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| Aufgabe | Eine Teilmenge C [mm] \subset \IR [/mm] heißt konvex, wenn für alle u,v [mm] \in [/mm] C und alle [mm] \lambda \in [/mm] [0,1] gilt: [mm] (1-\lambda)u+\lambda [/mm] v [mm] \in [/mm] C.
a) Sei [mm] \alpha:\IR^n\to\IR [/mm] so gewählt, dass
(i) [mm] \alpha(0)=0 [/mm] und [mm] \alpha(u)>0 [/mm] für alle [mm] u\not=0
[/mm]
(ii) [mm] \alpha(\lambda u)=|\lambda|\alpha(u) [/mm] für alle [mm] \lambda\in\IR, u\in\IR^n.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \alpha [/mm] genau dann eine Norm ist, wenn die folgende Menge konvex ist: [mm] \{u\in\IR^n | \alpha(u)\le1\}
[/mm]
b) Sei D eine abgeschlossene und beschränkte konvexe Umgebung von 0 in [mm] \IR^n, [/mm] die symmetrisch bzgl. 0 ist, d.h. falls [mm] u\in [/mm] D, so gilt auch [mm] -u\in [/mm] D.
Zeigen Sie, dass es eine eindeutige Norm [mm] ||*||_D [/mm] auf [mm] \IR^n [/mm] gibt, für die gilt: [mm] D=\{u\in\IR^n | ||u||_D\le 1\}
[/mm]
(Tipp: Die gesuchte Norm ist gegeben durch [mm] ||u||_D=inf\{\lambda>0 | \bruch{u}{\lambda}\in D\}.)
[/mm]
c) Seien [mm] ||*||_1, ||*||_2:\IR^n\to\IR [/mm] zwei Normen. Zeigen Sie, dass [mm] ||*||_1\le||*||_2\gdw D_1\supset D_2, [/mm] wobei für [mm] i\in\{1,2\} [/mm] gelte: [mm] D_i:=\{x\in\IR^n | ||x||_i\le1\} [/mm] |
Hallo,
zu a):
Die Richtung [mm] ,,\Rightarrow" [/mm] habe ich bereits bewiesen.
Bei der anderen Richtung [mm] ,,\Leftarrow" [/mm] habe ich Probleme, denn ich soll für beliebige [mm] u,v\in\IR^n [/mm] zeigen, dass [mm] \alpha(u+v)\le\alpha(u)+\alpha(v) [/mm] gilt. Wie soll ich das mit Hilfe der konvexen Menge zeigen?
zu b):
Meine Idee ist die folgende:
Der Beweis besteht ja aus zwei Teilen. (i) Existenzbeweis (ii) Eindeutigkeit.
Ich zeige zuerst, dass [mm] inf\{\lambda>0 | \bruch{u}{\lambda}\in D\} [/mm] eine Norm ist. Dann zeige ich für diese Norm [mm] ||u||_D:=inf\{\lambda>0 | \bruch{u}{\lambda}\in D\}, [/mm] dass [mm] D=\{u\in\IR^n | ||u||_D\le 1\} [/mm] gilt, wobei ich zeigen muss, dass D eine Teilmenge von [mm] \{u\in\IR^n | ||u||_D\le 1\} [/mm] ist und umgekehrt.
Für die Eindeutigkeit nehme ich an, dass es eine weitere Norm [mm] ||*||_D' [/mm] gibt, sodass [mm] D=\{u\in\IR^n | ||u||_D'\le 1\}.
[/mm]
Hier muss ich dann zeigen, dass [mm] ||*||_D' [/mm] = [mm] ||u||_D [/mm] ist.
Stimmt die Idee so?
zu c)
Die Richtung [mm] ,,\Rightarrow" [/mm] scheint klar. Aber wie sieht es mit der [mm] ,,\Leftarrow" [/mm] Richtung aus?
Für Tipps/Hinweise wäre ich dankbar.
Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:09 Di 18.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Eine Teilmenge C [mm]\subset \IR[/mm] heißt konvex, wenn für alle
> u,v [mm]\in[/mm] C und alle [mm]\lambda \in[/mm] [0,1] gilt:
> [mm](1-\lambda)u+\lambda[/mm] v [mm]\in[/mm] C.
