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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:50 Mo 30.01.2012 | | Autor: | mwk00 |
| Aufgabe | | Gegeben sei das lineare Gleichungssystem x=1+0,4x-0,6y und y=2+0,1x+0,8y Untersuchen Sie die Konvergens des Vrfahrens (x^(k+1) über y^(k+1))=(1+0,4x^(k)-0,6y^(k) über 2+0,1x^(k)+0,8y^(k)) für einen beliebigen Startvektor (x^(0) über y^(0)). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich brauche dringend hilfe. Ich habe noch keinen Ansatz zu dieser Aufgabe und weiß auch nicht wie ich sie lösen soll.
Kann mir jemand helfen indem er mir einen Rechnenweg präsentiert?
Es wäre schön die Aufgabe nachvollzeihen zu können.
Vielen Dank
PS: Es hilft nur ein Rechnenweg, keine links auf andere Seiten mit Hinweisen, da ich morgen meine Klausur schreibe (morgen Nachmittag) und ich die Lösung mit in die Klausur nehmen darf.
Sorry für die komplizierte Aufstellung der Aufgabe, aber ich weiß nicht wie ich Sie korrekt wie es auf dem Aufgabenblatt zu finden ist hier ins Forum bringe. Das "über" soll bedeuten, das zum beispiel in einer Klammer x oben steht und y unten ohne Bruchstrich.
Vielen lieben Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:02 Di 31.01.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Gegeben sei das lineare Gleichungssystem x=1+0,4x-0,6y und
> y=2+0,1x+0,8y Untersuchen Sie die Konvergens des Vrfahrens
> (x^(k+1) über y^(k+1))=(1+0,4x^(k)-0,6y^(k) über
> 2+0,1x^(k)+0,8y^(k)) für einen beliebigen Startvektor
> (x^(0) über y^(0)).
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Hallo,
>
> ich brauche dringend hilfe. Ich habe noch keinen Ansatz zu
> dieser Aufgabe und weiß auch nicht wie ich sie lösen
> soll.
Keine gute Voraussetzung für eine Klausur.
>
> Kann mir jemand helfen indem er mir einen Rechnenweg
> präsentiert?
Es geht um die Konvergenz des
![[]](/images/popup.gif) linearen, einstufigen Einzelschrittverfahrens
[mm] $\vektor{x^{(k+1)}\\y^{(k+1)}}=\vektor{1+0,4x^{(k)}-0,6y^{(k)}\\2+0,1x^{(k)}+0,8y^{(k)}}$ [/mm] für beliebige Startwerte [mm] $\vektor{x^{(0)}\\y^{(0)}}$.
[/mm]
Das Gleichungssystem [mm] $\vektor{x\\y}=\vektor{1+0,4x-0,6y \\ 2+0,1x+0,8y}$ [/mm] ist äquivalent
zum Gleichungssystem [mm] $A\vec [/mm] x = [mm] \vec [/mm] b$ mit $A = [mm] \pmat{0,6 & 0,6 \\ -0,1 & 0,2}$, $\vec [/mm] x = [mm] \vektor{x\\y}$ [/mm] und [mm] $\vec [/mm] b = [mm] \vektor{1\\2}$.
[/mm]
Die Iterationsmatrix ist $E - [mm] B^{-1}A [/mm] = [mm] \pmat{ 0,4 & -0,6 \\ 0,1 & 0,8 }$ [/mm]
mit $E = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }$ [/mm] (Einheitsmatrix) und $ [mm] B^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }$.
[/mm]
Das Verfahren konvergiert genau dann für jeden Startwert,
wenn der Spektralradius der Iterationsmatrix kleiner 1 ist.
Also Eigenwerte von [mm] $\pmat{ 0,4 & -0,6 \\ 0,1 & 0,8 }$ [/mm] bestimmen.
charakteristisches Polynom: $(0,4 - [mm] \lambda)(0,8 [/mm] - [mm] \lambda) [/mm] + 0,6 = 0$
(Sind leider komplex, ist aber nicht weiter schlimm.)
[mm] $|\lambda_{1,2}| \approx [/mm] 0,96 < 1$.
>
> Es wäre schön die Aufgabe nachvollzeihen zu können.
>
> Vielen Dank
>
> PS: Es hilft nur ein Rechnenweg, keine links auf andere
> Seiten mit Hinweisen, da ich morgen meine Klausur schreibe
> (morgen Nachmittag) und ich die Lösung mit in die Klausur
> nehmen darf.
>
> Sorry für die komplizierte Aufstellung der Aufgabe, aber
> ich weiß nicht wie ich Sie korrekt wie es auf dem
> Aufgabenblatt zu finden ist hier ins Forum bringe. Das
> "über" soll bedeuten, das zum beispiel in einer Klammer x
> oben steht und y unten ohne Bruchstrich.
Also es geht um:
[mm] $\vektor{x\\y}=\vektor{1+0,4x-0,6y\\2+0,1x+0,8y}$
[/mm]
(geht ganz einfach mit den Eingabehilfen)
>
>
> Vielen lieben Dank
Viel Glück für die Klausur!
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 Di 31.01.2012 | | Autor: | mwk00 |
wow,
tausend dank.
du hast mir den tag gerettet.
eins noch hinterher: das forum hier ist super und alle sind sehr hilfbereit. ich werde es weiterempfehlen.
lg
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