_{1}, \lambda_{2} \ge [/mm] 0 mit [mm] \lambda_{1}+ \lambda_{2} [/mm] = 1. Zeigen Sie, dass f genau dann konvex ist, wenn für alle
[mm] c,d\in [/mm] [a,b] die Ungleichung
[mm] f(\lambda_{1}c+\lambda_{2}d) \le \lambda_{1}f(c)+ \lambda_{2}f(d)
[/mm]
erfüllt ist.
Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die Parameterdarstellung der Sekante S durch die Punkte (a; f(a)) und (b; f(b)).
b) Seien [mm] a_{1};.... ;a_{n} [/mm] [a; b] und [mm] \lambda_{1};.....;\lambda_{n} \ge [/mm] 0 mit [mm] \lambda_{1} [/mm] + .... + [mm] \lambda_{n} [/mm] = 1. Zeigen Sie nun mit
vollständiger Induktion, dass f genau dann konvex ist, wenn gilt
[mm] f(\summe_{k=1}^{n} \lambda_{k}*a_{k}) \le \summe_{k=1}^{n} \lambda_{k}* f(a_{k}) [/mm] |
Hi,
wieder einmal habe ich eine kleine Frage. Und zwar weiß ich hier nicht genau wie man am besten vorgeht. Ich denke zwar das man in a) statt [mm] \lambda_{1} [/mm] besser [mm] \lambda_{2}-1 [/mm] einfügt. Aber wie verbinde ich das mit der Sekanden Gleichung?
Bei b.) soll man wohl am besten mit der ![[]](/images/popup.gif) Jensensche Ungleichung arbeiten. Aber auch hier habe ich ein ähnliches problem.
Diese ganzen definitionssachen liegen mir einfach nicht so gut:/
Gruß margorion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:53 Do 19.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei f : [a; b] [mm]\to \IR[/mm] stetig.
> a) Es seien [mm]\lambda_{1}, \lambda_{2} \ge[/mm] 0 mit
> [mm]\lambda_{1}+ \lambda_{2}[/mm] = 1. Zeigen Sie, dass f genau dann
> konvex ist, wenn für alle
> [mm]c,d\in[/mm] [a,b] die Ungleichung
>
> [mm]f(\lambda_{1}c+\lambda_{2}d) \le \lambda_{1}f(c)+ \lambda_{2}f(d)[/mm]
>
> erfüllt ist.
Das ist komisch ! Was oben steht ist die Definition von "konvex" !!!
Wie habt Ihr denn das definiert ?
FRED
> Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die Parameterdarstellung
> der Sekante S durch die Punkte (a; f(a)) und (b; f(b)).
>
> b) Seien [mm]a_{1};.... ;a_{n}[/mm] [a; b] und
> [mm]\lambda_{1};.....;\lambda_{n} \ge[/mm] 0 mit [mm]\lambda_{1}[/mm] + ....
> + [mm]\lambda_{n}[/mm] = 1. Zeigen Sie nun mit
> vollständiger Induktion, dass f genau dann konvex ist,
> wenn gilt
>
> [mm]f(\summe_{k=1}^{n} \lambda_{k}*a_{k}) \le \summe_{k=1}^{n} \lambda_{k}* f(a_{k})[/mm]
>
> Hi,
> wieder einmal habe ich eine kleine Frage. Und zwar weiß
> ich hier nicht genau wie man am besten vorgeht. Ich denke
> zwar das man in a) statt [mm]\lambda_{1}[/mm] besser [mm]\lambda_{2}-1[/mm]
> einfügt. Aber wie verbinde ich das mit der Sekanden
> Gleichung?
>
>
>
> Bei b.) soll man wohl am besten mit der
> Jensensche Ungleichung
> arbeiten. Aber auch hier habe ich ein ähnliches problem.
> Diese ganzen definitionssachen liegen mir einfach nicht so
> gut:/
> Gruß margorion
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:16 Do 19.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Es sei f : [a; b] [mm]\to \IR[/mm] stetig.
> > a) Es seien [mm]\lambda_{1}, \lambda_{2} \ge[/mm] 0 mit
> > [mm]\lambda_{1}+ \lambda_{2}[/mm] = 1. Zeigen Sie, dass f genau dann
> > konvex ist, wenn für alle
> > [mm]c,d\in[/mm] [a,b] die Ungleichung
> >
> > [mm]f(\lambda_{1}c+\lambda_{2}d) \le \lambda_{1}f(c)+ \lambda_{2}f(d)[/mm]
>
> >
> > erfüllt ist.
>
>
> Das ist komisch ! Was oben steht ist die Definition von
> "konvex" !!!
vielleicht haben sie das einfach anhand des Graphen gemacht? (Da gibt's ja auch wirklich eine konkrete Aussage dazu - aber in der Schule "zeigt" man ja gerne, welche Eigenschaft der Graph einer konvexen Funktion $I [mm] \to \IR$ [/mm] haben soll: "Die Sekante durch zwei Punkte des Graphen soll stets 'oberhalb' des Graphen liegen. Das passt dann evtl. auch zu dem gegebenen Hinweis.")