>
> a) Sei [mm]\alpha:\IR^n\to\IR[/mm] so gewählt, dass
>
> (i) [mm]\alpha(0)=0[/mm] und [mm]\alpha(u)>0[/mm] für alle [mm]u\not=0[/mm]
> (ii) [mm]\alpha(\lambda u)=|\lambda|\alpha(u)[/mm] für alle
> [mm]\lambda\in\IR, u\in\IR^n.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\alpha[/mm] genau dann eine Norm ist, wenn die
> folgende Menge konvex ist: [mm]\{u\in\IR^n | \alpha(u)\le1\}[/mm]
>
> b) Sei D eine abgeschlossene und beschränkte konvexe
> Umgebung von 0 in [mm]\IR^n,[/mm] die symmetrisch bzgl. 0 ist, d.h.
> falls [mm]u\in[/mm] D, so gilt auch [mm]-u\in[/mm] D.
>
> Zeigen Sie, dass es eine eindeutige Norm [mm]||*||_D[/mm] auf [mm]\IR^n[/mm]
> gibt, für die gilt: [mm]D=\{u\in\IR^n | ||u||_D\le 1\}[/mm]
>
> (Tipp: Die gesuchte Norm ist gegeben durch
> [mm]||u||_D=inf\{\lambda>0 | \bruch{u}{\lambda}\in D\}.)[/mm]
>
> c) Seien [mm]||*||_1, ||*||_2:\IR^n\to\IR[/mm] zwei Normen. Zeigen
> Sie, dass [mm]||*||_1\le||*||_2\gdw D_1\supset D_2,[/mm] wobei für
> [mm]i\in\{1,2\}[/mm] gelte: [mm]D_i:=\{x\in\IR^n | ||x||_i\le1\}[/mm]
>
> Hallo,
>
> zu a):
>
> Die Richtung [mm],,\Rightarrow"[/mm] habe ich bereits bewiesen.
> Bei der anderen Richtung [mm],,\Leftarrow"[/mm] habe ich Probleme,
> denn ich soll für beliebige [mm]u,v\in\IR^n[/mm] zeigen, dass
> [mm]\alpha(u+v)\le\alpha(u)+\alpha(v)[/mm] gilt. Wie soll ich das
> mit Hilfe der konvexen Menge zeigen?
Sei M:= $ [mm] \{u\in\IR^n | \alpha(u)\le1\} [/mm] $
Nehmen wir u,v [mm] \in \IR^n [/mm] her. Wir können von u [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \ne [/mm] v ausgehen.
Fall 1: [mm] \alpha(u)= \alpha(v)=1. [/mm] Dann gilt u,v [mm] \in [/mm] M. M ist konvex, also ist auch [mm] \bruch{u+v}{2} \in [/mm] M.
Damit ist
[mm] \bruch{1}{2}* \alpha(u+v)= \alpha(\bruch{u+v}{2}) \le [/mm] 1,
somit:
[mm] \alpha(u+v) \le [/mm] 2= [mm] \alpha(u)+\alpha(v)
[/mm]
Fall 2: das darfst Du jetzt mal versuchen. Führe diesen Fall auf Fall 1 zurück.
>
> zu b):
>
> Meine Idee ist die folgende:
>
> Der Beweis besteht ja aus zwei Teilen. (i) Existenzbeweis
> (ii) Eindeutigkeit.
> Ich zeige zuerst, dass [mm]inf\{\lambda>0 | \bruch{u}{\lambda}\in D\}[/mm]
> eine Norm ist. Dann zeige ich für diese Norm
> [mm]||u||_D:=inf\{\lambda>0 | \bruch{u}{\lambda}\in D\},[/mm] dass
> [mm]D=\{u\in\IR^n | ||u||_D\le 1\}[/mm] gilt, wobei ich zeigen muss,
> dass D eine Teilmenge von [mm]\{u\in\IR^n | ||u||_D\le 1\}[/mm] ist
> und umgekehrt.
