Konvergenzverhalten von < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Mo 10.03.2008 | | Autor: | Susan86 |
| Aufgabe | Eine Potenzreihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_{k}z^k a_{k},z \in\IC [/mm]
hat den Konvergenzradius p:= [mm] \bruch{1}{limsup\wurzel[n]{\vmat{ an }}} N-->\infty [/mm] und ist absolut konvergent für [mm] \vmat{ z } [/mm] < p und divergiert für [mm] \vmat{ z } [/mm] > p
Weiter seien p_ := [mm] \bruch{1}{limsup\vmat{ \bruch{an+1}{an} }} [/mm] n--> [mm] \infty [/mm] und p+ := [mm] \bruch{1}{liminf\vmat{ \bruch{an+1}{an} }} [/mm] n--> [mm] \infty
[/mm]
Eine Potenzreihe konvergiert absolut für [mm] \vmat{ z } [/mm] < p und divergiert für [mm] \vmat{ z } [/mm] > p |
Ich weiß es ist nicht sehr löblich sowas zu sagen, aber ich verstehe das absoabsoluuuut nicht, wäre echt lieb wenn mir dies jemand (leicht + verständlich) erklären könnte.
Dankeschön
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> Eine Potenzreihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_{k}z^k a_{k},z \in\IC[/mm]
Hallo,
Du hast hier also eine Potenzreihe vorliegen, ein Beispiel hierfür wäre die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}nz^k. [/mm] Hier wäre [mm] a_n:=n.
[/mm]
Du hast schon Reihen auf Konvergenz untersucht, daher weißt Du, daß Reihen nicht in jedem Falle gegen eine Grenzwert konvergieren.
Bei den Potenzreihen interessiert man sich dafür, für welche z die Reihe konvergiert.
Ich beschränke mich für die weitere Betrachtung auf [mm] z\in \IR.
[/mm]
Man sagt, daß die Potenzreihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_{k}z^k [/mm] den Konvergenzradius r hat, wenn die Reihe für alle [mm] z\in [/mm] ]-r,r[ konvergiert, also für alle z mit |z|<r.
Dieser Konvergenzradius läßt sich mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen:
r = [mm] \frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}(\sqrt[n]{|a_n|})}. [/mm]
Das bedeutet: wenn Du den Konvergenzradius der Reihe berechnen möchtest, berechnest Du den limes superior von [mm] \sqrt[n]{|a_n|}.
[/mm]
Der Kehrwert davon ist der Konvergenzradius.
In meinem Beispiel [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|n|}=\green{1},
[/mm]
also ist der Konvergenzradius [mm] r=\bruch{1}{\green{1}}=1. [/mm]
Dh. für alle z mit |z|<1 konvergiert meine Reihe absolut,
für alle z mit |z|>1 konvergiert meine Reihe nicht,
für |z|=1 muß ich gesondert nachdenken.
Es gibt noch eine weitere Möglichkeit, mit der man oft den Konvergenzradius errechnen kann.
Unter der Voraussetzung, daß die Folgenglieder ab irgendeinem Folgenglied alle von Null verschieden sind, ist
r = [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right| [/mm] der Konvergenzradius.
Der limsup muß Dich nicht so erschrecken. Wenn es einen Grenzwert gibt, ist der limsup der lim.
Wenn Teilfolgen gegen verschiedene Werte konvergieren, ist der limsup der größte der Teilfolgengrenzwerte.
Gruß v. Angela
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