Konvergenzverhalten:Potenzreih < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 So 09.12.2007 | | Autor: | gokhant |
| Aufgabe | 1a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] (2k/k²) [mm] x^k
[/mm]
1b) [mm] \summe_{k=2}^{\infty} [/mm] 2 ( k ) [mm] x^k
[/mm]
( 2 ) |
Sehr geehrte Forum-user,
Ich habe die vorlesung zu "Konvergenzverhalten von Potenzreien" verpasst.
Wie muss man da vorgehen?? gibt es da einige nützliche Tipps und Tricks,die ihr mir empfehlen könntet um das Konvergenzverhalten von Potenzreihen zu finden???
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Gökhan,
um den Konvergenzradius einer Potenzreihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k$ [/mm] zu berechnen, gibt es 2 Möglichkeiten
Zum einen das Kriterium von Cauchy-Hadamard:
Bestimme [mm] $r=\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}$
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius [mm] $R=\frac{1}{r}$ [/mm] mit den Festlegungen [mm] $\frac{1}{0}=\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}=0$
[/mm]
Die Potenzreihe konvergiert dann für [mm] $|x-x_0|R$
[/mm]
Für [mm] $|x-x_0|=R$ [/mm] musst du das für [mm] $x-x_0$ [/mm] in die Reihe einsetzen und die Konvergenz/Divergenz mit den üblichen Kriterien für "normale" Reihen extra zeigen
Alternativ und praktisch oft einfacher ist es, das sog. Euler-Kriterium zu benutzen, in Anlehnung an das Quotientenkriterium:
Berechne hier wieder [mm] $r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$
[/mm]
Dann ist wie oben der Konvergenzradius [mm] $R=\frac{1}{r}$ [/mm] mit denselben Konvergenz-/Divergenzeigenschaften wie oben
Bei deinen 3 Reihen würde ich's mal mit dem Euler-Kriterium angehen.
Bedenke: bei den ersten beiden dann Konvergenz für $|x|<R$ und entsprechend Divergenz, bei der dritten Konvergenz für [mm] $|x|^3
Hoffe, damit kommste erstmal weiter...
LG
schachuzipus
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