Konvergierende Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Do 01.11.2007 | | Autor: | mandym |
| Aufgabe | Für welche Werte von q konvergiert die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k*k^{3q-1} [/mm] absolut?
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hatte zu dem Thema Divergenze und (absolute) Konvergenz gestern eine Vorlesung, aber habe schon da nicht viel verstanden. Ich weiß, das Betrag ak kleiner gleich einem bk sein muss, damit etwas absolut konvergent ist und wir hatten auch die vier Konvergenzkriterien, aber ich bekomme es nicht hin überhaupt sinnvoll nach q aufzulösen geschweige denn einen Weg zu finden, wann das ganze dann abolut konvergiert.
Ich schaffe die Aufgabe deshalb nicht mal im Ansatz. Über eine Erklärung wäre ich sehr froh
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Do 01.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast da was falsches aufgeschrieben. Deine aufgeschriebene Reihe hat was mit k, aber nichts mit q zu tun.
Also schreib bitte erstmal die Reihe auf, die du ansehen sollst.
Schön wär, wenn du deine Versuche mit dem einen oder anderen Konvergnzkriterium aufschreiben würdest (Forenregel) damit man sieht, was du nicht kannst.
Ein Anfang wär mal die absoluten [mm] a_k [/mm] hinzuschreiben, und dann mal mit Quotientenkrit. anzufangen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Do 01.11.2007 | | Autor: | mandym |
Mit Quotientenkriterieum müsste komme ich so weit:
Betrag [mm]a_k[/mm]+1/[mm]a_k[/mm] = 1^(k+1)*(k+1)^(3q-1) / [mm] 1^k*k^{3q-1}
[/mm]
(weil die Minuszeichen durch den Betrag ja wegfallen)
= (k+1)^(k+1+3q-1) / k^(k+3q-1)
Jetzt habe ich das q aber immer noch in der Potenz stehen und weiß nicht, wie ich daraus auf das Konvergenzverhalten schließen soll.
Zitat:
> Ein Anfang wär mal die absoluten [mm]a_k[/mm] hinzuschreiben,<
ich weiß auch nicht was mit absoluten [mm]a_k[/mm] gemeint ist. In den Beispielen die ich habe, haben wir immer den Betrag gebildet und dann sind die Aufgaben so, dass man sie leicht umformen kann und sieht, ob sie größer, kleiner oder gleich 1 sind.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Do 01.11.2007 | | Autor: | max3000 |
Bitte überprüfe nochmal die Aufgabenstellung.
Da hast du irgendwas falsch abgetippt.
Die Summation läuft über i, aber in der Summe kommt dann nur k vor.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Do 01.11.2007 | | Autor: | mandym |
Entschuldigung! Das i habe ich übersehen und das ganze jetzt geändert. Es steht jetzt so da, wie in der Aufgabe. Ich habe es in der Zwischenzeit auch nochmal mit dem Wurzelkriterium versucht:
[mm] \wurzel[k]{|a_{k}|} [/mm] = k^(3q-1)
Damit müsste dann doch für alle q < 2/3 die Reihe absolut konvergieren?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Do 01.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Entschuldigung! Das i habe ich übersehen und das ganze
> jetzt geändert. Es steht jetzt so da, wie in der Aufgabe.
> Ich habe es in der Zwischenzeit auch nochmal mit dem
> Wurzelkriterium versucht:
> [mm]\wurzel[k]{|a_{k}|}[/mm] = k^(3q-1)
Das stimmt aber nicht. Du hast doch
[mm]a_k = (-1)^k k^{3q-1} \implies |a_k| = k^{3q-1} [/mm],
denn [mm]|(-1)^k|=1[/mm].
Da bietet sich eher das Integralkriterium oder das Quotientenkriterium an:
[mm]\left|\bruch{a_{k+1}}{a_k}\right| = \bruch{(k+1)^{3q-1}}{k^{3q-1}} = \left(\bruch{k+1}{k}\right)^{3q-1} = \left(1+ \bruch{1}{k}\right)^{3q-1}[/mm].
Jetzt ist [mm]1+\bruch{1}{k} > 1[/mm]. Es kommt daher auf das Vorzeichen von [mm]3q-1[/mm] an.
Kommst du damit weiter?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 Do 01.11.2007 | | Autor: | mandym |
Ja, danke. So kann ich es zu Ende rechnen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Do 01.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Ich glaube, um ganz zum Ende zu kommen, brauchst du noch das Integralkriterium. Ich weiß aber nicht, ob ihr das hattet.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
