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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:09 Fr 26.10.2007 | | Autor: | martin1984 |
| Aufgabe | Hallo!
Die Aufgabe ist es zu zeigen, dass folgende Funktionen Konvex sind:
a) [mm] $f(x)=\left| x+a\right|$
[/mm]
b) [mm] $g(x)=\left| x+a\right|^p, \geq [/mm] 1$
c) [mm] $h(x)=3\left| x+1\right|^3+2\left|x-1\right|-4$
[/mm]
d) [mm] $k(x)=\sum_{1}^n c_j \left|x-a_j\right|^{b_j}, b_j\geq [/mm] 1, [mm] c_j\geq [/mm] 0$
e) [mm] $m(x)=(a+bx^2)^{\frac 1 2}, a\geq [/mm] 0, [mm] b\geq [/mm] 0$
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Ich habe die ersten beiden mal versucht, aber bin nicht wirklich weitergekommen. Ich habe folgende Kriterien versucht zu benutzen:
i) $f(x)$ konvex [mm] $\Leftrightarrow f\left[\lambda x+(1-\lambda)y\right]\leq \lambda [/mm] f(x) [mm] +(1-\lambda)f(y)$
[/mm]
ii) $f(x)$ konvex [mm] $\Leftrightarrow f''\geq [/mm] 0$
iii) $f(x)$ log-konvex, d.h.
[mm] $f(\alpha [/mm] x + [mm] \beta y)\leq f^\alpha [/mm] (x) [mm] f^\beta [/mm] (y)$, [mm] $\alpha,\beta [/mm] >0, [mm] \alpha+\beta=1$ [/mm]
[mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] $f(x)$ ist konvex (auf einem Intervall jeweils...)
Bei Funktion a) z.b. habe ich bei Kriterium
i) das Problem die Abschätzungen hinzubekommen, bei
ii) ist $f''(x)=0$ und bei
iii) weiß ich nicht, wie ich eine Beziehung hinbekommen soll zwischen I) [mm] $\alpha, \beta$ [/mm] als Koeffizient von $x,y$ und II) [mm] $\alpha, \beta$ [/mm] im Exponenten.
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
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Hallo,
Deine Formeln sind nicht sehr leserfreundlich, vielleicht änderst Du das noch.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Fr 26.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da die ersten Funktionen nicht differenzierbar sind, ist (i) das richtige Kriterium.
mal dir die fkt a) mal auf, und mach dir klar, dass i sagt, jeder Punkt einer Sehne der fkt liegt oberhalb oder auf der Funktion.
dann siehst du direkt, wenn du die Sehne nur links oder rechts von -a legst ist Sehne= funktion.
interessant ist es nur wenn x,y auf verschiedene Seiten von -a liegen.
lass dich duech die Zeichnung leiten!
die anderen fkt, sind, wenn du a),b) gezeigt hast Summen von konvexen fkt. also wieder konvex. entweder habt ihr das oder du beweist es algemein.
Gruss leduart
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Vielen Dank schonmal.
Das was du erklärt hast, ist mir eigentlich alles klar gewesen (Tangente unterhalb oder auf dem Graphen und so). Mir war nur nicht klar, wie ich das mathematisch beweise. Die Fälle, wenn $x$ und $y$ auf einer Seite liegen ist relativ klar.
Ich weiß nur nicht, wie ich das argumentativ klären soll, wenn sie auf verschiedenen Seiten liegen. Hier ist mir der Begriff "Sehne" von dir noch nicht ganz klar. Es gibt ja ein Kriterium, dass die Tangente an den Graphen in jedem Punkt unterhalb oder auf der Funktion liegen muss. Ist das wieder was anderes? Denn wenn bei [mm] $\left| x+a\right|$ [/mm] $x<-a$ und $y>-a$ ist, schneidet die Verbindungsgerade (ist das die Sehne?) ja den Graphen...
Du hast mir aber schon weitergeholfen, die Sache mit der Abgeschlossenheit unter Addition usw. hatten wir. Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Sa 27.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Als Sehne bezeichne ich das Stück Gerade zwischen (x,f(x))und (y,f(y))
die Werte auf der rechten der Ungleichung liegen auf dieser Geraden.
für x<-a,ist [mm] f(\lambda*x)=(\lambda*(-x-a) [/mm] für y>-a ist f(y)=a+y
damit kannst du einfach ausrechnen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:51 Mo 29.10.2007 | | Autor: | martin1984 |
Ok vielen Dank!
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