Gruß,
Marcel
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Hi und danke schonmal für deine Antwort.
Unsere Definition funktioniert über die Sekantengleichung:
f heißt konvex in J, wenn für je zwei Punkte c,d [mm] \in [/mm] J, c<d die Sekante
S(x;c,d)= f(c)+ [mm] \bruch{f(d)-f(c)}{d-c}*(x-c), x\in[c,d]
[/mm]
oberhalb des Graphen f liegt.
Gruß
margorion
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Fr 20.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi und danke schonmal für deine Antwort.
> Unsere Definition funktioniert über die
> Sekantengleichung:
> f heißt konvex in J, wenn für je zwei Punkte c,d [mm]\in[/mm] J,
> c<d die Sekante
> S(x;c,d)= f(c)+ [mm]\bruch{f(d)-f(c)}{d-c}*(x-c), x\in[c,d][/mm]
dann musst Du im Wesentlichen nur diese Definition umschreiben - umformulieren.
Ich gebe Dir einen Tipp, denn man analog auf Geraden übertragen kann:
Ein Intervall $[a,b] [mm] \subseteq \IR\,,$ [/mm] welches nichtleer sei, kann man schreiben als
[mm] $$(\star)\;\;\;[a,b]=\{r \in \IR: \exists \lambda \in [0,1]:\;\;r=\lambda*a+(1-\lambda)*b\}=\{\lambda*a+(1-\lambda)*b:\;\;0 \le \lambda \le 1\}$$
[/mm]
oder
[mm] $$[a,b]=\{r \in \IR: \exists \lambda \in [0,1]:\;\;r=(1-\lambda)*a+\lambda*b\}\,.$$
[/mm]
(Hinweis: Beweise etwa [mm] $(\star)\,,$ [/mm] also zeige $[a,b] [mm] \subseteq \{r \in \IR: \exists \lambda \in [0,1]:\;\;r=\lambda*a+(1-\lambda)*b\}$ [/mm] und [mm] $\{r \in \IR: \exists \lambda \in [0,1]:\;\;r=\lambda*a+(1-\lambda)*b\} \subseteq [a,b]\,.$)
[/mm]
Weiterer Tipp: Überlege Dir damit, dass etwa im euklidischen [mm] $\IR^2$ [/mm] mit der Standardmetrik/Standardnom gilt:
Ist [mm] $\mathbf{s}\,$ [/mm] die Strecke, die von den Punkten $A,B [mm] \in \IR^2$ [/mm] "eingeschlossen wird" (inklusive Randpunkte), so gilt
[mm] $$\mathbf{s}=\{\lambda*A+(1-\lambda)*B:\;\;\lambda \in [0,1]\}\,.$$
[/mm]
Wenn Du das verstanden hast, ist Deine Aufgabe nur "rechnen und eine kleine Substitution".
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Sa 21.04.2012 | | Autor: | loggeli |
Hallo Marcel,
die Ungleichung, die zu beweisen ist, ist ja die folgende:
[mm] f(\lambda1*c [/mm] + [mm] \lambda2*d) [/mm] <= [mm] \lambda1*f(c) [/mm] + [mm] \lambda2*f(d)
[/mm]
Wenn ich dann folgende Substitution mache:
[mm] \lambda1 [/mm] = t
[mm] \lambda2 [/mm] = 1-t
Dann ergibt sich ja die allgemeine Definition für Konvexität:
f(t*c + (1-t)*d) <= t*f(c) + (1-t)*f(d)
Ist die Aufgabe damit gezeigt? Weil ich weiß auch nicht so wirklich, wie ich die Sekantengleichung da mit reinbringen soll. Leider hat mich Dein Tipp nicht wirklich weiter gebracht.
PS: Sitze grad an derselben Aufgabe ;)
Vielleicht kannst du uns ja da weiterhelfen.
Gruß,
loggeli
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
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> die Ungleichung, die zu beweisen ist, ist ja die folgende:
> [mm]f(\lambda1*c[/mm] + [mm]\lambda2*d)[/mm] <= [mm]\lambda1*f(c)[/mm] +
> [mm]\lambda2*f(d)[/mm]
mit [mm] $\lambda_1+\lambda_2=1$ [/mm] und [mm] $\lambda_1,\lambda_2 \ge 0\,.$ [/mm] Das musst Du schon beachten!
Anders gesagt:
(Editiert!!)
