Konvexität.Extremwerte < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 So 15.03.2009 | | Autor: | laurel |
| Aufgabe | Die Funktion [mm] f(x)=\bruch{ln(x)}{x} [/mm] auf [2,16]
i) Finden Sie die kritischen Punkte von f und alle lokalen Minimal- und Maximalstellen. Bestimmen Sie [mm] min_{x\in[2,16]}f(x) [/mm] und [mm] min_{x\in[2,16]}f(x).
[/mm]
ii) Zerlegen Sie [2,16] in möglichst wenige Teilintervalle, so dass f auf jedem von diesen konvex oder konkav ist. |
Hallo, zusammen!!! Ich hätte gerne Hilfe zu dieser Aufgabe gebraucht. Kleine Einsätze hab ich schon, aber habe noch Schwierigkeiten die Aufgabe zu lösen.
Zu i):
[mm] f´(x)=\bruch{1-ln(x)}{x^2}
[/mm]
[mm] f´´(x)=\bruch{2ln(x)-1}{x^3}
[/mm]
Dann f´(x)=0 [mm] \gdw [/mm] x=e
Damit kriege ich eine Extremstelle, aber wenn ich das in die zweite Ableitung einsätze, kommt eine positive Zahl raus nähmlich [mm] \bruch{1}{e^2}, [/mm] obwohl die erste Ableitung ändert ihr Vorzeichen von - auf +, wenn ich 2 und dann 3 einsätze, d.h also,dass das ein Maximum ist und kein Minimum, was ich beim Einsätzen in die 2. Ableitung kriege. Deswegen weiss ich nicht was ich hier machen soll.
Zu ii)
Die Funktion ist konvex auf einem Intervall, wenn f''(x)>0, dann bekomme ich, dass die Funktion konvex ist, wenn [mm] x>\wurzel{e} [/mm] und konkav wenn [mm] x<\wurzel{e}.
[/mm]
Meine Frage: Wie kann ich den Intervall auf weitere Teilintevalle zerlegen? Das verstehe ich irgendwie nicht:(
Wäre sehr nett wenn sich jemand melden würde.
Danke schon mal in Voraus!!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 So 15.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Die Funktion [mm]f(x)=\bruch{ln(x)}{x}[/mm] auf [2,16]
> i) Finden Sie die kritischen Punkte von f und alle lokalen
> Minimal- und Maximalstellen. Bestimmen Sie
> [mm]min_{x\in[2,16]}f(x)[/mm] und [mm]min_{x\in[2,16]}f(x).[/mm]
> ii) Zerlegen Sie [2,16] in möglichst wenige
> Teilintervalle, so dass f auf jedem von diesen konvex oder
> konkav ist.
> Hallo, zusammen!!! Ich hätte gerne Hilfe zu dieser Aufgabe
> gebraucht. Kleine Einsätze hab ich schon, aber habe noch
> Schwierigkeiten die Aufgabe zu lösen.
> Zu i):
> [mm]f´(x)=\bruch{1-ln(x)}{x^2}[/mm]
> [mm]f´´(x)=\bruch{2ln(x)-1}{x^3}[/mm]
> Dann f´(x)=0 [mm]\gdw[/mm] x=e
> Damit kriege ich eine Extremstelle, aber wenn ich das in
> die zweite Ableitung einsätze, kommt eine positive Zahl
> raus nähmlich [mm]\bruch{1}{e^2},[/mm] obwohl die erste Ableitung
> ändert ihr Vorzeichen von - auf +, wenn ich 2 und dann 3
> einsätze, d.h also,dass das ein Maximum ist und kein
Wieso?? Erst (also links) fallend, dann steigend - so sieht ein Minimum aus (Vergleiche Normalparabel [mm] y=x^2, [/mm] die ist auch links vom Tiefpunkt fallend und recht vom Tiefpunkt steigend).
> Minimum, was ich beim Einsätzen in die 2. Ableitung kriege.
> Deswegen weiss ich nicht was ich hier machen soll.
> Zu ii)
> Die Funktion ist konvex auf einem Intervall, wenn
> f''(x)>0, dann bekomme ich, dass die Funktion konvex ist,
> wenn [mm]x>\wurzel{e}[/mm] und konkav wenn [mm]x<\wurzel{e}.[/mm]
Vergiss nicht, dass der Nenner [mm] x^3 [/mm] für x<0 negativ wird. Das Vorzeichen eines Bruchs wird durch Zähler UND Nenner bestimmt.
Gruß Abakus
> Meine Frage: Wie kann ich den Intervall auf weitere
> Teilintevalle zerlegen? Das verstehe ich irgendwie nicht:(
> Wäre sehr nett wenn sich jemand melden würde.
> Danke schon mal in Voraus!!
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 So 15.03.2009 | | Autor: | laurel |
Hallo!!
Tschuldigung, ich hab mich vertan die 1. Ableitunh in 2 ist positiv und in 3 negativ, also ist dann das Maximum der Funktion auf dem Intervall. oder?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 So 15.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo!!
> Tschuldigung, ich hab mich vertan die 1. Ableitunh in 2
> ist positiv und in 3 negativ, also ist dann das Maximum der
> Funktion auf dem Intervall. oder?
So sieht es aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> LG
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 So 15.03.2009 | | Autor: | laurel |
Das habe ich auch, aber ist das richtig was ich gemacht habe bei i) und voralleim bei ii):
Danke!
LG
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