> Für die Eindeutigkeit nehme ich an, dass es eine weitere
> Norm [mm]||*||_D'[/mm] gibt, sodass [mm]D=\{u\in\IR^n | ||u||_D'\le 1\}.[/mm]
>
> Hier muss ich dann zeigen, dass [mm]||*||_D'[/mm] = [mm]||u||_D[/mm] ist.
>
> Stimmt die Idee so?
Ja
>
> zu c)
>
> Die Richtung [mm],,\Rightarrow"[/mm] scheint klar. Aber wie sieht es
> mit der [mm],,\Leftarrow"[/mm] Richtung aus?
Es sei also [mm] D_2 \subseteq D_1.
[/mm]
Sei x [mm] \in \IR^n, [/mm] x [mm] \ne [/mm] 0.
Setze [mm] z:=\bruch{x}{||x||_2}. [/mm] Dann ist z [mm] \in D_2.
[/mm]
Also auch: z [mm] \in D_1. [/mm] Schlachte das mal aus.
FRED
>
> Für Tipps/Hinweise wäre ich dankbar.
>
> Grüsse
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> Sei M:= [mm]\{u\in\IR^n | \alpha(u)\le1\}[/mm]
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> Nehmen wir u,v [mm]\in \IR^n[/mm] her. Wir können von u [mm]\ne[/mm] 0 [mm]\ne[/mm] v
> ausgehen.
>
>
>
> Fall 1: [mm]\alpha(u)= \alpha(v)=1.[/mm] Dann gilt u,v [mm]\in[/mm] M. M
> ist konvex, also ist auch [mm]\bruch{u+v}{2} \in[/mm] M.
>
> Damit ist
>
> [mm]\bruch{1}{2}* \alpha(u+v)= \alpha(\bruch{u+v}{2}) \le[/mm] 1,
>
> somit:
>
> [mm]\alpha(u+v) \le[/mm] 2= [mm]\alpha(u)+\alpha(v)[/mm]
>
> Fall 2: das darfst Du jetzt mal versuchen. Führe diesen
> Fall auf Fall 1 zurück.
Ich habe es versucht, aber irgendwie komme ich nicht weiter.
Fall 2 ist: [mm] \alpha(u)\not=1\vee\alpha(v)\not=1
[/mm]
O.B.d.A [mm] \alpha(u)\not=1
[/mm]
Setze [mm] \lambda:=\bruch{1}{\alpha(u)} [/mm] und [mm] \mu:=\bruch{1}{\alpha(v)}.
[/mm]
Dann gilt: [mm] \alpha(\lambda u)=\alpha(\mu [/mm] v)=1.
Somit: [mm] \lambda [/mm] u, [mm] \mu [/mm] v [mm] \in [/mm] M
[mm] \Rightarrow [/mm] (Fall 1) [mm] \alpha(\lambda [/mm] u + [mm] \mu [/mm] v) [mm] \le \alpha(\lambda [/mm] u) + [mm] \alpha(\mu [/mm] v)
Weiter komme ich nicht.
zu b):
Ich möchte zeigen, dass gilt: ||v + [mm] w||_D [/mm] = [mm] ||v||_D [/mm] + [mm] ||w||_D [/mm] für alle v,w [mm] \in \IR^n
[/mm]
Zunächst möchte ich aber zeigen, dass gilt:
aD + bD = (a + b)D für a,b > 0.
Die Inklusion [mm] ,,\supseteq" [/mm] habe ich bereits.
Probleme habe ich bei [mm] ,,\subseteq".
[/mm]
Sei x [mm] \in [/mm] aD + bD.
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] v, w [mm] \in [/mm] D: x = av + bw
Wie zeige ich nun, dass v = w ist?
zu c)
>
> Es sei also [mm]D_2 \subseteq D_1.[/mm]
>
> Sei x [mm]\in \IR^n,[/mm] x [mm]\ne[/mm] 0.
>
> Setze [mm]z:=\bruch{x}{||x||_2}.[/mm] Dann ist z [mm]\in D_2.[/mm]
>
> Also auch: z [mm]\in D_1.[/mm] Schlachte das mal aus.
Danke, mit dem Hinweis hat es geklappt.
Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 26.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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