Es wird behauptet, dass die Konvexität äquivalent dazu ist:
Für alle [mm] $0\le \lambda \le [/mm] 1$ gilt
[mm] $$\red{(\text{I})}\;\;\;f((1-\lambda)a+\lambda [/mm] b) [mm] \le (1-\lambda)f(a)+\lambda f(b)\,.$$
[/mm]
>
> Wenn ich dann folgende Substitution mache:
> [mm]\lambda1[/mm] = t
> [mm]\lambda2[/mm] = 1-t
>
> Dann ergibt sich ja die allgemeine Definition für
> Konvexität:
> f(t*c + (1-t)*d) <= t*f(c) + (1-t)*f(d)
>
> Ist die Aufgabe damit gezeigt? Weil ich weiß auch nicht so
> wirklich, wie ich die Sekantengleichung da mit reinbringen
> soll. Leider hat mich Dein Tipp nicht wirklich weiter
> gebracht.
>
> PS: Sitze grad an derselben Aufgabe ;)
> Vielleicht kannst du uns ja da weiterhelfen.
>
> Gruß,
> loggeli
Bevor Du das angehst:
1.) Wie kann man den formal ausdrücken, dass die durch die Sekantengleichung
$$S(x;a,b)= f(a)+ [mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot{}(x-a), x\in[a,b]$$
[/mm]
gegebene Sekante
[mm] $$\mathbf{s}:=\{\;(x,\;S(x;a,b))\, \in \IR^2:\;x \in [a,b]\}$$
[/mm]
"oberhalb des Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] (eingeschränkt auf [mm] $[a,b]\,$)" [/mm] liegt?
2.) Wie kann man nun [mm] $\math{s}$ [/mm] auf anderem Wege noch mittels [mm] $A:=(a,\;S(a;,a,b)),\;B:=(b,\;S(b;a,b)) \in \text{graph}(f)$ [/mm] beschreiben?
Eine mögliche Beschreibung wird ja vorgegeben. Wie man nun eine andere (äquivalente) findet, habe ich eigentlich indirekt beschrieben. Du kannst nun auch einfach eine Mengengleichheit mittels der beiden Beschreibungen behaupten und dann nachweisen, dass diese Mengengleichheit auch wirklich gilt, also, dass die eine Menge Teilmenge der anderen ist und umgekehrt.
P.S.
Für $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ gilt
$$f(a)+ [mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot{}(x-a)=\left(1-\frac{x-a}{b-a}\right)*f(a)+\frac{x-a}{b-a}*f(b)\,.$$
[/mm]
Jetzt werfe nochmal einen Blick auf [mm] $\red{(\text{I})}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Sa 21.04.2012 | | Autor: | loggeli |
Hi Marcel,
danke für Deine Antwort. Ich versuche jetzt mal meine Gedanken dazu zusammenzutragen:
1.) Def. für Konvexität: "f : [a,b] [mm] \to \IR [/mm] ist konvex, wenn für alle c,d [mm] \in [/mm] (a,b) mit c < x < d gilt: f(x) [mm] \le [/mm] S(x,c,d)"
2.) Weitere Bed. für Konvexität: "f(x) ist konvex, wenn f'(x) monoton wachsend ist."
3.) S(x,c,d) = f(c) + [f(d)-f(c)]/(d-c) [mm] \* [/mm] (x-c)
Dann wird die Ungleichung in 1.) zu:
f(x) [mm] \le [/mm] f(c) + [f(d)-f(c)]/(d-c) [mm] \* [/mm] (x-c)
Beweis für 2.):
Es sei c<d und c,d [mm] \in [/mm] [a,b]
z.Z: f'(c) < f'(d)
Umschreiben der Ungleichung 1.):
[f(x)-f(c)]/(x-c) [mm] \le [/mm] [f(d)-f(c)] / (d-c)
f'(c) [mm] \le [/mm] [f(d)-f(c)] / (d-c)
Nun gilt für die Sekante ja:
f(c) + [f(d)-f(c)]/(d-c) * (x-c) = f(d) + [f(d)-f(c)]/(d-c) * (x-d)
Daher kann man die Konvexität aus 1.) auch so schreiben:
f(x) [mm] \le [/mm] f(d) + [f(d)-f(c)]/(d-c) * (x-d)
f(x) - f(d) [mm] \le [/mm] [f(d)-f(c)]/(d-c) * (x-d)
Es gilt nach 1.) x < d und daher: x-d < 0
Somit dreht sich das Ungleichheitszeichen bei einer Division durch (x-d) um.
[f(x)-f(d)]/(x-d) [mm] \ge [/mm] [f(d)-f(c)]/(d-c)
f'(d) [mm] \ge [/mm] [f(d)-f(c)]/(d-c)
Damit ist auch gezeigt, dass:
f'(c) < f'(d)
Damit ist die Funktion konkav. Ist das so erstmal ok?
Dann muss ich noch zeigen, dass meine Def. für konkav äquivalent zu der Definition aus der Aufgabenstellung ist. Ich habe meine jetzt unserem Vorlesungsskript entnommen und dann dadraus gefolgert, dass f konkav sein muss.
PS: Leider kann ich kein Latex, daher ist das vllt. etwas schwieriger zu lesen. Ich hoffe, dass es Dir nichts ausmacht.
