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| Aufgabe | Geben Sie ein Beispiel eine Potenzreihe an, die in jedem Endpunkt ihres Konvergenzintervalls folgendes Verhalten zeigt:
a) In beiden Endpunkten divergiert die Reihe |
Also ok ich hätte die Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} x^n [/mm]
hergenommen. Aber was muss ich jetzt genau zeigen?
Danke euch
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Hallo Staffen2361,
> Geben Sie ein Beispiel eine Potenzreihe an, die in jedem
> Endpunkt ihres Konvergenzintervalls folgendes Verhalten
> zeigt:
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> a) In beiden Endpunkten divergiert die Reihe
> Also ok ich hätte die Reihe
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} x^n[/mm]
Du meinst sicher [mm]\sum\limits_{\red{n}=1}^{\infty}x^n[/mm]
>
> hergenommen. Aber was muss ich jetzt genau zeigen?
Nun diese Reihe hat bekanntermaßen (hoffe ich doch, ansonsten nachrechnen!) den Konvergenzradius 1, konvergiert also für [mm]|x|<1[/mm] und divergiert für [mm]|x|>1[/mm]
Setzte nun die beiden Randpunkte, also [mm]|x|=1[/mm], dh. [mm]x=1, x=-1[/mm] in die Reihe ein und rechne vor, dass sie divergiert.
>
> Danke euch
Gruß
schachuzipus
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> Setzte nun die beiden Randpunkte, also [mm]|x|=1[/mm], dh. [mm]x=1, x=-1[/mm]
> in die Reihe ein und rechne vor, dass sie divergiert.
Ok also war es doch so einfach, danke
Hätte aber noch eine Zusatzfrage und zwar ob ich folgenden Konvergenzradius richtig berechnet habe.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_n}{a_{n+1}}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{1^n}{1^{n+1}}| [/mm] = 1
Da 1 hoch jeder Zahl 1 ist
Stimmt das so ?
mfg
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> >
> > Danke euch
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
> > Setzte nun die beiden Randpunkte, also [mm]|x|=1[/mm], dh. [mm]x=1, x=-1[/mm]
> > in die Reihe ein und rechne vor, dass sie divergiert.
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> Ok also war es doch so einfach, danke
>
> Hätte aber noch eine Zusatzfrage und zwar ob ich folgenden
> Konvergenzradius richtig berechnet habe.
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_n}{a_{n+1}}|[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{1^n}{1^{n+1}}|[/mm] = 1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Da 1 hoch jeder Zahl 1 ist
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> Stimmt das so ?
Aye!
>
> mfg
>
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:11 Do 24.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Nur eine Bemerkung:
Du berechnest also den Konvergenzradius 1 der geometrischen Reihe mit Hilfe des Quotientenkriteriums.
Wenn man sich anschaut, wie das Quotientenkriterium bewiesen wird, so stellt man fest, das der Beweis im wesentlichen ausnutzt, das die geometrische Reihe den Konvergenzradius 1 hat.
Da dreht sich gewaltig was im Kreis !
FRED
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