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| Aufgabe | Untersuchen Sie die für $a=-1$ bzw. $a=2$ sowie $a=5$ entstehenden Zahlenreihen auf Konvergenz bzw. Divergenz
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n\cdot3^n}$ [/mm] |
rechnung für $a=2$
ich benutzt das Quotientenkriterium
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}=\frac{2^{n+1}\cdot n\cdot3^n}{(n+1)\cdot 3^{n+1}\cdot2^n}$
[/mm]
über die Potenzgesetze komme ich dann auf
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}=\frac{2}{3}\cdot\frac{n}{n(1+\frac{1}{n})}=\frac{2}{3}$
[/mm]
mit [mm] $\frac{2}{3}<1$ [/mm] folgt Reihe ist konvergent Nach QK
die Umformung für $a=5$ ist äquivalent nur das am ende [mm] $\frac{5}{3}$ [/mm] heraus kommt und die Reihe damit divergiert.
hoffe das ist richtig so.
meine frage ist nun was ich machen muss um das Konvergenzverhalten für $a=-1$ zu zeigen
Ich vemute das ich das Leipnizkriterium brauche nur weiß ich nicht wie ich das anwenden soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Mi 28.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Untersuchen Sie die für [mm]a=-1[/mm] bzw. [mm]a=2[/mm] sowie [mm]a=5[/mm]
> entstehenden Zahlenreihen auf Konvergenz bzw. Divergenz
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n\cdot3^n}[/mm]
> rechnung für [mm]a=2[/mm]
> ich benutzt das Quotientenkriterium
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=\frac{2^{n+1}\cdot n\cdot3^n}{(n+1)\cdot 3^{n+1}\cdot2^n}[/mm]
die Schreibweise ist nicht korrekt. Das Gleichheitszeichen hat dort nichts zu suchen. Es ist
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2^{n+1}\cdot n\cdot3^n}{(n+1)\cdot 3^{n+1}\cdot2^n}[/mm]
>
> über die Potenzgesetze komme ich dann auf
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=\frac{2}{3}\cdot\frac{n}{n(1+\frac{1}{n})}=\frac{2}{3}[/mm]
Es ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{3}\cdot\frac{n}{n(1+\frac{1}{n})}=\frac{2}{3}[/mm]
Ja. Vielleicht noch einen Zwischenschritt und dann passt das.
>
> mit [mm]\frac{2}{3}<1[/mm] folgt Reihe ist konvergent Nach QK
Ja.
> die Umformung für [mm]a=5[/mm] ist äquivalent nur das am ende
> [mm]\frac{5}{3}[/mm] heraus kommt und die Reihe damit divergiert.
>
> hoffe das ist richtig so.
Das passt.
>
> meine frage ist nun was ich machen muss um das
> Konvergenzverhalten für [mm]a=-1[/mm] zu zeigen
> Ich vemute das ich das Leipnizkriterium brauche nur weiß
> ich nicht wie ich das anwenden soll.
Leibniz-Kriterium ist gut.
Sei also [mm]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n\cdot3^n}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n*\frac{1}{n\cdot3^n}[/mm]
Was muss denn für [mm]b_n=\frac{1}{n\cdot3^n}[/mm] gelten, damit die alternierende Reihe nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert?
Gilt das für [mm]b_n[/mm]?
Gruß
barsch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Do 29.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die für [mm]a=-1[/mm] bzw. [mm]a=2[/mm] sowie [mm]a=5[/mm]
> entstehenden Zahlenreihen auf Konvergenz bzw. Divergenz
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n\cdot3^n}[/mm]
> rechnung für [mm]a=2[/mm]
> ich benutzt das Quotientenkriterium
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=\frac{2^{n+1}\cdot n\cdot3^n}{(n+1)\cdot 3^{n+1}\cdot2^n}[/mm]
>
> über die Potenzgesetze komme ich dann auf
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=\frac{2}{3}\cdot\frac{n}{n(1+\frac{1}{n})}=\frac{2}{3}[/mm]
>
> mit [mm]\frac{2}{3}<1[/mm] folgt Reihe ist konvergent Nach QK
>
> die Umformung für [mm]a=5[/mm] ist äquivalent nur das am ende
> [mm]\frac{5}{3}[/mm] heraus kommt und die Reihe damit divergiert.
>
> hoffe das ist richtig so.
>
> meine frage ist nun was ich machen muss um das
> Konvergenzverhalten für [mm]a=-1[/mm] zu zeigen
> Ich vemute das ich das Leipnizkriterium brauche nur weiß
> ich nicht wie ich das anwenden soll.
Warum erschlägst Du nicht alle Fälle mit dem Qutientenkriterium ?
Sei [mm] a_n:= \bruch{a^n}{n*3^n}. [/mm] Dann:
| [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}|= \bruch{|a|}{3}* \bruch{n}{n+1}.
[/mm]
Jetzt n [mm] \to \infty.
[/mm]
nebenbei: mit dem Wurzelkriterium gehts einen Kick schneller. Berechne mal [mm] \wurzel[n]{|a_n|}
[/mm]
FRED
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