Gruß,
loggeli
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi Marcel,
>
> danke für Deine Antwort. Ich versuche jetzt mal meine
> Gedanken dazu zusammenzutragen:
>
> 1.) Def. für Konvexität: "f : [a,b] [mm]\to \IR[/mm] ist konvex,
> wenn für alle c,d [mm]\in[/mm] (a,b) mit c < x < d gilt: f(x) [mm]\le[/mm]
> S(x,c,d)"
>
> 2.) Weitere Bed. für Konvexität: "f(x) ist konvex, wenn
> f'(x) monoton wachsend ist."
dabei brauchst Du die Voraussetzung, dass [mm] $f\,$ [/mm] nicht nur stetig, sondern zudem sogar differenzierbar ist (letzteres alleine reicht, da Diff'barkeit Stetigkeit impliziert).
> 3.) S(x,c,d) = f(c) + [f(d)-f(c)]/(d-c) [mm]\*[/mm] (x-c)
>
> Dann wird die Ungleichung in 1.) zu:
>
> f(x) [mm]\le[/mm] f(c) + [f(d)-f(c)]/(d-c) [mm]\*[/mm] (x-c)
>
> Beweis für 2.):
>
> Es sei c<d und c,d [mm]\in[/mm] [a,b]
> z.Z: f'(c) < f'(d)
>
> Umschreiben der Ungleichung 1.):
>
> [f(x)-f(c)]/(x-c) [mm]\le[/mm] [f(d)-f(c)] / (d-c)
>
> f'(c) [mm]\le[/mm] [f(d)-f(c)] / (d-c)
>
> Nun gilt für die Sekante ja:
>
> f(c) + [f(d)-f(c)]/(d-c) * (x-c) = f(d) + [f(d)-f(c)]/(d-c)
> * (x-d)
>
> Daher kann man die Konvexität aus 1.) auch so schreiben:
>
> f(x) [mm]\le[/mm] f(d) + [f(d)-f(c)]/(d-c) * (x-d)
>
> f(x) - f(d) [mm]\le[/mm] [f(d)-f(c)]/(d-c) * (x-d)
>
> Es gilt nach 1.) x < d und daher: x-d < 0
> Somit dreht sich das Ungleichheitszeichen bei einer
> Division durch (x-d) um.
>
> [f(x)-f(d)]/(x-d) [mm]\ge[/mm] [f(d)-f(c)]/(d-c)
>
> f'(d) [mm]\ge[/mm] [f(d)-f(c)]/(d-c)
>
> Damit ist auch gezeigt, dass:
>
> f'(c) < f'(d)
>
> Damit ist die Funktion konkav. Ist das so erstmal ok?
Nein. Wie gesagt: Es muss noch nicht mal [mm] $f'(c)\,$ [/mm] oder [mm] $f'(d)\,$ [/mm] existieren - daher habe ich mir das auch nicht näher angeguckt. Außerdem: Es ging doch um KONVEX!!
> Dann muss ich noch zeigen, dass meine Def. für konkav
> äquivalent zu der Definition aus der Aufgabenstellung ist.
> Ich habe meine jetzt unserem Vorlesungsskript entnommen und
> dann dadraus gefolgert, dass f konkav sein muss.
>
> PS: Leider kann ich kein Latex, daher ist das vllt. etwas
> schwieriger zu lesen. Ich hoffe, dass es Dir nichts
> ausmacht.
Klick' einfach mal auf die Formeln oder fahr' mit der Maus drüber - oder such in google (mathematik, formeln, latex) oder guck auf matheraum/mm nach. Ausmachen tut's mir nix, aber schöner wär's schon, wenn Du mit dem Formeleditor arbeiten würdest.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Sa 21.04.2012 | | Autor: | loggeli |
Hi,
hab nochmal bisschen dran gesessen und glaube es jetzt verstanden zu haben. Also, dass die Funktion f konkav ist, hab ich ja schon versucht zu beweisen. Vielleicht kannst Du mir dazu noch sagen, ob das so ok ist. Wäre aufjedenfall cool :)
Es bleibt also noch zu zeigen, dass:
Ungleichung 1.)
[mm] f(\lambda_{1}*c+\lamba_{2}*d) \le \lambda_{1}*f(c) [/mm] + [mm] \lambda_{2}*f(d)
[/mm]
mit [mm] \lambda_{1}+\lambda_{2}=1 [/mm] und [mm] \lambda_{1},\lambda_{2} \ge [/mm] 0
Nun schreiben wir uns das ganze mal, wie schon erwähnt um:
[mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] 1-\lambda_{1}
[/mm]
[mm] f(\lambda_{1}*c+(1-\lambda_{1})*d) \le \lambda_{1}*f(c) [/mm] + (1 - [mm] \lambda_{1})*f(d)
[/mm]
nun definieren wir uns ein [mm] \lambda [/mm] sodass gilt:
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \lambda_{1}*c+(1-\lambda_{1})*d
[/mm]
Dann wir Ungleichung 1.) zu:
[mm] f(\lambda) \le \lambda_{1}*f(c) [/mm] + [mm] \lambda_{2}*f(d)
[/mm]
Da f aber konvex ist gilt ja:
[mm] \lambda_{1}*f(c) [/mm] + [mm] \lambda_{2}*f(d) [/mm] = f(c) + [f(d)-f(c)]/(d-c) * [mm] (\lambda-c)
[/mm]
Nun muss man sich um [mm] (\lambda-c) [/mm] kümmern.
