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Hallo ich habe mal folgende Reihe auf Konvergenz
getestet....Stimmt der Konvergenz-Beweis so?
Ich denke ja, wenn man sagt, dass n>=1 ist - sprich
eine natürliche Zahl.
Sei gegeben:
[mm] \sum \left( {\frac {{n}^{{n}^{-1}}- \left( n+1 \right) ^{ \left( n+1
\right) ^{-1}}}{n}} \right) [/mm]
Gesucht sei eine geeignete konvergente Majorante:
[mm] {\frac {{n}^{{n}^{-1}}- \left( n+1 \right) ^{ \left( n+1 \right) ^{-1}
}}{n}}<{\frac {{n}^{{n}^{-1}}-1}{n}}< \left( 1/{n}^{n+1} \right)
[/mm]
Und das ganz rechts ist wenn man sagt, dass n>=1 ist definitiv eine konvergente Majorante, da es ja mindestens [mm] 1/n^2 [/mm] ist. Außerdem kann man die zweite Ungleichung sehr leicht umformen, sodass sich der Nenner des Bruchs und die Wurzel aufheben. Die dann resultierende Ungleichung ist selbstverständlich erfüllt.
Stimmt das so??? Ich habs auch mal mit Vergleichkriterium
probiert...hat aber nicht geklappt...
freue mich schon auf eine antwort
cu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Do 18.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ich habe mal folgende Reihe auf Konvergenz
> getestet....Stimmt der Konvergenz-Beweis so?
> Ich denke ja, wenn man sagt, dass n>=1 ist - sprich
> eine natürliche Zahl.
>
> Sei gegeben:
> [mm]\sum \left( {\frac {{n}^{{n}^{-1}}- \left( n+1 \right) ^{ \left( n+1
\right) ^{-1}}}{n}} \right)[/mm]
>
> Gesucht sei eine geeignete konvergente Majorante:
> [mm]{\frac {{n}^{{n}^{-1}}- \left( n+1 \right) ^{ \left( n+1 \right) ^{-1}
}}{n}}<{\frac {{n}^{{n}^{-1}}-1}{n}}< \left( 1/{n}^{n+1} \right)[/mm]
>
Wie kommst Du denn auf das letzte "<". ? Das ist mir schleierhaft !
Übrigends brauchst Du Beträge
[mm] |{\frac {{n}^{{n}^{-1}}- \left( n+1 \right) ^{ \left( n+1 \right) ^{-1}
}}{n}}|
[/mm]
FRED
> Und das ganz rechts ist wenn man sagt, dass n>=1 ist
> definitiv eine konvergente Majorante, da es ja mindestens
> [mm]1/n^2[/mm] ist. Außerdem kann man die zweite Ungleichung sehr
> leicht umformen, sodass sich der Nenner des Bruchs und die
> Wurzel aufheben. Die dann resultierende Ungleichung ist
> selbstverständlich erfüllt.
>
> Stimmt das so??? Ich habs auch mal mit Vergleichkriterium
> probiert...hat aber nicht geklappt...
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> freue mich schon auf eine antwort
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:42 Sa 20.12.2008 | | Autor: | indukt1on |
ja stimmt die zweie ungleichung ist quatsch...
hat jemand einen tipp für mich, ich komm nich weier
abschätzung mit [mm] 1/n^2 [/mm] scheint auch nicht zu gehen
verlgeichskriterium auch nicht
quotientenkriterium auch nicht
wurzelkriterium auch nicht
....
cu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:32 So 21.12.2008 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
meinst du mit [mm] n^{n^{-1}} n^\bruch{1}{n} [/mm] oder [mm] \bruch{1}{n^n}?
[/mm]
Zweiteres wäre recht einfach....
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 So 21.12.2008 | | Autor: | indukt1on |
ich verstehe deinen punkt nicht. ich habe die reihe doch eindeutig im ersten post aufgeschrieben 0o 0o
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> ich verstehe deinen punkt nicht. ich habe die reihe doch
> eindeutig im ersten post aufgeschrieben 0o 0o
Hallo,
die Frage galt, was eigentlich auch deutlich war, dem [mm] n^{n^{-1}} [/mm] .
Ob damit [mm] n^{(n^{-1})} [/mm] gemeint ist, oder [mm] (n^n)^{-1}.
[/mm]
Ich denke mal: [mm] n^{(n^{-1})}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 So 21.12.2008 | | Autor: | indukt1on |
ja genau...gemeint ist die n-te bzw. n+1-te wurzel aus n bzw. n+1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 22.12.2008 | | Autor: | indukt1on |
sind keine ideen vorhanden???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:33 Di 23.12.2008 | | Autor: | iks |
Moin indukt1on!
Werde mal nen Versuch starten!
Du weisst, dass die Folge [mm] $(a_n):=\sqrt[n]{n}$ [/mm] konvergent ist also insbesondere eine Cauchyfolge ist.
d.h.
[mm] $\forall\varepsilon>0$ $\exists N\in\IN$ [/mm] so dass für alle [mm] $n,m\in\IN$ [/mm] mit $n,m>N$:
[mm] |a_m-a_n|<\sqrt{\varepsilon}
[/mm]
bleibt. So nun gehts weiter mit dem Cauchykriterium:
Sei solch ein epsilon aus [mm] $\IR$ [/mm] frei gewählt und [mm] $N>\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$. [/mm] Dann ist für $n*=n-1,m>N$:
[mm] |\summe_{k=m}^{n-1}\frac{\sqrt[k]{k}-\sqrt[k+1]{k+1}}{k}|<\frac{1}{m}|\sum_{k=m}^{n-1}\sqrt[k]{k}-\sqrt[k+1]{k+1}|=\frac{1}{m}| \sqrt[/mm] [m][mm] {m}-\sqrt[n]{n}|=\frac{1}{m}|a_m-a_n|<.......<\varepsilon
[/mm]
ok soweit?
Wenn ja dann den Rest von dir
Gruss iks
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