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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Fr 18.11.2011 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Eine folge definiert durch a1∈(0,1/2) und durch
[mm] a_{n+1}=a_n [/mm] - [mm] \frac{1}{2}a_n^{n+1}
[/mm]
n [mm] \in \IN
[/mm]
Man zeige Konvergenz |
Meine ansätze:
zeigen: Monotonie ,beschränktheit
[mm] a_n [/mm] - [mm] a_{n+1}
[/mm]
[mm] a_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] + 1/2 [mm] a_n^{n+1}
[/mm]
1/2 [mm] a_n^{n+1}
[/mm]
wie weiß ich ob das jetzt größer oder kleiner als 0 ist?
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Hallo quasimo,
> Eine folge definiert durch a1∈(0,1/2) und durch
> [mm]a_{n+1}=a_n[/mm] - [mm]\frac{1}{2}a_n^{n+1}[/mm]
>
> n [mm]\in \IN[/mm]
> Man zeige Konvergenz
> Meine ansätze:
> zeigen: Monotonie ,beschränktheit
>
> [mm]a_n[/mm] - [mm]a_{n+1}[/mm]
> [mm]a_n[/mm] - [mm]a_n[/mm] + 1/2 [mm]a_n^{n+1}[/mm]
> 1/2 [mm]a_n^{n+1}[/mm]
> wie weiß ich ob das jetzt größer oder kleiner als 0 ist?
Mache dazu erst ein paar Überlegungen zur Beschränktheit.
Zeige, dass
[mm] a_n\in(0,\tfrac{1}{2})
[/mm]
für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Fr 18.11.2011 | | Autor: | quasimo |
nein nicht [mm] a_n [/mm] in der angabe steht [mm] a_1 \in [/mm] (0,1/2)
Wie kann denn für das erste Folgenglied zwei werte in Frage kommen?
Warum zuerst Beschränktheit? Mache immer zuerst Monotonie. Da Beschränktheit immer schwerer ist.
Also wie sehe ich ob der Ausdruck (im oberen Post) neg oder pos ist?
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Hallo quasimo,
> nein nicht [mm]a_n[/mm] in der angabe steht [mm]a_1 \in[/mm] (0,1/2)
Ja, das haben wir gelesen. kamaleonti schrieb: zeige, dass [mm] a_n\in(0,\tfrac{1}{2}) [/mm] ist.
> Wie kann denn für das erste Folgenglied zwei werte in
> Frage kommen?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Die Angabe heißt doch, dass [mm] 0
> Warum zuerst Beschränktheit? Mache immer zuerst Monotonie.
> Da Beschränktheit immer schwerer ist.
Hier ist es gleich schwer, finde ich.
> Also wie sehe ich ob der Ausdruck (im oberen Post) neg
> oder pos ist?
Es hängt doch von [mm] a_n [/mm] ab, ob [mm] a_{n+1} [/mm] positiv oder negativ ist. Gerade dazu sollst Du doch eine Aussage treffen. Wenn [mm] a_1 [/mm] ... ist, dann ist [mm] a_2 [/mm] ..., und damit ist dann [mm] a_3 [/mm] ... etc. Nimms wie eine Induktionsaufgabe (obwohl Induktion hier eigentlich nicht nötig ist).
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Fr 18.11.2011 | | Autor: | quasimo |
Die angabe heißt $ [mm] 0
und nicht $ [mm] 0
also wie kam er drauf?
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Meine Güte.
Wir haben die Aufgabe gelesen.
> Die angabe heißt [mm]0
Ja, das steht da.
> und nicht [mm]0
Genau. Das steht da nicht.
Das sollst du ZEIGEN!
> also wie kam er drauf?
Hab ich schon geschrieben. Zeige, dass aus [mm] 0
Wenn Du jetzt zum dritten Mal schreibst, dass das da nicht stand, hat wahrscheinlich niemand mehr Lust, noch etwas zu tun.
Versuch wenigstens, ETWAS selbst zu machen. Es ist doch wirklich Tipp genug, wenn Du schon gesagt bekommst, was Du als wesentlichen Zwischenschritt zeigen sollst!
Oder wo ist das Problem?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Fr 18.11.2011 | | Autor: | quasimo |
Das Problem ist dass ích nicht verstehe wie du auf die Vermutung kommst!!
(STell mich doch nicht so bloss...)
0 < [mm] a_{n} [/mm] < 1/2
Durch induktion?
n=1
0 [mm]
->aus angabe
aber für [mm] a_{n+1} [/mm] müssen wirs zeigen also für [mm] a_2
[/mm]
[mm] a_2 [/mm] = [mm] a_1 [/mm] - 1/2 [mm] a_1^2
[/mm]
[mm] a_2 [/mm] = [mm] a_1 [/mm] * (1 - 1/2 [mm] a_1)
[/mm]
Faktor 1 - 1/2 [mm] a_1, [/mm] da ja [mm] a_1 [/mm] zwischen 0 und 1/2 ist , ist der teil zwischen 1 und 3/4
heißtinsgesamt liegt 0 < [mm] a_2<1/2 [/mm]
Induktionsannahme 0 < [mm] a_n [/mm] < 1/2
Induktionsschritt
0 < [mm] a_n [/mm] - 1/2 [mm] a_{n}^{n+1} [/mm] < 1/2
annahme [mm] ->a_n [/mm] ist sicher in den Intervall , Frage ob dass was ich minus rechne auch im Intervall ist.
0 < 1/2 [mm] a_{n}^{n+1} [/mm] < 1/2
?? Kann mir da wer weiterhelfen?Wie zeige ich das? Durch einsetzen ist es klar..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Fr 18.11.2011 | | Autor: | quasimo |
0 < [mm] \frac{1}{2} a_n^{n+1} [/mm] < [mm] \frac{1}{2}
[/mm]
Ist das jetzt offensichtlich dass es stimmt?
oder wie?
dann bin ich fertig?
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Hallo nochmal,
> 0 < [mm]\frac{1}{2} a_n^{n+1}[/mm] < [mm]\frac{1}{2}[/mm]
> Ist das jetzt offensichtlich dass es stimmt?
> oder wie?
> dann bin ich fertig?
Ja, das reicht.
So richtig unbestreitbar offensichtlich ist es natürlich, wenn Du die ganze Kette mal mit 2 multiplizierst.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 Fr 18.11.2011 | | Autor: | quasimo |
Danke
tschau
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