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \lambda_{1}*c+(1-\lambda_{1})*d
[/mm]
[mm] (\lambda-c) [/mm] = [mm] (1-\lambda_{1})*(d-c)
[/mm]
Nun einsetzen:
[mm] f(\lambda) \le \lambda_{1}*f(c) [/mm] + [mm] \lambda_{2}*f(d) [/mm] = f(c) + [f(d)-f(c)]/(d-c) * [mm] (\lambda-c) [/mm] = f(c) + [mm] [f(d)-f(c)]*(1-\lambda_{1}) [/mm] = f(c) + [mm] [f(d)-f(c)]*\lambda_{2} [/mm] = [mm] f(c)+f(d)*\lambda_{2}-f(c)*\lambda_{2}=f(c)-f(c)*(1-\lambda_{1})+f(d)*\lambda_{2}=f(c)*\lambda_{1}+f(d)*\lambda_{2}
[/mm]
Uff, krasse Umformung. Aber damit sollte es gezeigt sein. Geht das so?
Gruß,
loggelli
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
>
> hab nochmal bisschen dran gesessen und glaube es jetzt
> verstanden zu haben. Also, dass die Funktion f konkav ist,
> hab ich ja schon versucht zu beweisen.
das wäre schlecht - sie sollte doch konvex sein.
> Vielleicht kannst Du
> mir dazu noch sagen, ob das so ok ist. Wäre aufjedenfall
> cool :)
>
> Es bleibt also noch zu zeigen, dass:
>
> Ungleichung 1.)
>
> [mm]f(\lambda_{1}*c+\lamba_{2}*d) \le \lambda_{1}*f(c)[/mm] +
> [mm]\lambda_{2}*f(d)[/mm]
>
> mit [mm]\lambda_{1}+\lambda_{2}=1[/mm] und [mm]\lambda_{1},\lambda_{2} \ge[/mm]
> 0
>
> Nun schreiben wir uns das ganze mal, wie schon erwähnt
> um:
>
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = [mm]1-\lambda_{1}[/mm]
>
> [mm]f(\lambda_{1}*c+(1-\lambda_{1})*d) \le \lambda_{1}*f(c)[/mm] +
> (1 - [mm]\lambda_{1})*f(d)[/mm]
>
> nun definieren wir uns ein [mm]\lambda[/mm] sodass gilt:
>
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\lambda_{1}*c+(1-\lambda_{1})*d[/mm]
>
> Dann wir Ungleichung 1.) zu:
>
> [mm]f(\lambda) \le \lambda_{1}*f(c)[/mm] + [mm]\lambda_{2}*f(d)[/mm]
>
> Da f aber konvex ist gilt ja:
>
> [mm]\lambda_{1}*f(c)[/mm] + [mm]\lambda_{2}*f(d)[/mm] = f(c) +
> [f(d)-f(c)]/(d-c) * [mm](\lambda-c)[/mm]
>
> Nun muss man sich um [mm](\lambda-c)[/mm] kümmern.
>
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\lambda_{1}*c+(1-\lambda_{1})*d[/mm]
> [mm](\lambda-c)[/mm] = [mm](1-\lambda_{1})*(d-c)[/mm]
>
> Nun einsetzen:
>
> [mm]f(\lambda) \le \lambda_{1}*f(c)[/mm] + [mm]\lambda_{2}*f(d)[/mm] = f(c) +
> [f(d)-f(c)]/(d-c) * [mm](\lambda-c)[/mm] = f(c) +
> [mm][f(d)-f(c)]*(1-\lambda_{1})[/mm] = f(c) +
> [mm][f(d)-f(c)]*\lambda_{2}[/mm] =
> [mm]f(c)+f(d)*\lambda_{2}-f(c)*\lambda_{2}=f(c)-f(c)*(1-\lambda_{1})+f(d)*\lambda_{2}=f(c)*\lambda_{1}+f(d)*\lambda_{2}[/mm]
>
> Uff, krasse Umformung. Aber damit sollte es gezeigt sein.
> Geht das so?
>
> Gruß,
> loggelli
Ich hab's mir mal wieder nicht genau angeguckt, aber selbst wenn es richtig ist, ist's auf jeden Fall irgendwie umständlich. Ich mach's mir jetzt einfach - wenn Du drauf bestehst, kann ich mir Deine Sachen auch wirklich nochmal detailliert angucken, aber erstmal nicht - ich schreibe Dir mal, wie es schnell geht (und Du wirst sehen, dass man da aber auch an wirklich keiner Stelle [mm] $f\,'$ [/mm] braucht (!!)):
Nach Definition ist stetiges $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] genau dann konvex, wenn für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ (ich glaube, an anderer Stelle hatten wir irgendwann [mm] $c\,$ [/mm] anstatt [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $d\,$ [/mm] anstatt [mm] $b\,$ [/mm] geschrieben-daher hast Du das oben übernommen - aber einigen wir uns mal darauf, dass $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] (stetig) sei) dann die durch
[mm] $$S(x;a,b)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\;,x\in [/mm] [a,b]$$
beschriebene Sekante oberhalb von [mm] $f\,$ [/mm] (genauer vielleicht: des Graphen von [mm] $f\,$) [/mm] liegt.
Das ist äquivalent zu
$$S(x;a,b) [mm] \ge [/mm] f(x)$$
für alle $x [mm] \in [a,b]\,,$ [/mm] also äquivalent zu
$$f(x) [mm] \le f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\text{ für alle }x \in [a,b]\,.$$
[/mm]
Nun gilt auf [mm] $[a,b]\,$ [/mm] (kleine Rechnung!)
[mm] $$f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)=\left(1-\frac{x-a}{b-a}\right)f(a)+\frac{x-a}{b-a}\,.$$
[/mm]
Also gilt
$$f(x) [mm] \le f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\text{ für alle }x \in [/mm] [a,b]$$
[mm] $$\gdw (\*)\;\;\;f(x) \le \left(1-\frac{x-a}{b-a}\right)f(a)+\frac{x-a}{b-a} \text{ für alle }x\in [a,b]\,.$$
[/mm]
Weiter:
Wie Du schon erkannt hattest, gilt
[mm] $$\lambda_1,\lambda_2 \ge [/mm] 0 [mm] \text{ und }\lambda_1+\lambda_2=1$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \lambda_1 \in [/mm] [0,1] [mm] \text{ und }\lambda_2=1-\lambda_1\,,$$
[/mm]
so dass wir eigentlich anstatt mit diesen [mm] $\lambda_{1,2}$ [/mm] zu arbeiten, eigentlich nur noch zeigen müssen, dass die Bedingung
[mm] $$(\*\*)\;\;\;f((1-\lambda)a+\lambda [/mm] b) [mm] \le (1-\lambda)f(a)+\lambda f(b)\;\;\text{ für alle }\lambda \in [/mm] [0,1]$$
zu [mm] $(\*)$ [/mm] äquivalent ist (denn die Rechnungen oben zeigten, dass [mm] $(\*)$ [/mm] dazu äquivalent ist, dass [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $[a,b]\,$ [/mm] konvex ist).
Und ein Blick auf [mm] $(\*)$ [/mm] zeigt eigentlich, dass es ziemlich trivial ist, dass [mm] $(\*) \gdw (\*\*)$:
[/mm]
Denn:
Wenn [mm] $(\*)$ [/mm] gilt, setze man [mm] $\lambda:=\frac{x-a}{b-a}\,.$ [/mm] Wegen $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ ist dann [mm] $\lambda \in [0,1]\,,$ [/mm] und durch einsetzen folgt direkt [mm] $(\*\*)\,.$ [/mm] (Beachte: Weil man in [mm] $(\*)$ [/mm] die Ungleichung für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ als gültig voraussetzt, folgt die Gültigkeit der Ungleichung in [mm] $(\*\*)$ [/mm] so auch für alle [mm] $\lambda \in [0,1]\,.$)
[/mm]
Umgekehrt (also die Folgerung [mm] $(\*\*) \Rightarrow (\*)$) [/mm] geht's ähnlich:
Für ein [mm] $\lambda \in [/mm] [0,1]$ setzt man [mm] $x:=a+\lambda*(b-a)\,.$
[/mm]
Und das ganze ist eigentlich echt banal, auch, wenn's oben nun extrem aufgebauscht aufgeschrieben worden ist. Ich schreib' mal die Kurzfassung, die das Wesentliche enthält:
Also:
ZUSAMMENFASSUNG BZW. KURZBEWEIS:
(Fast) Per Definitionem ist (stetiges) $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] genau dann konvex, wenn
$$f(x) [mm] \le S(x;a,b)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\;,x\in [a,b]\,.$$
[/mm]
Also ist dieses [mm] $f\,$ [/mm] genau dann konvex, wenn
[mm] $$(\*)\;\;\; [/mm] f(x) [mm] \le \left(1-\frac{x-a}{b-a}\right)f(a)+\frac{x-a}{b-a}*f(b)\;,x\in [a,b]\,.$$
[/mm]
Weil die Abbildung [mm] $\lambda: [/mm] x [mm] \mapsto \lambda(x):=\frac{x-a}{b-a}$ [/mm] eine Bijektion [mm] $\lambda: [/mm] [a,b] [mm] \to [/mm] [0,1]$ ist, ist [mm] $(\*)$ [/mm] äquivalent zu
[mm] $$(\*\*)\;\;\;f((1-\lambda)a+\lambda [/mm] b) [mm] \le (1-\lambda)f(a)+\lambda f(b)\;\;\text{ für alle }\lambda \in [0,1]\,.$$
[/mm]
Und meinetwegen kann man nun auch noch zeigen, dass [mm] $(\*\*)$ [/mm] wirklich äquivalent ist zu der [mm] $\lambda_{1,2}$-Aussage. [/mm] Warum das nun aber gilt, habe ich oben im Text auch schonmal in kurz begründet.
P.S.
Du kannst übrigens auch in [mm] $(\*\*)$ [/mm] die Rollen von [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $1-\lambda$ [/mm] (für alle [mm] $\lambda \in [/mm] [0,1]$) vertauschen. Denn das schöne ist ja (und der Beweis dazu ist trivial):
Genau dann ist $0 [mm] \le \lambda \le 1\,,$ [/mm] wenn $0 [mm] \le (1-\lambda) \le 1\,.$
[/mm]
Anders gesagt:
Die ganze Aufgabe ist "eigentlich" nicht mehr, als zu zeigen, dass man jedes Intervall $[a,b]$ mit $a < b$ bijektiv auf $[0,1]$ abbilden kann. (Für [mm] $a=b\,$ [/mm] ist die Aufgabe ein klein wenig anders: schließlich kann man [mm] $[a,a]=\{a\}$ [/mm] nicht bijektiv auf $[0,1]$ abbilden!, aber für diesen Spezialfall ist dann die ganze Aufgabe oben trivial!)
P.P.S.
Da stand (wegen der [mm] $c,d\,$) [/mm] auch noch irgendwie Quatsch in der anderen Antwort. Ich habe sie mal mit [mm] $a,b\,$ [/mm] umgeschrieben und hoffentlich nun alles so geändert, dass diese Korrekturen alles richtig gemacht haben. Sorry nochmal, da hätte ich besser aufpassen müssen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Sa 21.04.2012 | | Autor: | loggeli |
Hi,
1.)
also ich habe mich da vertippt. Natuerlich ging es die ganze Zeit um konvex, aber ich habs halt in dem Fall verwechselt. Ist mir auch bei der anderen Antwort passiert. Dieser Tippfehler hätte sich aber aus dem Kontext erschlossen, wenn Du es Dir angesehen hättest...
2.)
Ich habe hier natuerlich angenommen, dass die Funktion differenzierbar ist. Ganz einfach deswegen, weil uns ein Tipp in die Richtung gegeben wurde, dass man sich doch mal die Ableitungen angucken sollte. Unser Kurs hat für gewöhnlich keine Beweise zum Inhalt und deswegen war das einfach mal ein VERSUCH. Es wäre schon schön, wenn man dadrauf ein wenig Reaktion bekommen könnte und nicht das Gefuehl bekommt, dass das doch eh alles Quatsch ist. Schließlich wäre es vllt. auch für andere Leser interessant.
3.)
PS: Wo gibt es in diesem Forum eigentlich eine edit funktion? Ich hab diese Tippfehler auch erkannt nur leider konnte ich dann nixmehr dran ändern. Dann hättest Du dich wahrscheinlich auch nicht drüber aufgeregt.
Trotzdem vielen Dank für die Mühe.
Gruß,
loggeli
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
>
> 1.)
> also ich habe mich da vertippt. Natuerlich ging es die
> ganze Zeit um konvex, aber ich habs halt in dem Fall
> verwechselt. Ist mir auch bei der anderen Antwort passiert.
> Dieser Tippfehler hätte sich aber aus dem Kontext
> erschlossen, wenn Du es Dir angesehen hättest...
das war mir schon klar, was Du in dem Kontext meintest. Schreiben solltest Du dennoch "konvex". Auf mehr wollte ich Dich nicht hinweisen.
> 2.)
> Ich habe hier natuerlich angenommen, dass die Funktion
> differenzierbar ist. Ganz einfach deswegen, weil uns ein
> Tipp in die Richtung gegeben wurde, dass man sich doch mal
> die Ableitungen angucken sollte. Unser Kurs hat für
> gewöhnlich keine Beweise zum Inhalt und deswegen war das
> einfach mal ein VERSUCH. Es wäre schon schön, wenn man
> dadrauf ein wenig Reaktion bekommen könnte und nicht das
> Gefuehl bekommt, dass das doch eh alles Quatsch ist.
Das meinte ich nicht, dass das Quatsch ist - dann ist das falsch bei Dir angekommen. Nur:
Wenn man eine Bedingung nicht braucht, und man sie auch nach Voraussetzung nicht annehmen darf, kann es eigentlich nicht sein, dass man sie im Beweis verwendet. Das war der Grund, warum ich da nicht weiter drauf eingegangen bin. Verstehst Du?
Wenn ich Dir nun sage, Du sollst für alle Zahlen $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] zeigen, dass $x [mm] \le [/mm] y [mm] \gdw x^3 \le y^3$ [/mm] gilt, dann kannst Du nicht sagen:
"Seien $x,y [mm] \ge 0\,.$"
[/mm]
Damit zeigst Du die Behauptung dann nicht mehr für alle $x,y [mm] \in \IR\,,$ [/mm] sondern nur noch für alle $x,y [mm] \in [0,\infty)\,.$ [/mm] Wobei es bei dieser Aussage hier sogar noch ginge, weil man mit Fallunterscheidungen dann vielleicht auch noch den Rest erschließen kann.
Aber: Es gibt stetige Funktionen, die an keiner Stelle differenzierbar sind. Wenn Du also nur $f: [a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] als stetig und konvex annimmst - und ihr noch nicht gezeigt habt, dass bei solchen Funktionen die Menge der differenzierbaren Stellen aus [mm] $[a,b]\,$ [/mm] gewisse Eigenschaften hat, dann kannst Du nicht einfach annehmen, dass [mm] $f\,$ [/mm] zudem auch differenzierbar sei.
(Mal nebenbei: Normalerweise braucht man auch die Stetigkeitseigenschaft für [mm] $f\,$ [/mm] nicht. Allgemein ist $f: [a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] konvex, wenn die Bedingung aus [mm] $(\*\*)$ [/mm] gilt. Und anstatt [mm] $[a,b]\,$ [/mm] kann man eigentlich auch irgendeine konvexe Menge als Definitionsbereich hinschreiben!)
Was wir gerne machen können:
Bei dem Teil, wo Du mit der Ableitung argumentieren willst, setzen wir halt mal voraus, dass dieses konvexe $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] nicht nur stetig, sondern sogar differenzierbar sei. Dann schreibst Du das nochmal hin, und dann gucke ich mir das gerne nochmal an.
Aber dann benutzt Du einfach Voraussetzungen, die in der Aufgabe so erstmal nicht gegeben sind - schließlich ist das [mm] $f\,$ [/mm] da ja nur als stetig vorausgesetzt. Ist Dir vielleicht jetzt klarer, warum ich mir das nicht näher angeschaut hatte? Es geht mir gar nicht darum, Deine Überlegungen, die mit einer Zusatzvoraussetzung vielleicht alle richtig sind, abzuwerten. Aber man braucht halt zusätzliches, was in der Aufgabe nicht gegeben ist-und was man nicht o.E. einfach mal so annehmen darf. Also kann es eigentlich nicht sein, dass Du damit argumentierst!
> Schließlich wäre es vllt. auch für andere Leser
> interessant.
Sicherlich. Sei mir nicht böse. ich gehe eigentlich sehr oft auf sehr vieles ein. Aber manchmal sind auch einfach meine Kapazitäten ein wenig erschöpft, so dass ich, wenn ich schon an kleinen Punkten sehe, dass das so eigentlich nicht sein kann, dann auch nicht noch jedes weitere Detail prüfen will.
> 3.)
> PS: Wo gibt es in diesem Forum eigentlich eine edit
> funktion?
Ich weiß nicht, ob man das als normales Mitglied noch einfach kann. Da müssen wir den Admin fragen. (Früher konnte jeder editieren, glaube ich!)
> Ich hab diese Tippfehler auch erkannt nur leider
> konnte ich dann nixmehr dran ändern. Dann hättest Du dich
> wahrscheinlich auch nicht drüber aufgeregt.
Ich habe mich gar nicht drüber aufgeregt. Sorry, kam' vielleicht falsch rüber. Kopiere nochmal Deinen Teil, wo Du mit der Ableitung argumentieren willst, in eine separate Frage, und schreibe halt, dass Du eine differenzierbare Funktion $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] hast, für welche Du die Konvexitätsbedingung "passend" hinschreiben willst. Denn ansonsten werden einige genauso wenig drauf eingehen wie ich - aus eben dem gleichen Grund, den ich genannt hatte.
Um's vielleicht mal ein wenig stärker klarzumachen:
Nehmen wir mal an, Du sollst eine Eigenschaft für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] beweisen. Nun führst Du den Beweis, aber Du betrachtest nur alle $z [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Natürlich ist [mm] $\IR \subseteq \IC$ [/mm] und Du hast dann auch quasi "teilweise" den Beweis geführt - aber nur, wenn sich das alles auch ohne Probleme von $z [mm] \in \IR$ [/mm] auf $z [mm] \in \IC$ [/mm] umformulieren kannst, dann kann man das auch (mit minimalem "Punktabzug") akzeptieren, dass Du die Aussage auch für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] "eigentlich" geführt hast.
> Trotzdem vielen Dank für die Mühe.
Kein Ding! Wie gesagt: Sorry, ich bin einfach nur ein wenig müde. Aufgeregt habe ich mich nicht, die Hinweise meinerseits sollten wirklich nur Hinweise sein - da stecken keinerlei Emotionen dahinter, das ist rein sachlich gemeint gewesen.
Gruß,
Marcel
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